导数的概念与函数的求导法则

注意:
f ′( x 0 ) = f ′( x )
x = x0
.
f ′( x0 ) ≠ [ f ( x0 )]′
注意 函数f ( x )在点 x0 的导数f ′( x0 )是因变量
在点 x0处的变化率， 它反映了因变量随 自变量的变化而变化的快慢程度.
三、单侧导数 定义３ （1）左导数:
f ( x ) − f ( x0 ) f ( x0 + Δx ) − f ( x0 ) f −′( x0 ) = lim− = lim− ; x → x0 Δx → 0 x − x0 Δx
2．1 2．2 2．3 2．4 2．5 2．6
导数的概念 函数的求导法则 高阶导数 隐函数及由参数方程 所确定的函数的导数 导数的简单应用 函数的微分
2.1
导数的概念
一、导数概念的引入 二、导数的定义 三、单侧导数 四、函数的可导性与连续性的关系
一、导数概念的引入
求函数变化率的两个实例 实例1 质点作变速直线运动的瞬时速度.
由∀x ∈ I → f ′( x )确定的新函数 y = f ′( x )叫做f ( x ) dy df ( x ) 的导函数，简称导数，记作 y′，f ′( x )， 或 . dx dx
f ( x + Δx ) − f ( x ) 即 y ′ = lim Δx → 0 Δx f ( x + h) − f ( x ) 或 f ′( x ) = lim . h→ 0 h
（2）物理意义 非均匀变化量的瞬时变化率.
变速直线运动:路程对时间的导数为物体的 瞬时速度. Δs ds v ( t ) = lim = . Δt → 0 Δ t dt 交流电路:电量对时间的导数为电流强度.
ΔQ dQ i ( t ) = lim = . Δt → 0 Δ t dt
非均匀的物体:质量对长度(面积,体积)的导数 为物体的线(面,体)密度.
= a x ln a .
即
(a )′ = a ln a .
x x
( e )′ = e .
x x
例4 求函数 y = log a x (a > 0, a ≠ 1) 的导数 . 解
log a ( x + h) − log a x y ′ = lim h→ 0 h h log a (1 + ) x ⋅1 = lim h→ 0 h x x x 1 1 1 h h . = lim log a (1 + ) = log a e = x h→ 0 x x x ln a
实例2 切线问题
割线的极限位置——切线位置
播放 播放
y
如图, 如果割线MN绕点 M旋转而趋向极限位置 MT,直线MT就称为曲线 C在点M处的切线. 极限位置即
MN → 0, ∠NMT → 0.
y = f ( x)
N T
C
o
α
M
ϕ
x0
x
x
设 M ( x 0 , y 0 ), N ( x , y ).
∵ f (0) = lim f ( x ) = 0
⎧ x2 , x ≤1 例8 设函数 f ( x ) = ⎨ , 为了使函数 f ( x ) ⎩ax + b, x > 1 在x = 1处连续且可导， a , b应取什么值 ?
解
f (1) = 1
, f (1− ) = lim x 2 = 1, −
x →1 x →1
f (1+ ) = lim (ax + b ) = a + b +
若f ( x )在x = 1连续 , 则a + b = 1 x2 − 1 ′ f _ (1) = lim− =2 x →1 x − 1 ax + b − 1 ax − a ′ f + (1) = lim+ = lim+ = a ∴ a = 2, b = −1 x →1 x →1 x − 1 x −1
即
(C )′ = 0.
例2 设函数 f ( x ) = sin x , 求(sin x )′及(sin x )′ 解
(sin x )′ = lim sin( x + h) − sin x h→ 0 h h sin h 2 = cos x . = lim cos( x + ) ⋅ h→ 0 h 2 2
设质点的运动方程为s = s(t),则 从时刻 t0 到 t0 +Δt 时间段内，质点走过的路程为： Δs = s(t0 + Δ t ) – s(t0 ) 在时间间隔Δt 内，质点运动的平均速度为:
Δ s s( t 0 + Δ t ) − s( t 0 ) v= = Δt Δt
当Δt→0时，取极限得质点在时刻t0的瞬时速度: s( t 0 + Δ t ) − s( t 0 ) v = lim Δ t →0 Δt
3
例6 讨论函数 f ( x ) = x 在x = 0处的可导性 . 解 ∵ f ( 0 + h) − f ( 0 ) = h ,
h h
f ( 0 + h) − f ( 0 ) h lim+ = lim+ = 1, h→ 0 h→ 0 h h f ( 0 + h) − f ( 0 ) −h lim− = lim− = − 1. h→ 0 h→ 0 h h
y − y0 f ( x ) − f ( x0 ) 割线MN的斜率为 tan ϕ = = , x − x0 x − x0
N ⎯沿曲线C → M , x → x 0 , ⎯⎯ ⎯
f ( x ) − f ( x0 ) . 切线MT的斜率为 k = tan α = lim x → x0 x − x0
二、导数的定义 定义1 设y = f ( x )在点x0的某个邻域U ( x0 )内有定义,
即
1 (log a x )′ = . x ln a
1 (ln x )′ = . x
例5 求函数 y = x n ( n为正整数 ) 的导数 . 解
( x + h) n − x n ( x n )′ = lim h→ 0 h n( n − 1) n− 2 n −1 = lim[nx + x h+ h→ 0 2!
且 x0 + Δ x ∈ U ( x0 ) , 若 f ( x0 + Δ x ) − f ( x0 ) lim 存在 Δx → 0 Δx 则称y = f ( x )在点x0处可导, 并称这个极限为y = f ( x ) dy df ( x ) 在点x0处的导数, 记为y′ x = x0 , f '( x0 ), x = x0 或 dx dx f ( x0 + Δ x ) − f ( x0 ) Δy = lim 即 y′ x = x0 = lim Δx → 0 Δ x Δx → 0 Δx
x0
x
切线方程为 y − y 0 = f ′( x 0 )( x − x 0 ). 1 ( x − x 0 ). 法线方程为 y − y 0 = − f ′( x 0 )
1 1 例7 求等边双曲线 y = 在点( ,2)处的切线的 2 x 斜率, 并写出在该点处的切线 方程和法线方程 .
解 由导数的几何意义, 得切线斜率为
π x= 4
.
即 (sin x )′ = cos x .
∴ (sin x )′
π x= 4
= cos x
π x= 4
2 = . 2
例3 求函数 f ( x ) = a (a > 0, a ≠ 1) 的导数 .
x
解
a x+h − a x (a x )′ = lim h →0 h ah − 1 = a x lim h→ 0 h
实例1 质点作变速直线运动的瞬时速度:
v ( t 0 ) = s ′( t 0 )
实例2 曲线 y = f(x)上一点M(x0 , f (x0))处的 切线斜率:
tan α = f ′( x0 )
定义2
如果y = f ( x )在开区间 I 内的每点处都可导, 则称函数f ( x )在开区间 I 内可导.
Δx → 0
lim Δy = lim [ f ′( x 0 )Δx + αΔx ] = 0
Δx → 0
∴ 函数 f ( x )在点 x0 连续 .
注意: 该定理的逆定理不成立 (连续函数未必可导)
例如 y =|x|在x = 0处连续但不可导.
1 ⎧ ⎪ x sin , x ≠ 0 , 例7 讨论函数 f ( x ) = ⎨ x ⎪ 0, x=0 ⎩ 在 x = 0处的连续性与可导性 .
小结
1. 导数的实质: 增量比的极限;
2. f ′( x 0 ) = a ⇔ f −′ ( x 0 ) = f +′ ( x 0 ) = a;
3. 导数的几何意义: 切线的斜率; 4. 函数可导一定连续，但连续不一定可导; 5. 求导数最基本的方法: 由定义求导数.
1 解 ∵ sin 是有界函数 , x ∴ lim x sin
x →0
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1 =0 x
∴ f ( x )在x = 0处连续 . x →0 1 −0 (0 + Δx ) sin 1 Δy 0 + Δx = sin = 但在 x = 0处有 Δx Δx Δx Δy 当Δx → 0时, 在 − 1和1之间振荡而极限不存在 . Δx ∴ f ( x )在x = 0处不可导 .
+ h n−1 ] = nx n − 1
即
更一般地 例如,
( x n )′ = nx n − 1 .
( x μ )′ = μ x μ −1 . ( μ ∈ R )
1
1 2 −1 = 1 . ( x )′ = x 2 x 2
( x )′ = ( −1) x
−1
− 1− 1
1 =− 2. x
′ = 3x 2 (x )
导数 f +′ ( x 0 )都存在且相等.
注意:
如果 f ( x )在开区间 (a, b )内可导，且 f +′ (a ) 及
f −′ (b ) 都存在，就说 f ( x )在闭区间[a , b]上可导.
由定义求导数步骤:
(1) 求增量 Δy = f ( x + Δx ) − f ( x );
( 2) 算比值 ( 3) 求极限
四、函数的可导性与连续性的关系 定理２ 若 f (x)在 x0 处可导，则 f (x)在x0 处连续. 证 设函数 f ( x )在点 x 0可导,
Δy lim = f ′( x 0 ) Δx → 0 Δ x Δy = f ′( x 0 ) + α Δx
α → 0 ( Δ x → 0 ) Δ y = f ′( x 0 ) Δ x + α Δ x
x = x0
.
f ( x0 + Δ x ) − f ( x0 ) 若 lim 不存在,则称f ( x )在点x0不可导. Δx → 0 Δx
f ( x0 + Δ x ) − f ( x0 ) Δy y′ x = x0 = lim = lim Δx → 0 Δ x Δx → 0 Δx f ( x 0 + h) − f ( x 0 ) . 其它形式 f ′( x 0 ) = lim h→ 0 h f ( x ) − f ( x0 ) f ′( x 0 ) = lim . x → x0 x − x0
k = y′
1 x= 2
1 = ( )′ x
1 x= 2
1 =− 2 x
1 x= 2
= − 4.
1 所求切线方程为 y − 2 = −4( x − ), 即 4 x + y − 4 = 0. 2 1 1 法线方程为 y − 2 = ( x − ), 即 2 x − 8 y + 15 = 0. 4 2
Δy f ( x + Δx ) − f ( x ) = ; Δx Δx Δy y ′ = lim . Δx → 0 Δ x
例1 求函数 f ( x ) = C (C为常数 ) 的导数 .
f ( x + h) − f ( x ) C −C f ′( x ) = lim 解 = 0. = lim h→ 0 h →0 h h
即 f +′ (0) ≠ f −′ (0), ∴ 函数 y = f ( x )在x = 0点不可导 .
y
y= x
o
x
注意
导数的几何意义与物理意义
y
y = f ( x)
（1）几何意义
f ′( x 0 )表示曲线 y = f ( x ) 在点 M ( x 0 , f ( x 0 ))处的
T M
α
切线的斜率 , 即 f ′( x 0 ) = tan α , (α为倾角) o
（2）右导数:
f ( x ) − f ( x0 ) f ( x0 + Δ x ) − f ( x0 ) f +′ ( x0 ) = lim+ = lim+ . x → x0 Δx → 0 x − x0 Δx
左、右导数统称为单侧导数．
定理1 函数 f ( x )在点 x 0 处可导 ⇔ 左导数 f −′ ( x 0 ) 和右