二次函数的最值问题(含答案)

---二次函数的最值问题

一、内容概述

对二次函数2(0)y ax bx c a =++≠，若自变量为任意实数，则取最值情况为：

（1）当0,2b a x a >=-时，2

44ac b y a -=最小值

（2）当0,2b a x a <=-时，2

44ac b y a

-=最大值

若自变量x 的取值范围为()x αβαβ≤≤≠，则取最值分0a >和0a <两种情况，由α、β与2b a

-的大小关系确定。

1．对于0a >：

（1）当2b

a

αβ<≤-

，因为对称轴左侧y 随x 的增大而减小，所以y 的最大值为()y α，最小值为()y β。这里()y α、()y β分别是y 在x α=与x β=时的函数值。

（2）当2b

a

αβ-≤≤，因为对称轴右侧y 随x 的增大而增大，所以y 的最大值为()y β，最小值为()y α。

（3）当2b a αβ≤-≤，y 的最大值为()y α、 ()y β中较大者，y 的最小值为()2b y a

-. 2．对于0a <

（1）当2b

a

αβ<≤-，y 的最大值为()y β，最小值为()y α。

（2）当2b

a

αβ-≤≤，y 的最大值为()y α，最小值为()y β。 （3）当2b a αβ≤-≤，y 的最小值为()y α、 ()y β中较大者，y 的最大值为()2b y a

-. 综上所述，求函数的最大、最小值，需比较三个函数值：()y α、()y β、()2b y a

- 二、例题解析

例1 已知12,x x 是方程22

(2)(35)0x k x k k --+++=的两个实数根，求2212x x +的最大值和最小值。

解：由于题给出的二次方程有实根，所以0∆≥，解得443

k -≤≤- ∴y ＝2212x x +＝21212()2x x x x +-＝2

106k k ---

∵函数y 在4

43

k -≤≤-随着k 的增大而减小 ∴当4k =-时，8y =最大值；当43k =-时，50

9

y =最小值

例2 （1）求函数2

43y x x =--在区间25x -≤≤中的最大值和最小值。

（2）已知：1y ≤，且21x y +=，求22

2163x x y ++的最小值。

解 （1）若240,2,x x -≥≥即则2

34y x x =-- ∴2

325()2

4y x =--

若240,2,x x -≤≤即则2

34y x x =--+ ∴2325()24

y x =-++

由此在25x -≤≤画出草图

∴2

325

()2

4

y x =--

（25x ≤≤），当5x =时，6y =最大值；当2x =时，6y =最小值－ 对2325()24y x =-++（22x -≤≤），当32x =－时，25

4y =最大值；2x =时，6y =最小值－

综上所述，2x =时，6y =最小值－；当32x =－时，25

4

y =最大值.

（2）由21x y +=得12

y

x -=，12y x =-

由1y ≤ 得11x -≤≤ 故01x ≤≤

∴222

2

1192163144314()7

7

z x x y x x x =++=++=++

z 为开口向上，对称轴为17x =－的抛物线，虽然有最小值19

7

，但17x =－不在01x ≤≤的范围内，

因此不是所求的最值。

又0x =时，3z =；1x =时，21z = ∴所求的最小值为3

例3 有两条抛物线223,9y x x y x =-=-+，通过点(,0)P t 且平行于y 轴的直线，分别交这两条抛物线于点A 和B ，当t 在0到3的范围内变化时，求线段AB 的最大值。

解：∵A 和B 的纵坐标分别为223,9t t t --+，

∴AB =2222

381(9)(3)2392()48

t t t t t t -+--=-++=--+

∴当34t =

时，线段AB 取得最大值818

例4 已知二次函数22

962y x ax a a =---+11

()33

x -

≤≤有最大值－3，求实数a 的值。 分析：本题是关于二次函数最值的“逆向问题”，由题设知，二次函数22

962y x ax a a =---+的对

称轴是3a x =-，而x 的取值范围是11

33

x -≤≤，所以要对3a -是否在x 的取值范围内讨论求解。

解：（1）若11333a -≤-≤，即11a -≤≤，抛物线开口向下，当3

a

x =-时，2y a =最大值

∵二次函数最大值3-，即3

2

a =-与11a -≤≤矛盾，舍去。

（2）若1

,133a a -<->即

当1133x -≤≤时，y 随x 增大而减小，当13x =-时，2

41y a a =-+-最大值，

由2413,2a a a -+-=-=解得

又1a >，∴2a =+（3）若1

,133a a -

><-即 当1133x -≤≤时，y 随x 增大而增大，当13x =时，2

1y a =--最大值，

由213,a a --=-=解得

又1a <-，∴a =