三角形中位线定理模型应用的思维导图

三角形中位线定理模型应用的思维导图

三角形中位线定理是一个重要知识点，更是一种重要的解题工具，熟练掌握定理的两种模型，能助力数学解题效率，提升数学核心素养.

一、定理模型构建

1.双中点模型

如图1 条件：在△ABC 中，点D 是边AB 的中点，点E 是边AC 的中点；

结论：12;2DE BC BC DE DE BC ⎧==⎪⎪⎨⎪⎪⎩

数量关系：或位置关系：∥.

2.中点+平行线模型

如图1 条件：在△ABC 中，点D 是边AB 的中点，DE ∥BC ；

结论：12;2.DE BC BC DE E AC ⎧==⎪⎪⎨⎪⎪⎩

数量关系：或位置关系：点是的中点

证明：如图2，过点C 作CF ∥AB ，交DE 的延长线于点F.∵DE ∥BC ，CF ∥AB,

∴四边形BDFC 是平行四边形，∴BD=CF. ∵AD=BD ，∴AD=CF.

∵CF ∥AB, ∴∠A=∠ACF ，∠ADE=∠EFC ，∴△ADE ≌△CFE ，∴AE=EC ，∴点E 是AC 的中点， DE 是△ABC 的中位线，∴DE=12

BC.

二、定理常用模型

1.双中点模型 此条件下，完全具备定理的条件，可以直接使用.

2.构造托底平行线型

如图3，在△ABC 中，点D 是边AB 的中点，点E 为AC 上一点，连接DE ，过点B 作BF ∥DE ，则DE 是△ABF 的中位线，定理可用.

3.构造中点平底线型

如图4，在△ABC中，点D是边AB的中点，过点D作DE∥BC，则DE是△ABC的中位线，定理可用.

三、应用剖析

1.平行四边形中构造使用定理

例1 （2020•陕西）如图5，在平行四边形ABCD中，AB=5，BC=8．E是边BC的中点，F是平行四边形ABCD内一点，且∠BFC=90°．连接AF并延长，交CD于点G．若EF∥AB，则DG 的长为（）

A. 5

2

B．

3

2

C．3 D．2

解析：如图5，延长CD，交BF的延长线于点H，∵E是边BC的中点，∠BFC=90°，∴EB=EF=EC= 1

2

BC=4，∵EF∥AB，CD∥AB，∴EF∥CD，∵E是边BC的中点，∴EF是三角形BCH的中位线，∴CH=8,DH=5，易证△ABF≌△GHF，∴AB=GH=5，∴AH=CG=BH-BA=BC-BA=8-5=3，

∴DG=GH-DH=5-3=2，∴选D.

点评：解答时，把握三个关键，一是直角三角形斜边中线原理；二是三角形中位线定理；三是构造中点型全等三角形法，这些都是解题的核心要素.

例2（2020•凉山州）如图6，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，OE∥AB交AD于点E，若OA=1，△AOE的周长等于5，则平行四边形ABCD的周长等于．

解析：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AD=BC，OB=OD，∵OE∥AB，∴OE是△ABD 的中位线，∴AB=2OE，AD=2AE，∵△AOE的周长等于5，∴OA+AE+OE=5，∴AE+OE=5﹣OA=5﹣1=4，∴AB+AD=2AE+2OE=8，∴平行四边形ABCD的周长=2×（AB+AD）=2×8=16.

点评：这是三角形中位线定理在平行四边形中常规性应用，或者说是基础性应用，是夯实基础的考题典范，值得规范掌握.

2.菱形中构造使用定理

例3（2020•荆门）如图7，菱形ABCD中，E，F分别是AD，BD的中点，若EF=5，则菱形ABCD的周长为（）A．20 B．30 C．40 D．50

解析：根据三角形中位线定理，得AB=2EF=10,所以菱形的周长为40，所以选C.

点评：这是三角形中位线定理在菱形中的基本应用，是基础性考题的代表.

例4（2020•临沂）如图8，菱形ABCD的边长为1，∠ABC＝60°，点E是边AB上任意一点（端点除外），线段CE的垂直平分线交BD，CE分别于点F，G，AE，EF的中点分别为M，N．（1）求证：AF=EF；（2）求MN+NG的最小值；（3）当点E在AB上运动时，∠CEF的大小是否变化？为什么？

解析：（1）如图8，连接CF，∵FG垂直平分CE，∴CF=EF，∵四边形ABCD为菱形，

∴A和C关于对角线BD对称，∴CF=AF，∴AF=EF；

（2）如图9，连接AC，∵M和N分别是AE和EF的中点，点G为CE中点，

∴MN=1

2

AF，NG=

1

2

CF，即MN+NG=

1

2

（AF+CF），当点F与菱形ABCD对角线交点O重合时，

AF+CF最小，即此时MN+NG最小，∵菱形ABCD边长为1，∠ABC=60°，∴△ABC为等边三角

形，AC=AB=1，即MN+NG的最小值为1

2

；

（3）不变，理由：∵∠EGF=90°，点N为EF中点，∴GN=FN=EN，∵AF=CF=EF，N为EF 中点，∴MN=GN=FN=EN，∴△FNG为等边三角形，即∠FNG=60°，∵NG=NE，

∴∠FNG=∠NGE+∠CEF=60°，∴∠CEF=30°，为定值．

点评：三角形中位线定理在菱形中的应用，助推线段和最值问题的灵活得解，足见这个定理的重要性和应用性，是值得深思活用的重要解题定理之一.

3.矩形中构造使用定理

例5 （2020年衢州改编）如图10，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE平分∠BAC，交BC于点E．作DF⊥AE于点H，分别交AB，AC于点F，G．（1）判断△AFG的形状并说明理由．（2）求证：BF=2OG．

解析：（1）△AFG是等腰三角形．理由如下：根据题意，得∠FAH=∠GAH，∠FHA=∠GHA，AH=AH，所以△FAH≌△GAH，所以AF=AG，所以三角形AFG是等腰三角形.

（2）解法1：如图10，过点O作OM∥BF，交DF于点M，∵OD=OB，∴OM是三角形DBF的中位线，∴BF=2OM.∵OM∥BF，∴∠AFG=∠OMG，∵∠AGF=∠OGM，∠AGF=∠AFG,∴∠OMG=∠OGM，∴OG=OM，∴BF=2OG．

点评：过一边中点构造平行线，从而构造出三角形的中位线，借助平行线的性质，等腰三角形的性质，等腰三角形的判定，三角形中位线定理实现解题目标.可谓小目标，展示了数学大智慧，构造中位线是解题关键.

解法2：如图11，过点O作OM∥FG，交BF于点M，∵OD=OB，∴OM是三角形DBF的中位线，∴BF=2FM.∵OM∥BF，∴∠AFG=∠AMO，∠AGF=∠AOM，∵∠AGF=∠AFG,∴∠AMO=∠AOM，

∴AM=AO，∵AF=AG，∴AM-AF=AO-AG即FM=OG，∴BF=2OG．

点评：构造不同的中位线，使用时所用到的知识原理就不同，体现知识的全面应用，其次，是