正弦稳态响应.
正弦稳态响应
当是t的函数时，正弦量Amcos(t+)可用复值函数来表示
Am cos(t ) Re( Ame j(t ) ) Re( Ame je jt ) Re( A&me jt )
9
§8.1 正弦稳态响应(正弦量和相量)
Am sin(t ) Re( Ame j(t) ) Re( Ame je jt ) Re( A&me jt )
T0
15
同理，可得正弦电压有效值与最大值的关系：
1 U 2 Um
或
Um 2U
若一交流电压有效值为U=220V，则其最大值为Um311V；
U=380V，
Um537V。
注 （1）工程上说的正弦电压、电流一般指有效值，如设
备铭牌额定值、电网的电压等级等。但绝缘水平、耐压值指
的是最大值。因此，在考虑电器设备的耐压水平时应按最大
A2 e j2
A1
A e j(1 2 ) 2
A1 A2 1 2 乘法：模相乘，角相加。
A1 A2
| A1 |θ 1 | A2 |θ 2
| A1 | ejθ1 | A2 | ejθ 2
| A1 | e j(θ1θ 2 ) | A2 |
| A1 | | A2 |
θ1 θ2
除法：模相除，角相减。
20
几种不同值时的旋转因子
,
2
j
e 2 cos j sin j
2
2
Im
jI
I
0
Re
I jI
,
j
e2
cos(
)
j sin(
)
j
2
2
2
, e j cos() j sin() 1
电路在正弦激励下非正弦稳态响应
电路在正弦激励下非正弦稳态的响应田社平1，孙盾2，张峰1(1上海交通大学电子信息与电气工程学院 上海 200240；2浙江大学电气工程学院 杭州 310027)摘要：基于作者的教学实践，讨论了电路在正弦激励下产生非正弦稳态的响应的各种情况。
零状态动态电路存在正弦稳态响应的充要条件为，响应的象函数Y (s )存在且仅存在一对共轭虚极点，而Y (s )的其它极点均位于复平面的开左半平面上。
通过实例说明了在正弦激励下产生非正弦稳态的响应的情形。
电路本文的讨论对丰富正弦稳态电路分析的教学内容，加深学生对相关知识的理解，具有良好的助益。
关键词：正弦激励；非正弦稳态响应；电路 中图分类号： TM13 文献标识码 ANon-sinusoidal Steady-state Response of Circuit with Sinusoidal ExcitationTIAN She-ping 1, SUN Dun 2, ZHANG Feng 1(1School of Electronic, Information and Electrical Engineering, Shanghai Jiao Tong Univ., Shanghai 200240, China; 2College ofElectrical and Electronic Eng ，Zhejiang Univ.，Hangzhou 310027,China )Abstract: Based on the teaching practice, various situations of non-sinusoidal steady-state response of circuit with sinusoidal excitation are discussed. The necessary and sufficient condition for the existence of sinusoidal steady-state response in a zero-state dynamic circuit is that the Laplace transform of the response which is Y (s ) exists and has only one pair of conjugate virtual poles, while the other poles of Y (s ) lie on the left open plane of the complex plane. Several examples are given to illustrate the non-sinusoidal steady-state response with sinusoidal excitation. The discussion is helpful to enrich the teaching content of sinusoidal steady-state circuit analysis and deepen students' understanding of relevant knowledge.Key words: sinusoidal excitation; non-sinusoidal steady-state response; circuit 处于正弦稳态的电路称为正弦稳态电路。
电路原理(邱关源)习题答案第八章 相量法
第八章 相量法求解电路的正弦稳态响应，在数学上是求非齐次微分方程的特解。
引用相量法使求解微分方程特解的运算变为复数的代数运运算，从儿大大简化了正弦稳态响应的数学运算。
所谓相量法，就是电压、电流用相量表示，RLC 元件用阻抗或导纳表示，画出电路的相量模型，利用KCL,KVL 和欧姆定律的相量形式列写出未知电压、电流相量的代数方程加以求解，因此，应用相量法应熟练掌握：（1）正弦信号的相量表示；（2）KCL,KVL 的相量表示；（3）RLC 元件伏安关系式的相量形式；（4）复数的运算。
这就是用相量分析电路的理论根据。
8－1 将下列复数化为极坐标形式：（1）551j F --=；（2）342j F +-=；（3）40203j F +=；（4）104j F =；（5）35-=F ；（6）20.978.26j F +=。
解：（1）a j F =--=551θ∠25)5()5(22=-+-=a13555arctan -=--=θ(因1F 在第三象限)故1F 的极坐标形式为 135251-∠=F（2） 13.1435)43arctan(3)4(34222∠=-∠+-=+-=j F （2F 在第二象限）（3） 43.6372.44)2040arctan(40204020223∠=∠+=+=j F（4） 9010104∠==j F（5） 180335∠=-=F（6） 19.7361.9)78.220.9arctan(20.978.220.978.2226∠=∠+=+=j F注：一个复数可以用代数型表示，也可以用极坐标型或指数型表示，即θθj ae a ja a F =∠=+=21,它们相互转换的关系为：2221a a a += 12arctan a a =θ和 θcos 1a a = θsin 2a a =需要指出的，在转换过程中要注意F 在复平面上所在的象限，它关系到θ的取值及实部1a 和虚部2a 的正负。
8－2 将下列复数化为代数形式：（1） 73101-∠=F ；（2） 6.112152∠=F ；（3） 1522.13∠=F ；（4） 90104-∠=F ；（5） 18051-∠=F ；（6） 135101-∠=F 。
4.4正弦稳态响应
4.4
正弦稳态响应
一、正弦稳态的功率
i + u –
I
•
无源 网络
•
U
•
+ –
无源 网络
=U Ψu U
•
u = 2Ucosωt √ ω
I = I Ψi
•
U =Z ϕ Z= • I i= 2Icos( ωt– ϕ) √ ° • U 0° I –ϕ • ϕ 0° I = ° = U =U Z ϕ
• I1 ϕ • I ϕ1
=11×0.866 －6.04×0.415 =7.02 A × ×
IC = 101.57 µF C= ωU
4.4
正弦稳态响应
7、最大功率传输
NS
ZL
+ –
Zin .
ZL
UOC
ZL= Z* in
4.4
正弦稳态响应
最大功率传输定理 工作于正弦稳态的单口网络， 工作于正弦稳态的单口网络，在负 载阻抗等于含源单口网络输出阻抗的共 载阻抗等于含源单口网络输出阻抗的共 * 轭复数（ 轭复数（即 Z L = Z o ）时，负载可以获得 最大平均功率
• •
•
•
4.4
正弦稳态响应
谐振电路呈现电阻性 电源供给电路的能量全部被电阻所消耗， 电源不与电路进行能量互换，能量的互换只发 生在电感线圈和电容器之间。
I
• U
•
R jωL ω ∩∩ ∩ ∩∩ ∩ • • + U – + UL– + R
UL
电 源 P1=UI1cosϕ1 ϕ cosϕ1 =0.5 ϕ 1.21×103=220×11× cosϕ1 × × × ϕ
第10章-频率响应--多频正弦稳态电路
§10-5 平均功率的叠加
设us1和us2 为两个任意波形的电压源 当us1单独作用时，流过R的电流为i1(t)
us2单独作用时，流过R的电流为i2(t)
iR
++ uS1 uS2 ––
依据叠加原理 i(t) = i1(t) + i2(t) 电阻消耗的瞬时功率
p(t) =Ri2(t)=R(i1+i2)2= Ri12 + Ri22 +2R i1i2 = p1+ p2+ 2R i1i2
∫ =
1
2
0 Im sinwtdwt
0
=
Im
2 3 w t
非正弦周期信号的谐波分析法
设非正弦周期电压 u 可分解成傅里叶级数
u = U0 + U1mcos(wt +1) +U2mcos( 2wt +2) + ······
其作用就和一个直流电压源及一系列不同频率的
正弦电压源串联起来共同作用在电路中的情况一样。
5. 滤波电路 电感或电容元件对不同频率的信号具有不同的
阻抗，利用感抗或容抗随频率而改变的特性构成四 端网络，有选择地使某一段频率范围的信号顺利通 过或者得到有效抑制，这种网络称为滤波电路。
下面以RC电路组成的滤波电路为例说明求网络 函数和分析电路频率特性的方法。
低通滤波电路
低通滤波电路可使低频信号较少损失地传输到输 出端，高频信号得到有效抑制。
u
u
Um
Um
0 2 3 wt
0
2 4 wt
u
u
Um
Um
0
2 wt
0 2
wt
几种非正弦周期电压的波形
什么是正弦稳态电路(精)
二、研究正弦稳态电路的意义
正弦电压和电流产生容易，与非电量转换方便，在实用 电路中使用广泛。 复杂信号皆可分解为若干不同频率正弦信号之和，因此可 利用叠加定理将正弦稳态分析推广到非正弦信号激励下的电 路响应。
三、正弦稳态电路的分析方法
采用相量分析法，引入相量的概念以后，在电阻电路 中应用的公式、定理均可以运用于正弦稳态电路。
试求 i3 (t )，并作出各电流相量的相量图。
解：由 i1 (t ) 、 i2 (t ) 的时域形式，得：
I1 20 I 2 2120
i1 (t )
i2 (t )
i3 (t )
由KCL的相量形式，得：
I3 I1 I 2 20 2120 2 1 j 3 2 120 A
u2 (t ) 2U 2 cos(t 2 )
相位差定义为：
12 (t 1 ) (t 2 ) 1 2
同频正弦量的相位差等于它们的初相之差，是一个与 时间无关的常数
比较两正弦量的相位差时应注意： （1）两正弦量必须是同类型的函数
（2）两正弦量必须具有相同的频率
i iR u(t) iC C iL L
R=15Ω，C=83.3μF,L=30mH,求电流I. 解：利用KCL相量关系，有：
I I R IC I L
U 120 j120 V 2
U j120 IR j8 A R 15 I C j CU j 1000 (83.3 106 ) ( j120) 10 A U j120 IL 4A 3 j L j1000 (30 10 )
定理4
若A、B为复常数,若在所有的时刻都满足
Re[ Ae jt ] Re[ Be jt ]
第九章 正弦稳态电路的相量分析
+
us -
R
r
（李瀚荪书下册63页第19题）
EX：画出各电压 电流相量图。
b
C
a
r
I
+ +
jXL1
R1
U1
U -
jXL2
I2 I1 R2 U2 －jXC -
+
EX：已知I1＝I2＝I＝5A， 求I1、I2的相位差。
I1
负载
I2
I
XC -
EX ： IR ＝ IC ＝ 2A ， U ＝ 20v 且U和I同相，求 I、R、 XL XC
－
或 I m ＝j C U m
IC
i
I C CU C 0 电容电流超前电压 90 0 90 u i
u
UC
相量图
电容元件VAR的另一种形式：U ＝ I C j 1 I C C j C c
归纳：
U R ＝R I R U L j L I L jX L I L UC＝
1 Y Y=G+jB，G为电导，B为电纳。 U Z 2、三种元件的导纳： I
电阻：Y＝1/R＝G；电容：Y＝jωC=jBC， BC称为容纳
电感： Y＝ 1 ＝ j 1 jBL BL称为感纳。 jL L 3、并联导纳： Y＝Y1＋Y2＋＋Yn ， 即
1 1 1 1 ＝ ＋ ＋＋ Z Z1 Z 2 Zn
五、阻抗（导纳）混联:
求等效阻抗的方法与以前所学求等效电阻类似 小结：如用相量表示正弦稳态时的各电压、电 流，那么这些相量服从 KVL、KCL 及欧姆定律的相 量形式：
第七章正弦稳态分析(精)
正弦量和相量
随时间按正弦规律变化的 电压和电流，称正弦电压 和正弦电流。 y(t)=Amsin(t+)
Am最大值，角频率，初相位, (-180＜＜180)
Am sin(t )
Am
0
t
最大值，角频率，初相位为正弦量的三要素。 三要素确定后，正弦量就被唯一确定。 若正弦量为电流i(t)，则i(t)=Imsin(t+)其中Im 是正弦电流最大值，I是正弦电流有效值。
Am sin(t ) Im( Ame j (t ) ) Im( Ame j e jt ) Im( Am e jt )
其中
Am
Ame j
是t=0时的复值常数，称相量
Am e jt
称旋转相量， e jt 称旋转因子
相量可表示为 Am Ame j Am 作为复数，相量又常用s复平面上的有向线段 表示。这样的图称相量图。 j 设 Am1 Am1e j Am2 Am2e j 2
A phj[ Am sin(t )] phj[ 2 A sin(t )] A
Am phj[ Am sin(t )] Am
相量法反变换phj-1为已知相量，变换成正弦量。
2 A sin(t ) Am sin(t ) phj 1[ A ] phj 1[ A ] Am sin(t ) phj 1[ Am ] phj 1[ Am ]
Am 2
0
jAme j2 j Am 2
Am 2 1 Am1 Am1 j
1
一个相量乘一个j，向逆时针方向旋转90，乘一个 -j， 向顺时针方向旋转90，所以称 j e j 90 90旋转因子
第九章-正弦稳态电路的分析
例：9-4-2如图，列出节点电压相量方程
33
-j5Ω
1
2
5Ω 10o A
j12Ω
j5Ω -j10Ω
10Ω -j0.5A
设节点与参考节 点如图
(1 5
1 j10
1 j12
1 )U j5 1
(
1 - j5
1 )U j12 2
00
A
I 2
3
.
1
4
-
300
A
I 3.14300 A
R jωL IU2S（略）
练习9-7
习题：9-1 （b）、（e）
23
9-3 （4）
9-7 9-11
说明：9-7 求R、L时，习题解答单纯根据相量电 路列方程求解较麻烦，借助相量图分析得 到电流电压相量，然后，由
Z
R
jωL
U I
部分答案参考：
9 （1 b)Zin 2 j, Yin 0.4 j0.2
=2A。求电流表 A 读数
1
I
解：利用KCL建立电路方程
+
U
-
A
R1
-j 1
A1 I1
I2 A2
R2
1、设I2 20O
I 1
R1
U
j1 ωC
U00
1 ωC
j1 ωC
I1 1A
I1 14 5O
I14 5O
ωC
2 、I I1 I2 0 . 7 0 7 j 0 . 7 0 7 2 I 2 . 7 0 72 0 . 7 0 72 2.8( A )
Yeq Y1 Y2 Yn — 端口等效导纳
两个阻抗并联，则等效导纳：
Y
Y 1
电路相量法线性电路正弦稳态分析
电路相量法相量法是线性电路正弦稳态分析的一种简单有效的方法。
应用相量法，需要运用复数的运算。
复数F的代数形式F=a+jb式中j = □为虚单位（在数学中常用i表示，在电路中已用i表示电流，故改用j）复数F的实部为Re[F]=a,虚部为Im[F] = bRe: Real Part;复数的实部Im: Imaginary Part;复数的虚部cos: cosine;余弦函数sin: sine;正弦函数arg: argument of a complex number 复数的辐角一个复数F在复平而上可以用一条从原点0指向F对应坐标点的有向线段（向量）表示复数F的三角形式F = |F|（cos 0 + j sin0）=|F| cos 0 + j|F| sin 0 =a+jb |F|为复数的模（值），6为复数的辐角，即6 = argF° 8可以用弧度或度表示。
|F| = Va2+b20=tan_1（I）根据欧拉公式e j0 = cos 0 + sin 0则复数的三角形式可转变为指数形式 F = |F|』° 指数形式有时改写为极坐标形式F = |F|Z0复数的相加和相减用代数形式进行，设：Fi=ai + jb「F2 = a2 + jb2则F i ± F2 = (a i+ jb J ± (a2 + jb2)=(a1± a2)+j(b x± b2)复数相乘用指数形式比较方便FiF2 = |Fje 怏IF2I』叭=iFjlFzl』©"』所以|F1F2| = |F1||F2| arg(F1F2)=arg(F1)+arg(F2) 复数乘积的模等于各复数模的积，英辐角等于个复数辐角的和复数相除的运算为可=區页=芮内一％Fi = IF1Iarg(寻)=arg(Fi) 一arg(F2)+jF1F2' 02茫/&/FfFt复数e^0 = 1Z0是一个模等于1,辐角为6的复数。
第十章(频率响应 多频正弦稳态电路 )
( ) 与ω的关系
相频特性
表明阻抗角(即u与i的相位差)与频率的关系
幅频特性与相频特性
10-7
arctan( RC )
0
R 1 (RC ) 2
1 RC
R
R
0
2
0
90 45
Z
R
φ
0
R 2
ω
45
0
τ
ω
90
特性曲线呈低通(Low Pass)性质和滞后性质 1 1 称为截止(cutoff)频率 C , 0 C为通频带。 RC 提问：从物理概念上理解该电路的LP性质。
10-12
直流100V单独作用：
0
H ( j0) 0
u0 0
400 400 基波 π cos t 单独作用： U S1m π 0 1270 V j1 H ( j1 ) 0.95517.66 3 3 1 2π 10 rad/s 2 10 j1
1
1.5 T1 2 )2 R
25
T2
, 2T1 3T2 TC (50 R 2 )2
P
(100
1 R 100 时， 62.5 W (对 TC s 的平均值) P
§3-3 有效值
10-18
根据有效值的定义，周期性电流的有效值是一与直流 电流数值相等的常数，它与周期性电流在R上的平均功率 相等，以I表示该电流，则
I R I 0 R I1 R I 2 R ... I N R
2 2 2 2 2
∴
I I 0 I1 I 2 ... I N
2 2 2
2
(10-29)
正弦稳态响应
(t 0) (10 10)
K uC (0) U Cm cos u
最后得到电容电压uC(t)的全响应为
t
uC (t) [uC(0) UCmcosu] eRC UCm cos(t u ) (t 0)
暂态响应
正弦稳态响应
(10 11)
本电路的初始条件为零，属于零状态响应，所画出的 波形如图所示。曲线1表示通解，它是电路的自由响应，当 RC>0的条件下，它将随着时间的增加而按指数规律衰减到 零，称为暂态响应。曲线2表示特解，它按照正弦规律变化， 其角频率与激励电源的角频率相同，当暂态响应衰减完后， 它就是电路的全部响应，称为正弦稳态响应。
245 6.0880.54
0.329 35.5 V
由此得到电容电压的瞬时值表达式
uCp (t) 0.329cos(3t 35.5 )V
这是图10－9所示电路中电容电压uC(t)的特解，也是电 容电压的正弦稳态响应。
例10-5 图10－11所示RLC串联电路中，已知 uS(t)=2cos(2t+30)V, R=1, L=1H, C=0.5F。 试用相量法求电容电压uC(t)和电感电流iL(t)的特解。
求解代数方程，注意到=2rad/s和j2=-1，得到电容电
压相量
U Cm
230
[0.5( j)2 0.5(j) 1]
230 1 j1
2 105 V
根据=2rad/s得到电容电压的瞬时值表达式
uC (t) 2 cos(2t 105 )V
uCp (t) U Cm cos(3t u ) Re(U Cm e j3t )
代入微分方程中
Re[(j3 2＋1)UCmej3t ] Re(2ej45ej3t )
《电路分析》——正弦稳态分析
>0， u超前i 角，或i 落后u 角(u 比i先到达最大值)；
u, i u i
O
t
yu yi
<0， i 超前 u 角，或u 滞后 i 角,i 比 u 先到达最大值。
Im A2
0
图解法
A1 Re
(2) 乘除运算——采用极坐标形式
若 A1=|A1| 1 ，A2=|A2| 2
则:
A1 A2
A1 e j1
A2 e j2
A1
A e j(12 ) 2
A1 A2 1 2 乘法：模相乘，角相加。
A1 A2
| A1 |θ1 | A2 |θ2
几种不同值时的旋转因子
Im
(1) ,
jI jI
I
2
j
e2
cos
j sin
j
2
2
I I
0
Re
jI
jI
(2) ,
jபைடு நூலகம்
e2
cos(
)
j sin(
)
j
2
2
2
(3) , e j cos( ) j sin( ) 1
其它非正弦的周期信号不能照搬这个关系式；
（2）工程上所说的正弦电压和电流的大小都是指有效值； （3）一般电压表和电流表的刻度都是按有效值来标定的； （4）交流电气设备铭牌上所标定的电压、电流值都是有效 值。如“220V，100W”的白炽灯，是指它的额定电压的有效 值是220V。
正弦稳态电路的分析
一、阻抗 1. 一端口的阻抗 不含独立电源N0 ，当它在正弦电源激励下处于稳 不含独立电源N 态时，端口的电压、电流都是同频率的正弦量， 态时，端口的电压、电流都是同频率的正弦量，即 u = 2U cos(ωt +ϕ ) U = U∠ϕ →ɺ
u u
9-1 阻抗与导纳
0
i = 2I cos(ωt +ϕi ) I = I∠ϕi →ɺ 则它的端电压相量与端电流相量的比 阻抗Z 值定义为该一端口N 值定义为该一端口N0的(复)阻抗Z，即
ɺ 解: 选择 U'作为参考相量
ɺ IR
ɺ U'
α =45°
ɺ IC
∵ωL = 200×0.25 = 50Ω= R ∴IR = IL 由几何关系得: 由几何关系得:
ɺ IL
ɺ US ɺ UC
ɺ ɺ ɺ IC = I R + I L ɺ ɺ ɺ US = U′ +UC
UC =US =100V, U′ =100 2V U′ ∴IR = IL = = 2 2A , IC = 2IR = 4A , R IC 1 UC ∴ = ,C= = 2×10−4 F = 200µF ωC IC ωUC
def
R jX
|Z|——阻抗 的模； ϕ Z ——阻抗角； 阻抗Z的模 阻抗角； 阻抗 的模； 阻抗角 R——等效电阻；X——等效电抗。 等效电阻； 等效电抗。 等效电阻 等效电抗 为实数， 称为感性阻抗， (R为实数，X>0称为感性阻抗，X<0称 为实数 X>0称为感性阻抗 X<0称
ɺ U U Z === = ∠(ϕu −ϕi ) =| Z | ∠ϕZ = R + jX ɺ I I
第九章 正弦稳态电路的分析
第9章正弦稳态电路的频率响应
第9章 正弦稳态电路的频率响应9.1 网络函数【网络函数（传递函数）】 网络函数又称为传递函数。
图9-1-1所示正弦稳态下的线性时不变电路，只有一个激励()E j ω 和一个响应()R j ω ，称为单输入――单输出网络，网络函数()H j ω定义为def()()()Rj H j E j ωωω= 由于激励()Ej ω 和响应()R j ω 均可以是端口电压或电流，且可以位于不同端口，也可以位于同一个端口，因此，网络函数有6种类型。
网络函数取决于电路的结构，参数和激励的角频率。
图9-1-1 单输入――单输出网络【频率响应】 正弦稳态电路的响应随激励角频率的变化规律，称为电路的频率响应。
网络函数()H j ω能反映线性时不变电路的频率响应，通常将()H j ω写成极坐标形式，即()()()H j H j j ωωϕω=∠【幅频特性】 ()H j ω表征响应的幅值随激励角频率的变化规律，称为幅频响应，亦称幅频特性。
【相频特性】 ()j ϕω表征响应的相角随激励角频率的变化规律，称为相频响应，亦称相频特性。
【例9-1-1】 试确定图9-1-2所示电路的电流增益()()()o s Ij H j I j ωωω= 。
sI0.5Fo图9-1-2 例9-1-1 图解 由分流关系可得42(1)12420.5s sj I I j I j jωωωω+==++- 因此()(1)arctan 22osI H j j I ωωω==+=9.2 谐振电路的频率响应【谐振】 至少包含一个电感和一个电容元件的无源一端口网络，当其端口等效阻抗（或导纳）呈现纯电阻性时，称电路发出了谐振，或电路工作在揩振状态。
【谐振电路】 谐振电路对信号频率具有选择性，广泛应用于通信系统中。
最简单的揩振电路为RLC 串联谐振电路和RLC 并联揩振电路。
9.2.1 RLC 串联揩振电路【RLC 串联谐振角频率】 图9-2-1所示为RLC 串联电路。
频率响应 多频正弦稳态电路
R
低通
U 0
_
U i
_
U U 0 i
_ _
U 0
_
R1
U i
_
C
R
C
R
C
低通
R2
U 0
_
U i
_
U 0
_
高通
15
§11-4 正弦稳态响应的叠加
11.4.1 正弦稳态叠加原理
几个频率相同或不同的正弦激励在线性时不变电路 中产生的稳态电压和电流，可以利用叠加定理求解 —— 先用相量法分别计算每个正弦激励单独作用时 产生的电压电流相量，然后得到电压uk(t)电流和ik(t) ，最后相加求得总的稳态电压u(t)和电流i(t)。
由相量写出相应的时间表达式
u ' ' (t ) 4.47 2 cos( 200t 76.6 )V
18
u ' (t ) 10 2 cos(100t 55 )V
u ' ' (t ) 4.47 2 cos( 200t 76.6 )V
3. 叠加求稳态电压u(t)
将每个正弦电源单独作用时产生的电压在时间域相 加，得到非正弦稳态电压:
' U
j5 j5 US 10 210 1055 V 5 j5 5 j5 17
由相量写出相应的时间表达式
u ' (t ) 10 2 cos(100t 55 )V
2. 电流源单独作用时,将电压源用短路代替，得图 (c)所示相量模型，则:
'' U
j50 j50 IS 150 4.4776.6 V 5 j10 5 j10
正弦稳态响应
du C 2 u C 2 cos(3t 45 ) dt
将正弦电流用相量表示
iS (t ) 2 cos(3t 45 ) Re(2e
e j3t ) e j3t ) u Cp (t ) U Cm cos(3t u ) Re(U Cm
代入微分方程中
j3t Re[(j3 2 ＋ 1)UCme ] Re(2e e ) j3t j45
2 2
2
(10 8)
u i arctan(CR )
(10 9)
微分方程的完全解为
uC (t ) Ke
可以求得
t RC
U Cm cos( t u )
(t 0) (10 10)
K uC (0) U Cm cos u
最后得到电容电压uC(t)的全响应为
uCp (t ) 0.329cos(3t 35.5 )V
这是图10－9所示电路中电容电压uC(t)的特解，也是电
容电压的正弦稳态响应。
例10-5 图10－11所示RLC串联电路中，已知
uS(t)=2cos(2t+30)V, R=1, L=1H, C=0.5F。 试用相量法求电容电压uC(t)和电感电流iL(t)的特解。
等，由此得到一个复系数的代数方程
1 (j C )U Cm I Sm R
(10 12)
求解此代数方程得到电容电压相量为
U Cm
I Sm U Cm u jC 1 / R
电容电压的振幅和初相分别为
U Cm
I Sm
2 C 2 (1 / R) 2
对方程先求导，再取实部
e jt )] RC Re[( j )U e jt )] Re(U e jt ) LC Re[( j ) 2U Cm Cm Cm e jt ) Re(U
电子科大《电路分析》第10章 正弦稳态分析
解： 2f 100 rad / s
u1 (t ) 50 cos(100t 30)V u2 (t ) 100 cos(100t 150)V
今后我们所见到的正弦波无非以三种形式来描述：
u2 (t ) 100 cos(100t 150)V I1m 560 A 2. I m I m I cos I sin I1m 6 j 7 A 3. I m m m
§10-4 三种基本电路元件伏安关系的相量形式
电阻:
U m RI m ,
U RI
U RI ,
u i
同相 正交
正交
电感:
U m jLI m ,
U jLI
U LI ,
u i 90
I jCU
电容:
I m jCU m ,
12 90,13 210, 23 120
13 150
规定相位差
二、正弦电压电流的相量表示
由欧拉公式有:
e
j
cos j sin
e
j (t )
cos(t ) j sin( t )
U e j 令U m m
§10-3 基尔霍夫定律的相量形式
虽然相量法将微分方程在正弦激励下的特解化成了
复数方程的求解，但对高阶电路，微分方程的建立仍是
一件很困难的工作。
对正弦激励下的电路，能否象直流激励下的电阻电 路那样，用观察法直接写出复数方程，回答是肯定的. 只要引入KCL, KVL和元件VCL的相量形式及相量模 型，就可以将电阻电路的所有分析方法推广到正弦稳态 电路。
一、简单推导
i1 i2 i3 0
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根据=2rad/s得到电容电压的瞬时值表达式
uC (t ) 2 cos(2t 105 )V
图 10-11
uC (t ) 2 cos(2t 105 )V
求得电容电流和电感电流的瞬时值表达式
d iL (t ) iC (t ) 0.5 [ 2 cos( 2t 105 )] 2 cos( 2t 15 )A dt
由于此二阶电路的两个固有频率都具有负实部，暂态 响应将随着时间的增加而衰减到零，以上计算的电容电压 和电感电流的特解，也就是电路的正弦稳态响应。
三、正弦稳态响应
现在将上面的讨论推广到一般动态电路。具有相同频 率ω的一个或几个正弦信号激励的线性时不变动态电路，
我们感兴趣的响应为x(t)，则x(t)可表为如下形式：
t RC
uC (t ) [uC (0) U Cm cos u ] e U Cm cos(t u ) (t 0)
暂态响应 正弦稳态响应
(10 11)
本电路的初始条件为零，属于零状态响应，所画出的
波形如图所示。曲线1表示通解，它是电路的自由响应，当
2 2
2
(10 8)
u i arctan(CR )
(10 9)
微分方程的完全解为
uC (t ) Ke
可以求得
t RC
U Cm cos( t u )
(t 0) (10 10)
K uC (0) U Cm cos u
最后得到电容电压uC(t)的全响应为
将微分方程转变为复系数代数方程，再求解代数方程得到
电压电流相量，就能写出特解的瞬时值表达式。
例10-4 图10-9所示电路中，已知R=1, C=2F,
iS(t)=2cos(3t+45ห้องสมุดไป่ตู้)A, 试用相量法求解电容电压uC(t)
的特解。
图 10-9
解：写出电路的微分方程
du C 2 u C 2 cos(3t 45 ) dt
对方程先求导，再取实部
e jt )] RC Re[( j )U e jt )] Re(U e jt ) LC Re[( j ) 2U Cm Cm Cm e jt ) Re(U
Sm
得到复系数代数方程为
RC( j )U U U LC( j ) 2 U Cm Cm Cm Sm
j45
可以得到复系数代数方程
(j6 1)U Cm 245
(j6 1)U Cm 245
求解此代数方程得到电容电压相量
245 245 U Cm 0.329 35.5 V (1 j6) 6.0880.54
由此得到电容电压的瞬时值表达式
何初始条件，在具有相同频率ω的正弦电压源和电流源激
励下，电路中全部电压和全部电流随着t将按指数规律 趋于相同频率ω的正弦波形。当这种情况发生时，称电路 处于正弦稳态。
相量法求微分方程特解的方法与步骤如下： 1. 用KCL，KVL和VCR写出电路方程(例如2b方程， 网孔方程，结点方程等)，以感兴趣的电压电流为变量，写 出n阶微分方程。
uCp (t ) 0.329cos(3t 35.5 )V
这是图10－9所示电路中电容电压uC(t)的特解，也是电
容电压的正弦稳态响应。
例10-5 图10－11所示RLC串联电路中，已知
uS(t)=2cos(2t+30)V, R=1, L=1H, C=0.5F。 试用相量法求电容电压uC(t)和电感电流iL(t)的特解。
对应齐次微分方程的通解uCh(t)为
uCh (t ) Ke st Ke
的正弦时间函数，即
t RC
微分方程特解uCp(t)的形式与电流源相同，为同一频率
uCp (t ) U Cm cos(t u )
uCp (t ) U Cm cos(t u )
为了确定UCm和ψu，可以将上式代入微分方程中
代入R=1, L=1H, C=0.5F得到
230 V [0.5( j ) 2 0.5( j ) 1]U Cm
求解代数方程，注意到=2rad/s和j2=-1，得到电容电 压相量
U Cm
230 230 2 105 V 2 [0.5( j ) 0.5( j ) 1] 1 j1
e jt ) iS (t ) I Sm cos(t i ) Re(I Sm e jt ) u (t ) U cos(t ) Re(U
Cp Cm u Cm
代入微分方程
d 1 jt e jt ) Re( I e jt ) C [Re(U Cm e )] Re(U Cm Sm dt R
u i arctan( CR)
这与式(10－8)和(10－9)完全相同。计算出电容电压的 振幅和初相，就能够写出稳态响应
uCp (t ) U Cm cos(t u )
从以上叙述可知，用相量表示正弦电压电流后，可将 微分方程转换为复系数代数方程，求解此方程得到特解的 相量后，易于写出正弦稳态响应的瞬时值表达式。 我们可以将以上求特解的方法推广到一般情况，对于 由正弦信号激励的任意线性时不变动态电路，先写出n阶 常系数微分电路，再用相量表示同频率的各正弦电压电流，
取实部与微分运算的次序交换
1 jt e jt ) Re( I e j t ) Re[(jCU Cm e )] Re(U Cm Sm R 1 e j t ) Re[(jC＋ )U Cm e jt ] Re( I Sm R
由于方程在任何时刻相等，其方程的复数部分应该相
du C 2 u C 2 cos(3t 45 ) dt
将正弦电流用相量表示
iS (t ) 2 cos(3t 45 ) Re(2e
e j3t ) e j3t ) u Cp (t ) U Cm cos(3t u ) Re(U Cm
代入微分方程中
j3t Re[(j3 2 ＋ 1)UCme ] Re(2e e ) j3t j45
正弦稳态响应 一、正弦电流激励的RC电路分析
我们现在讨论图10-9所示RC电路，电路原来已经达到
稳定状态，在t=0时刻断开开关，正弦电流iS(t)=ISmcos(
t+ψi)作用于RC电路，求电容电压uC(t)的响应。
图 10-9
首先建立t>0电路的微分方程如下:
du C 1 C u C I Sm cos(t i ) dt R t0 (10 7)
等，由此得到一个复系数的代数方程
1 (j C )U Cm I Sm R
(10 12)
求解此代数方程得到电容电压相量为
U Cm
I Sm U Cm u jC 1 / R
电容电压的振幅和初相分别为
U Cm
I Sm
2 C 2 (1 / R) 2
x(t ) xh (t ) xp (t ) K1e K 2e K n e X m cos( t )
s1t s 2t sn t
(10 13)
s1、s2、…、sn是n阶动态电路的固有频率。如果全部 固有频率具有负实部 (即处于左半开复平面上)，则对于任
2. 用相量表示同一频率的各正弦电压电流，将n阶微
分方程转换为复系数代数方程。
3. 求解复系数代数方程得到所感兴趣电压或电流的相
量表达式。
4. 根据所得到的相量，写出正弦电压或电流的瞬时值 表达式。 以上步骤中，列出以某个电压或电流为变量的n阶微 分方程，并将它转换为复系数代数方程是最困难工作，电 路越复杂，工作量越大。 为此，我们可以先画出电路的相量模型，用相量形式 的KCL、KVL和元件VCR直接列出复数的电路方程。
图 10-11
解：以电容电压为变量列出电路的微分方程
d 2uC du C LC 2 RC u C uS dt dt
将方程中的uS(t)=2cos(2t+30)V和uC(t)用相量表示
d2 d jt e jt )] Re(U e jt ) LC 2 [Re(U Cm e )] RC [Re(U Cm Cm dt dt e jt ) Re(U Sm
必作习题：第441页 第十章：10 – 11 、10 –12 2002年春节摄于成都人民公园
RC>0的条件下，它将随着时间的增加而按指数规律衰减到 零，称为暂态响应。曲线2表示特解，它按照正弦规律变化， 其角频率与激励电源的角频率相同，当暂态响应衰减完后， 它就是电路的全部响应，称为正弦稳态响应。
图 10-10
二、 用相量法求微分方程的特解
求解正弦电流激励电路全响应的关键是求微分方程的 特解。假如能用相量来表示正弦电压电流，就可以将常系 数微分方程转变为复系数的代数方程，便于使用各种计算 工具。现将这种相量法介绍如下：
du C 1 C u C I Sm cos(t i ) dt R t0 (10 7)
1 CU Cm sin(t u ) U Cm cos( t u ) I Sm cos (t i ) R
求解得到
U Cm
I Sm
C (1 / R)
用相量法求解电路正弦稳态响应的方法和步骤如下： 1. 画出电路的相量模型，用相量形式的KCL，KVL和 VCR直接列出电路的复系数代数方程。 2. 求解复系数代数方程得到所感兴趣的各个电压和电 流的相量表达式。 3. 根据所得到的各个相量，写出相应的电压和电流的 瞬时值表达式。
用相量法分析正弦稳态响应的优点有： 1. 不需要列出并求解电路的n阶微分方程。 2. 可以用分析电阻电路的各种方法和类似公式来分析 正弦稳态电路。 3. 读者采用所熟悉的求解线性代数方程的方法，就能 求得正弦电压电流的相量以及它们的瞬时值表达式。 4. 便于读者使用计算器和计算机等计算工具来辅助电 路分析。