北师大版七年级数学下册第一章同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方知识点总结及练习(含答案)(最新整理)

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同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方知识点总结及练习

一、教学要求、

1. 体会幂的意义,会用同底数幂的乘法性质进行计算,并能解决一些实际问题。

2. 会用幂的乘方、积的乘方性质进行计算,并能解决一些实际问题。二、重点、难点: 1. 重点:

(1)同底数幂的乘法性质及其运算。

(2)幂的乘方与积的乘方性质的正确、灵活运用。 2. 难点:

(1)同底数幂的乘法性质的灵活运用。

(2)探索幂的乘方、积的乘方两个性质过程中发展推理能力和有条理的表达能力。三. 知识要点:

1. 同底数幂的意义

几个相同因式a 相乘,即a a a n ··…·个

,记作a n

,读作a 的n 次幂,其中a 叫做底

数,n 叫做指数。

同底数幂是指底数相同的幂,如:23

与25

,a 4

与a ,()a b 23与()a b 27

,()x y -2

()x y -3等等。

注意:底数a 可以是任意有理数,也可以是单项式、多项式。 2. 同底数幂的乘法性质

a a a m n m n ·=+(m ,n 都是正整数)

这就是说,同底数幂相乘,底数不变,指数相加。

当三个或三个以上同底数幂相乘时,也具有这一性质,例如:

a a a a m n p m n p ··=++(m ,n ,p 都是正整数)

3. 幂的乘方的意义

幂的乘方是指几个相同的幂相乘,如

()a 53是三个a 5相乘读作a 的五次幂的三次方,()a m n

是n 个a m

相乘,读作a 的m 次幂的n 次方

()()a a a a a a a a a a n a n a m n m m m m m m m n

5355555553

======++⨯+++⨯····…·个个…

4. 幂的乘方性质

()a a m n mn =(m ,n 都是正整数)

这就是说,幂的乘方,底数不变,指数相乘。

注意:(1)不要把幂的乘方性质与同底数幂的乘法性质混淆,幂的乘方运算,是转化为指数的乘法运算(底数不变);同底数幂的乘法,是转化为指数的加法运算(底数不变)。

(2)此性质可逆用:()a a mn m

n

=。

5. 积的乘方的意义

积的乘方是指底数是乘积形式的乘方,如()()ab ab n

3,等。

()()()()ab ab ab ab 3=(积的乘方的意义)

()()=a a a b b b ····(乘法交换律,结合律)

=a b 33

·()()()()

ab ab ab ab n =… ()()

==a a a n b b b n a b

n n

·…·…·个个 6. 积的乘方的性质

()ab a b n n n =·(n 为正整数)

这就是说,积的乘方,等于把积的每一个因式分别乘方,再把所得的幂相乘。注意:(1)三个或三个以上的乘方,也具有这一性质,例如:

()abc a b c n

n n n

=··(2)此性质可以逆用:()

a b ab n n

n

·= 四、典型例题 例1. 计算:

(1)-⎛⎝ ⎫⎭

⎪-⎛⎝ ⎫⎭⎪

121223

·(2)

a a a 102

··(3)-a a

2

6

·(4)327812

⨯⨯

解:(1)-⎛⎝ ⎫⎭

-⎛⎝ ⎫⎭⎪=-⎛⎝ ⎫⎭⎪

=-⎛⎝ ⎫

⎭=-+12121212132

2323

5

·(2)a a a a

a 10

2

1021

13

··==++(3)

-=-=-+a a a a 26268

·(4)32781333332234234

9

⨯⨯=⨯⨯==++ 例2. 已知a

a m

n ==23,,求下列各式的值。

(1)a

m +1

(2)a

n

3+(3)a

m n ++3

分析:此题是同底数幂的乘法的逆用,将幂拆分成几个同底数幂的积。(1)a a a a m m +==1

2·(2)a

a a a n

n 333

3+==·(3)

a a a a a m n m n ++==3336·· 例3. 计算:

(1)

()()x y y x --2223·(2)

()()()a b c b c a c a b --+--+23解:(1)方法一:

()()()()()x y y x y x y x y x --=--=-2222223235

··方法二:

()()()()[]()x y y x x y x y x y --=---=--2222223235

··(2)

()()()a b c b c a c a b --+--+23()()()()

=-+-+-+-=-+-b c a b c a b c a b c a 23

6

例4. 计算:

(1)

()

-223

(2)

()

x 44

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