用放缩法证明不等式

用放缩法证明不等式

Company Document number：WUUT-WUUY-WBBGB-BWYTT-1982GT

利用放缩法证明数列型不等式

一、常用的放缩法在数列型不等式证明中的应用

1、裂项放缩法：放缩法与裂项求和的结合，用放缩法构造裂项求和，用于解决和式问题。裂项放缩法主要有两种类型：

（1）先放缩通项，然后将其裂成某个数列的相邻两项的差，在求和时消去中间的项。

例1设数列{}n a 的前n 项的和1412

2333n n n S a +=-⨯+，1,2,3,

n =。设2n

n n

T S =，

1,2,3,

n =，证明：1

32

n

i i T =<

∑。 证明：易得12(21)(21),3

n n

n S +=--11

32311()2(21)(21)22121n n n n n n T ++==-----， 11223

111

31131111

11

()()221212212121212121

n

n i i i n n i i T ++===-=-+-++

---------∑∑ =113113()221212

n +-<-- 点评： 此题的关键是将12(21)(21)n n n +--裂项成1

11

2121

n n +---，然后再求和，即可达到目标。

（2）先放缩通项，然后将其裂成(3)n n ≥项之和，然后再结合其余条件进行二次放缩。 例2 已知数列{}n a 和{}n b 满足112,1(1)n n n a a a a +=-=-，1n n b a =-，数列{}n b 的前n 和为

n S ，2n n n T S S =-； （I ）求证：1n n T T +>； （II ）求证：当2n ≥时，2n S 711

12

n +≥

。 证明：（I ）111111

1()23

2212

2n n T T n n n n n n

+-=

+++

-+++

+++++ 111

21221n n n =

+-

+++10(21)(22)

n n =>++ ∴1n n T T +>． （II ）112211222222,n n n n n n S S S S S S S S ---≥∴=-+-+

+-+1221122n n T T T T S --=++

+++

由（I ）可知n T 递增，从而12222n n T T T --≥≥≥，又11217

,1,212

T S T ===，

即当2n ≥时，2n S 711

12

n +≥

。 点评：此题（II ）充分利用（I ）的结论，n T 递增，将2n S 裂成

1122112222n n n n S S S S S S S ----+-+

+-+的和，从而找到了解题的突破口。

2、迭乘放缩法：放缩法与迭乘法的结合，用放缩法构造迭乘形式，相乘时消去中间项。用于解决积式问题。

例3 已知数列{}n a 的首项为13,a =点()1,+n n a a 在直线)(03*N n y x ∈=-上。

若3

*3log 2(),n n

c a n N =-∈证明对任意的*n ∈N

，不等式12

11

1

(1)(1+)(1+

)n

c c c +⋅⋅>恒成立．

证明： 32n c n =-，331313133131

(1+

)()323231332

n n n n n n c n n n n n --++=>⋅⋅=---- 所以312

1114731

[(1)(1+)(1+

)]311

4

32

n n n c c c n ++⋅⋅>⋅⋅⋅

=+- 即12

11

1

(1)(1+)(1+

)n

c c c +

⋅⋅> 点评：此题是证明积式大于根式，由于左边没有根式，右边是三次根式，立方后比较更容易处理。33131(1+

)()32

n n c n -=-可以看成是三个假分式的乘积，保持其中一项不变，另两项假分数分子分母同时加1，加2，则积变小，3313133131

(

)323231332

n n n n n n n n n n --++>⋅⋅=

----，而通项式为31

{

}32

n n +-的数列在迭乘时刚好相消，从而达到目标。 3、迭代放缩法：通过放缩法构造递推不等关系，进行迭代，从而求解。

例4 已知数列{}n x 满足，1111,,*21n n x x n N x +==

∈+，证明：1112

||()65

n n n x x -+-≤⋅。 证明：当1n =时，1211

||||6

n n x x x x +-=-=，结论成立。

当2n ≥时，易知

1111101,12,12n n n n x x x x ---<<+<=

>+111115

(1)(1)(1)(1)212

n n n n n x x x x x ----∴++=++=+≥+ 点评：此题将目标式进行放缩得到递推不等关系，进行迭代，找到解题途径。 4、等比公式放缩法：先放缩构造成等比数列，再求和，最后二次放缩实现目标转化。 例5已知数列{}n a 的各项均为正数，且满足111

122,

(),1n n

n n a a a n N a a *++-==∈-记2n n n b a a =-，数列{}n b 的前n 项和为n x ，且1

()2

n n f x x =

． （I ）数列{}n b 和{}n a 的通项公式； （II ）求证：

12231()()()

1()2()()

()2

n n

f x f x f x n n

n N f x f x f x *+-<+++

<∈．

略解：（I ） 2n

n b =，12

n a =，()21n n f x =-。

证明：（II ）

11()21211

, 1()2122(2)2

n n n n n n f x f x ++--==<--12231()()()()()()2

n n f x f x f x n

f x f x f x +∴+++

<．

∴

12231()()()

12()()

()2

n n f x f x f x n n

f x f x f x +-<+++

<．

反思：右边是2n ，感觉是n 个1

2的和，而中间刚好是n 项，所以利用1

211212n n +-<-；左边是12n -不能用同样的方式来实现，想到11

(())(()0)222

n n f n f n -=-+>，试着考虑将1

2121n n +--缩小成1

({}2

n n c c -是等比数列），从而找到了此题的突破口。 5、二项式定理放缩法：在证明与指数有关的数列型不等式时，用二项式定理放缩特别有效。二项式定理放缩法有两种常见类型：

（1）部分二项式定理放缩法：即只在式子的某一部分用二项式定理放缩。 例6已知数列{}n a 满足a a =1(2)a ≠-，1(46)410

21

n n n a n a n ++++=

+（n *∈N ）．