七年级数学思维探究（27）图形生长的奥秘（含答案）

陈景润（19331996-），福建省福州市人，1953年毕业于厦门大学数学系，主要从事解析数论方面的研究．20世纪60年代以来对筛法及其有关重要问题作了深入研究，1960年5月证明了命题“12+”，将200多年来人们未能解决的哥德巴赫猜想的证明大大推进了一步，这一结果被国际上誉为“陈式定理”．

27．图形生长的奥秘 解读课标

从一个简单的、基本的图形开始，按照一定的规律，生长繁衍成复杂有趣而美丽的图形，并探寻图形的边长、周长、面积的变化规律，这类图形生长的问题是近年中考竞赛的一个热点问题． 以“点”的方式扩散、以“面”的方式膨胀、以“体”的方式“堆砌”，是图形生长的常见形式，解图形生长问题的基本方法是：

（1）分析图形生长的方式、规律；

（2）分析相关数量的特征，找寻相关数量与图形序号的联系，观察发现，归纳猜想． 问题解决

例1 （1）观察图①至图④中小圆圈的摆放规律，并按这样的规律继续摆放，记第n 个图中小圆圈的个数为m ，则m =________．（用含n 的代数式表示）

（2）观察下列图形：

① ② ③ ④ 根据图①②③的规律，图④中的三角形的个数为___________． 试一试 对于（2），从寻找第n 个图与第1n -个图三角形个数的关系入手．

例2 （1）如图是一个水平摆放的小正方体木块，图②③是用这样的小正方形木块叠放而成，按照这样的规律，继续叠放下去，至第七个叠放的图形中，小正方体木块总数是（ ）． A ．25 B ．66 C ．91 D ．120

（2）黑色等边三角形与白色正六边形的边长相等，用它们镶嵌图案，方法如下：白色正方形分上下两行，上面的一行的正六边形个数比下面一行少一个，正六边形之间的空隙用黑色的正三角形嵌满，按第1、2、3个图案所示规律依次下去：

则第n 个图案中，黑色正三角形和白色正六边形的个数分别是（ ）．

A ．22n n ++，21n +

B ．22n +，21n +

C ．4n ，23n n -+

D ．4n ，21n +

①

m =5n =1时

②m =8n =2时③m =11n =3时④

m =14n =4时①

②

……

③

第1个

第2个

第3个

试一试 略． 例3 操作：

（1）如图①，先画一个等边三角形，每边长为1；

（2）如图②，在图①中，每边三等分中间的一份处再凸出一个等边三角形；

（3）如图③，在②的边上，重复进行三等分，中间的一份处凸出一个等边三角形，按上述方法，就画出一个美丽的雪花图形．

探究：图○

n 的周长是多少？

试一试 每“生长一次”，边长变化的规律，以及每“生长一次”，新增三角形个数的规律，这是解本

例的突破口．

例4 有一堆砖堆放如图，第1层有3块，第2层有8块，第3层有15块，……，如此继续下去，第9层有多少块？第n 层有多少块？这样共n 层的砖堆总共有多少块砖？

试一试 从第2层起，每一层横里比上一层多一块，纵里也比上一层多一块，这是解本例的关键，亦可从分析每层砖的数据特征入手．

例5 如图的图案均是用长度相同的火柴棍按一定的规律拼搭而成的：第1个图案需7根火柴，第2个图案需13根火柴，……，依此规律，第11个图案需多少根火柴？

分析 当数据规律不明显时，可从分析图形构成入手．为使图形结构清晰，可适当改变图形． 解 将图中各个图案右下角的一个正方形移除3根火柴后得如下图：

图中第1个图案需要横向火柴112+=（根），纵向火柴112+=（根），共需4根火柴； 第2个图案需要横向火柴1225++=（根），纵向火柴1225++=（根），共需10根火柴； 第3个图案需要横向火柴12339+++=（根），纵向火柴12339+++=（根），共需18根火柴； ……

第n 个图案需要横向火柴的根数是()31232n n n n ++++++=，纵向火柴的根数也是()

32

n n +，共需

()3n n +根火柴．

故拼搭图中第11个图案需火柴()111133157⨯++=（根）． 图案设计

例6 如图是一个由12个相似的直角三角形组成的图案，像商标？像蜗牛？像台风眼？

①

②

……

③

第1个

第2个

第3个

…

第4个

第1个

第2个

第3个

第4个

…

由简单的相似图形出发，展开想象的翅膀，开发头脑无尽的创意，你也能画出更美的图案． 下列图案分别是由相似的正方形、正五边形、正六边形、圆组成的．

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1．观察下列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第8个图形共有_______枚五角星．

2．下列图形都是由同样大小的五角星按一定的规律组成，其中第①个图形一共有2个五角星，第②个图形一共有8个五角星，第③个图形一共有18个五角星，……，则第⑥个图形中五角星的个数为_________．

3．如图是用相同长度的小棒摆成的一组有规律的图案，图案（1）需要4根小棒，图案（2）需要10根小棒，……，按此规律摆下去，第n 个图案需要小棒________根（用含有n 的代数式表示）．

4．用正三角形和正六边形按如图所示的规律拼图案，即从第二个图案开始，每个图案都比上一个图案多一个正六边形和两个正三角形，则第n 个图案中正三角形的个数为________（用含n 的代数式表示）．

5．下列图案是晋商大院窗格的一部分，其中“○”代表窗纸上所贴的剪纸，则第n 个图中所贴剪纸“○”的个数为_________．

（1）漩涡

（2）玫瑰花

（4）海螺背影

n =1

★

★

★★n =2

★

★

★★★★

★n =3

★★★

★

★★★★★★n =4

……

★★★★★★★★★★★★★

图①

★★图②

★★★★★★★★…图③

★★★★★★★★★★★★★★

★★★★（1）

（2）（3）（4）

……

第一个图案第三个图案