角平分线导学案
徐闻县和安中学数学教学导学案设计：11.3 角平分线的性质1
徐闻县和安中学 ◆八年级数学导学案 设计：林朝清 ◆◆我们的约定：我的课堂 我作主！ 第 周 星期 第 节 本学期学案累计: 6 课时 姓名：________课题：《11.3角的平分线的性质》（1）学习目标 我的目标 我实现1、经历角的平分线性质的发现过程，初步掌握角的平分线的性质定理．2、能运用角的平分线性质定理解决简单的几何问题.3、极度热情、高度责任、自动自发、享受成功。
突破：【重点】掌握角的平分线的性质定理【难点】角平分线定理的应用。
导学过程 我的课堂 我作主☆☆导学活动1☆☆自主学习 我探索 我快乐1、复习思考什么是角的平分线？怎样画一个角的平分线？2．如右图，AB ＝AD ，BC ＝DC ， 沿着A 、C 画一条射线AE ，AE 就是∠BAD的角平分线，你知道为什么吗3.根据角平分仪的制作原理，如何用尺规作角的平分线？自学课本19页后，思考为什么要用大于21MN 的长为半径画弧？4．OC 是∠AOB 的平分线，点P 是射线OC 上的任意一点，操作测量：取点P 的三个不同的位置，分别过点P 作PD ⊥OA ，PE ⊥OB,点D 、E 为垂足，测量PD 、PE 的长.将三次数据填入下表：观察测量结果,猜想线段PD 与PE 的大小关系，写出结论PD PE 第一次第二次第三次◆八年级数学导学案 设计：林朝清 设计时间 2013年9月3日O A BE D C P5、命题：角平分线上的点到这个角的两边距离相等.题设：一个点在一个角的平分线上结论：这个点到这个角的两边的距离相等结合第4题图形请你写出已知和求证，并证明命题的正确性解后思考：证明一个几何命题的步骤有那些？6、用数学语言来表述角的平分线的性质定理：如右上图，∵OC 是∠AOB 的平分线，点P 是∴☆☆导学活动2☆☆合作探究 我合作 我成功1、如图所示OC 是∠AOB 的平分线,P 是OC 上任意一点,问PE=PD?为什么?2、如图：在△ABC 中，∠C=90°，AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于E ，F 在AC 上，BD=DF ；求证：CF=EB徐闻县和安中学 ◆八年级数学导学案 设计：林朝清 ◆◆我们的约定：我的课堂 我作主！ E D C B A ☆☆导学活动3☆☆学以致用 我尝试 我成功在Rt △ABC 中，BD 平分∠ABC ， DE ⊥AB 于E ，则 ⑴图中相等的线段有哪些？相等的角呢？ ⑵哪条线段与DE 相等？为什么？ ⑶若AB ＝10，BC ＝8，AC ＝6，求BE ，AE 的长和△AED 的周长。
《与三角形有关的线段—三角形的高、中线与角平分线》导学案
《与三角形有关的线段—三角形的高、中线与角平分线》导学案一、学习目标1.了解三角形的高、中线、角平分线等有关概念.掌握任意三角形的高、中线、角平分的线画法。
通过观察认识到三角形的三条高、三条中线、三条角平分线分别交于一点.2.通过自己动手操作，掌握三角形的高、中线与角平分线的画法，通过与小组成员讨论画出三角形的三条高、三条中线、三条角平分线分别交于一点这一结论. 3.通过画图体会学习数学中的严谨精神，通过与组员合作，增强合作意识。
二、重点、难点学习重点：三角形的高、中线、角平分线概念的简单运用及它们的几何语言表达。
学习难点：钝角三角形的高的画法 三、获取新知忆一忆1、过A 点做线段BD 的垂线，垂足为C 。
2、线段的中点：把一条线段分成两条相等的线段的点。
（画出线段AB 的中点C ）3、角平分线：从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个 相等的角，这条射线叫做这个角的角平分线。
（画出∠AOB 的角平分线学一学1、 三角形的高 从△ABC 的顶点A 向它 所对的边BC 所在直线画垂线，垂足为D ，所得线段AD 叫做△ABC 的边BC 上的_____ .如图⑴，AD 是△ABC 的高，则AD ⊥_____.2、三角形的中线 连接△ABC 的顶点A 和它所对的边BC 的中点D ，所得线段AD 叫做△ABC 的边BC 上的_____ .如图⑵，AD 是△ABC 的中线，则BD ＝______=21.3、三角形的角平分线 ∠BAC 的平分线AD ，交∠BAC 的对边BC 于点D ，所得线段AD 叫做△ABC 的___________.如图⑶，AD 是△ABC 的角平分线，则∠BAD ＝∠_______21∠ ..想一想2、三角形的角平分线与角的平分线有什么区别？高与垂线呢？3、一个三角形有几条高？几条中线？几条角平分线？画一画4、分别在下列锐角三角形、直角三角形、钝角三角形中画出所有的中线。
（组内分工，1-2名负责一个图形）完成后，课辅组织组内成员观察。
角平分线的性质导学案
12.3 角的平分线的性质导学案学习目标：1、会用尺规作已知角的平分线，知道作法的合理性；2、探索并证明角的平分线的性质定理；3、能用角的平分线的性质解决简单问题。
学习重点：探索并证明角的平分线的性质定理。
学习难点：角平分线性质定理的应用。
学习过程：一、情境导入问题：在S区有一个集贸市场P，它建在公路与铁路所成角的平分线上，要从P点建两条路，一条到公路，一条到铁路。
问题1：怎样修建道路最短？问题2：往哪条路走更近呢？P二、自学指导让学生先阅读课本48-49页内容，思考下面的问题：1、平分角的仪器怎么使用？2、用尺规如何平分已知角？3、角平分线的性质是4、角平分线的性质怎么证明？5、证明几何命题的一般步骤是：（1）；（2）；（3）。
三、自主探究合作展示探究（一）：角平分仪平分角的道理：1、为什么角平分仪能平分一个角？（小组讨论回答）。
探究（二）如何作尺规作出一个角的平分线呢？1、分析角平分仪原理，你能利用圆规和直尺作角的平分线吗？（小组讨论）2、师生共同用尺规作角的平分线。
已知：∠AOB．求作：∠AOB的平分线．作法：（1）以O为圆心，适当长为半径作弧，分别交OA、OB于M、N．（2）分别以M、N为圆心，大于1MN的长为半径作弧．两弧在2∠AOB内部交于点C．（3）作射线OC。
射线OC 即为所求．3、让学生回答为什么射线OC 是∠AOB 的平分线。
4、在上面作法的第二步中，去掉“大于12MN 的长”这个条件行吗？探究（三）、探究角平分线的性质：如图4，OA 是∠BAC 的平分线，点O 是射线AM 上的任意一点. 操作测量：取点O 的三个不同的位置，分别过点O 作OE ⊥AB ，OD ⊥AC,点D 、E 为垂足，测量OD 、OE 的长.将三次数据填入下表：根据测量结果，猜想线段OD 与OE 的大小关系，猜想角平分线的性质结论是： 。
让学生用学过的知识证明此结论：教师引导学生分析这个文字命题的条件和结论，并找出结论中的隐含条件，最后让学生画出图形，用符号语言写出已知和求证，图4ODOE 第一次 第二次第三次BOAM并独立完成证明过程。
徐闻县和安中学数学教学导学案设计：11.3 角平分线的性质2
徐闻县和安中学 ◆八年级数学导学案 设计：林朝清 ◆◆我们的约定：我的课堂 我作主！P N M C B A第 周 星期 第 节 本学期学案累计: 7 课时 姓名：________课题：《11.3角的平分线的性质》（2）学习目标 我的目标 我实现1、会叙述角的平分线的性质及“到角两边距离相等的点在角的平分线上”．2、能应用这两个性质解决一些简单的实际问题．3、极度热情、高度责任、自动自发、享受成功。
突破：【重点】角平分线的性质及其应用【难点】灵活应用两个性质解决问题。
导学过程 我的课堂 我作主☆☆导学活动1☆☆自主学习 我探索 我快乐1、复习思考（1）、画出三角形三个内角的平分线你发现了什么特点吗？（2）、如图，△ABC 的角平分线BM ，CN 相交于点P ，求证：点P 到三边AB ，BC ，CA 的距离相等。
2、求证：到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。
（提示：先画图，并写出已知、求证，再加以证明）◆八年级数学导学案设计：林朝清设计时间2013年9月3日3、要在Ｓ区建一个集贸市场，使它到公路，铁路距离相等且离公路，铁路的交叉处５00米，应建在何处？（比例尺 1：20 000）☆☆导学活动2☆☆合作探究我合作我成功1、比较角平分线的性质与判定2、如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D，E，BE，CD相交于点O，OB＝OC，求证∠1＝∠2徐闻县和安中学 ◆八年级数学导学案 设计：林朝清 ◆◆我们的约定：我的课堂 我作主！ D CB A ☆☆导学活动3☆☆学以致用 我尝试 我成功1、课本22页练习题2、能力提高(*)如图，在四边形ABCD 中，BC>BA ，AD=DC,BD 平分∠ABC,求证：∠A+∠C=180°☆☆导学活动4☆☆课堂小结 我交流 我快乐这节课你有什么收获呢？与你的同伴进行交流☆☆导学活动5☆☆课后作业 我承担1、已知△ABC 中，∠A=60°，∠ABC,∠ACB 的平分线交于点O ，则∠BOC 的度数为2、下列说法错误的是（ ）A 、到已知角两边距离相等的点都在同一条直线上B 、一条直线上有一点到已知角的两边的距离相等，则这条直线平分已知角C 、到已知角两边距离相等的点与角的顶点的连线平分已知角D 、已知角内有两点各自到两边的距离相等，经过这两点的直线平分已知角3、到三角形三条边的距离相等的点是（ ）A 、三条中线的交点B 、三条高线的交点C 、三条边的垂直平分线的交点D 、三条角平分线的交点4、课本23页第6题。
角的平分线的判定(导学案)-八年级数学上册同步备课系列
12.3.2角的平分线的判定导学案一、学习目标：1.理解角平分线的判定定理.2.掌握角平分线判定定理内容的证明方法并应用其解题.3.学会判断一个点是否在一个角的平分线上.重点：角的平分线的判定定理的证明及应用.难点：角的平分线的判定.二、学习过程：课前自测角平分线的性质定理：文字语言：__________________________________________________.几何符号：________________________________________________________________________合作探究思考：我们知道，角平分线上的点到角的两边的距离相等.那么到角的两边的距离相等的点是否在角的平分线上呢？（先独立思考，然后在组内交流分享，通过观察动画演示，确定猜想）猜想：__________________________________________________.把猜想转化成具体数学问题，认真填写一下已知和求证：已知:__________________________________________________________.求证:________________________________________________.※角的平分线的判定：文字语言：________________________________________________.几何语言：____________________________________________________________________思考：如图，要在S区建一个集贸市场，使它到公路，铁路距离相等，离公路与铁路交叉处500米.这个集贸市场应建于何处(在图上标出它的位置，比例尺为1:20000)？【针对练习】如图，在直线MN 上求作一点P ，使点P 到射线OA 和OB 的距离相等.典例解析例1.如图，△ABC 的角平分线BM ，CN 相交于点P .求证：点P 到三边AB ，BC ，CA 的距离相等.例2.如图，在△AB C 中，点O 是△ABC 内一点，且点O 到△ABC 三边的距离相等．若∠A ＝40°，则∠BOC 的度数为()A ．110°B ．120°C ．130°D ．140°例3.如图，PA 、PC 分别是△ABC 外角∠MAC 与∠NCA 的平分线,它们交于点P ，PD ⊥BM 于D ，PF ⊥BN 于F .求证:BP 为∠MBN 的平分线.【针对练习】如图，△ABC 的∠ABC 的外角的平分线BD 与∠ACB 的外角的平分线CE 相交于点P .求证：点P 到三边AB ，BC ，CA 所在直线的距离相等.例4.如图，∠B =∠C =90°，M 是BC 的中点，DM 平分∠ADC ，求证:(1)AM 平分∠DAB ;(2)AD =AB +CD.达标检测1.如图，PD ⊥OA 于D ，PE ⊥OB 于E ，PD =6cm ，当PE =____cm 时，点P 在∠AOB 的平分线上.2.如图,已知P A ⊥ON 于A,PB ⊥OM 于B,且PA =PB,∠MON =50°,∠OPC =30°，则∠PCA=______.3.如图，直线l 1，l 2，l 3表示三条两两相互交叉的公路，现在拟建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离都相等，则可供选择的地址有____处.4.如图所示，已知△ABC 的周长是10，OC 、OB 分别平分∠ABC 和∠ACB ，OD 上BC 于D ，且OD =1，则△ABC 的面积是_______.5.如图，某市有一块由三条马路围成的三角形绿地，现准备在绿地中建一小亭供人小憩，使小亭中心到三条马路的距离相等，试确定小亭的中心位置.6.如图，有一块三角形的闲地，其三边长分别为30m 、40m 、50m ，现要把它分成面积比为3:4:5的三部分，分别种植不同的花，请你设计一种方案，并简要说明理由.7.如图，BE=CF，DE⊥AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，且DB=D C．求证:AD是∠BAC的平分线.。
八年级数学上册 三角形角平分线性质二导学案 新人教版
八年级数学上册三角形角平分线性质二导学案新人教版（二）自研课（时段：晚自习时间：10 分钟） A1、旧知链接：作出∠AOB的平分线OC，并保留作图痕迹。
2、新知自研：自研教材P20-P21的内容。
展示课（时段：正课时间：60 分钟） O B学习主题：1、认知角平分线性质的推导过程;2、初步掌握证明一个几何命题的一般步骤和方法。
二、【定向导学互动展示当堂反馈】导学流程自研自探环节合作探究环节展示提升环节质疑评价环节总结归纳环节自学指导（内容、学法、时间）互动策略（内容、形式、时间）展示方案（内容、方式、时间）随堂笔记（成果记录、知识生成、同类演练）定理生成与定理推导（44分钟）小时候我们折过纸飞机、千纸鹤、小纸船……那么你们是否思考过在折纸过程中那一道道折痕中所蕴含着数学知识呢？下面一起来折一折，想一想吧。
【实验操作】1、折一折：自研教材P20页的“探究”部分，动手完成下列操作：（1）将准备好的∠AOB边边重合对折，得到∠AOB的（2）再折出一个直角三角形，使第一条折痕为斜边，然后展开，画出这两条折痕，即为∠AOB平分线上的点、到两边的（3）再将折痕画出并命名，并剪下贴在下图中量一量，你得到的∠AOB平分线上的一点到两边的距离关系有什么关系?并把你的发现呈现在随堂笔记部分、1、两人小对子：结合自研成果对子间进行交流，并就任务完成情况和书写工整度两方面迅速给出等级评定。
2、五人互助组： 将自己亲手折叠的过程展示给你的小对子，并得到角平分线性质，并相互帮助充分理解、 结合学法指导以及书中P20-P21的内容，弄懂证明几何中命题的步骤，并理解角平分线性质的证明过程。
感知证明命题之前画出图形，并用符号表示已知和求证的直观性与便利性3、人共同体：大组长组织本组成员交流、明确互助结果；围绕展示任务，参照展示方案，优化展示形式，分派展示任务，进行组内预演。
（10分钟）展示单元一方案预设一主题：定理生成亲手操作，模型折叠，说明每一步折叠的目的，然后测量出角平分线上的点到两边的距离，多次选择不同的点重复操作，最终得到角平分线性质。
北师大版八年级数学下册《角平分线》第二课时导学案
角平分线（二）学习目标：1、能够证明三角形的三条角平分线相交于一点这一定理。
2、进一步发展学生的推理证明意识和能力。
学习过程：一、前置准备：三角形角平分线性质定理和判定定理的内容是什么？作用呢？二、自主学习：如图：设△ABC的角平分线BM、CN交于P，求证：P点在∠BAC的平分线上定理：三角形的三条角平分线交于点，并且这一点到三条边的距离。
引申：三角形的三条角平分线交于一点，若设这一点到其中一边的距离为m，三边长分别为a、b、c，则三角形的面积S= 。
对应练习：1、已知：△ABC中，BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，且交于P,若P到边AB的距离为3cm，△ABC的周长为18cm，则△ABC的面积为。
2、到三角形三边距离相等的点是（）A、三条中线的交点；B、三条高的交点；C、三条角平分线的交点；D、不能确定三、合作交流；例：△ABC中，AC=BC, ∠C=900,AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E。
（1）已知：CD=4cm,求AC长（2）求证：AB=AC+CD四、归纳总结：1、我的收获？2、我不明白的问题？五、当堂训练：1、到一个角的两边距离相等的点在。
2、△ABC中，∠C=900,∠A的平分线交BC于D,BC=21cm,BD:DC=4:3,则D到AB的距离为.3、Rt△ABC中，AB=AC,BD平分∠ABC，DE⊥BC于E，AB=8cm，则DE+DC= cm。
4、△ABC中，∠ABC和∠BCA的平分线交于O,则∠BAO和∠CAO的大小关系为。
5 、Rt△ABC中，∠C=900，BD平分∠ABC，CD=n，AB=m，则△ABD的面积是。
6、已知：OP是∠MON内的一条射线，AC⊥OM,AD⊥ON,BE⊥OM,BF⊥ON,垂足分别为C、D、E、F，且AC=AD求证：BE=BF课下训练：P39 习题1、2、3中考真题：三条公路围成了一个三角形区域，今要在这个三角形区域内建一果品批发市场到这三条公路的距离相等，试找出批发市场的位置。
角平分线的性质导学案
1.4 角平分线的性质与判定导学案（一）【导学目标】1、掌握角平分线的性质定理及判定定理；2、理解原命题、逆命题、逆定理的概念及关系。
【导学重点】掌握角平分线的性质定理及判定定理；【导学难点】掌握角平分线的性质定理及判定定理；【强基导学】1、判定三角形全等的方法有哪些？判定直角三角形全等的方法呢？2、斜边、直角边定理的内容是什么？3、什么是角平分线？4、点到直线的距离的定义，完成任务1：【自主探学】阅读教材P22【任务1】如图，在∠AOB的平分线OC上任取一点P，作PD⊥OA ，PE⊥OB，垂足分别为点D，E，试问PD与PE相等吗？请写出证明过程。
【归纳】角平分线的性质定理：角平分线上的点到。
几何语言描述角平分线的性质定理：∵∴，完成任务2：【带问自学】阅读教材P23【任务2】如图，点P在∠AOB的内部，作PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D，E. 若PD= PE，那么点P在∠AOB的平分线上吗？请说明理由。
【归纳】角平分线的判定定理：角的内部到角的两边距离相等的点 。
用几何语言描述角平分线的判定定理：∵∴【互动帮学】例1 如图，∠BAD =∠BCD = 90°，∠1=∠2. （1）求证：点B 在∠ADC 的平分线上； （2）求证：BD 是∠ABC 的平分线.【知识梳理】1、角平分线的性质定理是 。
2、角平分线的判定定理是 。
【达标评学】1． 如图，在△ABC 中，∠B =90°，AD 平分∠BAC 交BC 于D ，BC =10cm ，CD =6cm ，则点D 到AC 的 距离是： 。
2、如图，在Rt △ABC 中，AC =4，BC =3，AB =5， 点D 是三角形内角平分线的交点，则点D 到AB 的 距离是： 。
A3、如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D在AC上，DE⊥AB于E，且DC＝DE，∠CBD:∠A＝2:1，则∠A的度数为。
【布置作业】教材P26A组1、2题BEADC第3题图。
角的平分线的性质
“角的平分线的性质”导学案（第一课时）姓名：_____课时目标：1.掌握角平分线的画法2.理解并掌握角平分线的性质3.了解证明几何命题的一般步骤自学目标：1.动手画任意已知角的平分线2.填空，如图，∠AOC=∠BOC，点P在OC上，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，求证：PD=PE.证明：∵PD⊥OAPE⊥OB∴_____=_____=90°在△PBO和△PEO中∠PDO=∠PEO________=_________OP=OP∴△PDO≌△PEO（_________）∴PD=PE用语言描述以上的结论为：角的平分线的性质：________________________________________________.3.如图，点P、D、E分别在OC、OA、OB上，判断下列推理：A①∵OC平分∠AOB∴PD=PE( ) D C②∵OC平分∠AOBPD⊥OAPE⊥OB∴PD=PE( ) P③∵PD⊥OAPE⊥OB∴PD=PE( )O E B4.证明几何命题的一般步骤是怎样的？①明确几何命题中的__________________;②根据题意，画出图形，并用符号表示_________________;③写出____________。
解读目标：1.运用角平分线性质定理的条件及要注意的问题；2.条件中已知角平分线时常见辅助线的作法。
巩固目标：1.如图，OP平分∠MON，P A⊥ON于点A，点Q是射线OM上一动点，若P A=2，则PQ的最小值为_________2.如图，∠A=90°，BD平分∠ABC，AD=3，BC=10，则△BDC的面积是________3.如图，∠C=90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，BC=8cm，AC=6cm，AB=10cm，则△BDE的周长=______. M CPDO A N（第1题图）（第2题图）（第3题图）4.如图，已知OA平分∠BAC，OB=OC，求证AB=AC. AOB C提升目标：△ABC中，∠B=90°，AB=6，BC=8，AC=10，∠BAC、∠ACB的平分线交于点O，OD⊥AC于D①求OD②求AD、CD的长ADOB C回顾目标：1、掌握角平分线的画法2、理解并掌握角平分线的性质3、了解证明几何命题的一般步骤作业：长江学案P34 1~7。
角平分线的性质-导学案
【MeiWei 81重点借鉴文档】12.3 角平分线的性质（1）导学案、学习目标1、 能用三角形全等的知识，解释角平分线的原理;2、 会用尺规作已知角的平分线.二、 温故知新如图1，在/ AOB 的两边 0A 和0B 上分别取 OM=ONMC L OA NCL OB MC 与NC 交于C 点. 求证：（1） Rt △ MO © Rt △ NOC（2） / MOC M NOC三、 自主探究 合作展示探究（一）1、 依据上题我们应怎样平分一个角呢？2、 思考：把上面的方法改为“在已知/ AOB 的两边上分别截取 OM=QN 使MC=NC 连接OC 则OC 即为/ AOB 的平分线。
”结论是否仍然成立呢?件行吗?OA 是/ BAC 的平分线，点 O 是射线 取点 O 的三个不同的位置，分别过点 AM 上的任意一点. O 作OE 1 AB, OD 丄AC,点D E 为垂足，测四、学习反思请你对照学习目标，谈一下这节课的收获及困惑。
【MeiWei 81重点借鉴文档】 3、受上题的启示，我们可以制作一个如图 2所示的平分角的仪器： 其中AB=AD BC=DC 将点A 放在角的顶点，AB 和AD 沿着角的两边放下，沿 AC 画一条射线 AE AE 就是角平分线•你能说明它的道理吗？ 探究 思考 已知 求作 作法 二）如何作出一个角的平分线呢？/ AOB / AOB 勺平分线.（1 ）以O 为圆心，适当长为半径作弧，分别交 OA OB 于 M N 1 M N 为圆心，大于 MN 的长为半径作弧.两弧在 2（2）分别以 C. OC 射线OC 即为所求./ AOB 内部交于点 （3）作射线 请同学们依据以上作法画出图形。
议一议: 在上面作法的第二步中，去掉“大于 1 丄MN 的长”这个条 2 E1 第二步中所作的两弧交点一定在/ AOB 的内部吗?探究（三）如图 操作测量： 量OD OE 的长.将三次数据填入下表： 3,ODOE第次 卜面用我们学过勺 知:女第二次 AO 平 寸知识证明发现： 乙分 / RAC OEI A B ODI AC 'H ♦丿'口 1 ' 1 1 ：图1观察测量结果，猜想线段 OD 与OE 的大小关系，写出结论:。
三角形的高中线角平分线导学案及教学反思
11.1.2 三角形的高、中线与角平分线学习目标:1.经历折纸,画图等实践过程认识三角形的高、中线与角平分线；2.能准确画出三角形的高、中线与角平分线, 通过画图了解它们的交点情况3.激情投入，主动探究，发展动手操作能力。
学习重点:(1)了解三角形的高、中线与角平分线的概念, 会用工具准确画出它们。
(2)了解三角形的三条高、三条中线与三条角平分线分别交于一点.学习难点:(1)三角形的角平分线与角平分线的区别,三角形的高与垂线的区别.(2)钝角三角形高的画法.(3)不同的三角形三条高的位置关系.学习过程一、导学提纲(一)、复习导入:上节课我们学习了三角形的三边关系，那么三角形中还有其他的线段吗？这一节我们就来认识三角形中的三种重要线段——高、____和______.(二)阅读导学：自学课本P4~5内容，完成下列问题:1.三角形的高(如图1)(1)定义：____________________________叫做三角形的高线,简称三角形的高.(2)表示法：1.AD是△ABC的BC上的高线.2.AD⊥BC于D.3.∠ADB=∠ADC=90°2.三角形的中线(如图2)(1)定义：______________________________________________________(2) 表示法：1. ___是△ABC的___上的中线.2. ___ =___=12 BC.(3)三角形的中线将该三角形分成面积______的两部分。
图1 A3.三角形的角平分线(如图3)(1)定义：_____________________________________________(2) 表示法：1. ___是△ABC 的___的平分线.2.∠1=___=12___. (3)三角形的角平分线与角的平分线的区别： _________________________________________________4.三角形的高、中线和角平分线都是________.(填线段、射线或直线)5.完成P5练习第2题二、合作、探究：1.(1)分别画锐角三角形、直角三角形、钝角三角形各一个，并分别作出各边 上的高。
高、中线、角平分线导学案
(3)BC A唐坊镇中学师生共用导学案主备人：李柏臣年级：七学科：数同组人：董艳时间：课题：7.1.2三角形的高，中线，角平分线导学案课型：新授学习目标：1.认识并会画出三角形的高线，利用其解决相关问题；2.认识并会画出三角形的中线，利用其解决相关问题；3.认识并会画出三角形的角平分线，利用其解决相关问题；过程：一、自主学习1、如图，线段AD是△ABC的边BC上的高，你知道它是怎么作出来的？知道这个条件后，你能得到什么结论？用同样的方法你能画出△ABC的另两条边上的高吗？总结：什么叫做高？画出下列三角形的三条高。
你有什么发现？2、如图，线段AD是△ABC的边BC上的中线，你知道它是怎么作出来的？知道这个条件后，你能得到什么结论？用同样的方法你能画出△ABC的另两条边上的中线吗？总结：什么叫做中线？画出下列三角形的三条中线。
你有什么发现？3、如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，你知道它是怎么作出来的？知道这个条件后，你能得到什么结论？用同样的方法你能画出△ABC的另两个角的角平分线吗？总结：什么叫做三角形的角平分线？画出下列三角形的三条角平分线。
你有什么发现？三角形的角平分线与角的平分线有什么区别？二、交流展示三、 质疑提升1、如图，在ΔABC 中，AE 是中线，AD 是角平分线，AF 是高。
填空： （1）BE= = ；（2）∠BAD=∠ = ；（3）∠AFB=∠ =90°；2、在下图中，正确画出AC 边上高的是（ ）．A B C D3、如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是（ ）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.锐角三角形4.如图1所示,在△ABC 中,∠ACB=90°,把△ABC 沿直线AC 翻折180°,使点B 落在点B ′的位置,则线段AC 具有性质( )A.是边BB ′上的中线B.是边BB ′上的高C.是∠BAB ′的角平分线D.以上三种性质合一5、如图2所示,D,E 分别是△ABC 的边AC,BC 的中点,则下列说法不正确的是( )A.DE 是△BCD 的中线B.BD 是△ABC 的中线C.AD=DC,BD=ECD.∠C 的对边是DE四、 达标检测1、如图,在⊿ABC 中, ∠1=∠2,G 为AD 中点,延长BG 交AC 于E,F 为AB 上一点,CF ⊥AD 于H,判断下列说法那些是正确的,哪些是错误的.①AD 是⊿ABE 的角平分线 ( )②BE 是⊿ABD 边AD 上的中线 ( )③BE 是⊿ABC 边AC 上的中线 ( )④CH 是⊿ACD 边AD 上的高 ( )2．三角形的角平分线是（ ）．A ．直线B ．射线C ．线段D ．以上都不对3．下列说法：①三角形的角平分线、中线、高线都是线段；•②直角三角形只有一条高线；③三角形的中线可能在三角形的外部；④三角形的高线都在三角形的内部，并且相交于一点，其中说法正确的有（ ）．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4.如图，AD 是△ABC 的高，AE 是△ABC 的角平分线，AF 是△ABC 的中线，写出图中所有相等的角和相等的线段。
《作角平分线》 导学案
《作角平分线》导学案一、学习目标1、理解角平分线的定义和性质。
2、掌握用尺规作角平分线的方法。
3、能够运用角平分线的性质解决简单的几何问题。
二、学习重难点1、重点（1）角平分线的性质。
（2）用尺规作角平分线。
2、难点（1）角平分线性质的证明。
（2）运用角平分线的性质进行推理和计算。
三、知识回顾1、什么是角？角由什么组成？2、我们已经学过的与角相关的知识有哪些？四、新课导入在生活中，我们经常会遇到需要将一个角平均分成两份的情况。
比如，在制作风筝时，为了使风筝的左右两边对称，就需要将某个角平分。
那么，如何准确地作出一个角的平分线呢？这就是我们今天要学习的内容。
五、探究活动（一）角平分线的定义1、观察下面的角，思考什么是角平分线？2、给出角平分线的定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线。
（二）角平分线的性质1、我们已经知道了角平分线的定义，那么角平分线有什么性质呢？2、动手操作：（1）在纸上任意画一个角∠AOB，用折纸的方法作出∠AOB 的平分线 OC。
（2）在 OC 上任取一点 P，分别过点 P 作 PD⊥OA 于点 D，PE⊥OB 于点 E。
（3）测量 PD 和 PE 的长度，你发现了什么？3、猜想：角平分线上的点到角的两边的距离相等。
4、证明猜想：已知：OC 是∠AOB 的平分线，点 P 是 OC 上一点，PD⊥OA 于点D，PE⊥OB 于点 E。
求证：PD ＝ PE。
证明：∵OC 是∠AOB 的平分线∴∠AOC ＝∠BOC∵PD⊥OA，PE⊥OB∴∠PDO ＝∠PEO ＝ 90°在△PDO 和△PEO 中∠AOC ＝∠BOC∠PDO ＝∠PEOOP ＝ OP∴△PDO ≌△PEO（AAS）∴PD ＝ PE5、得出角平分线的性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等。
（三）用尺规作角平分线1、思考：如何用尺规作一个角的平分线？2、以已知角∠AOB 为例，步骤如下：（1）以点 O 为圆心，任意长为半径画弧，分别交 OA、OB 于点 M、N。
角平分线(1)
10.5.角平分线（1）导学案教学目标：1．经历角平分线的性质的证明过程，掌握角平分线的性质定理及逆定理2．能运用角平分线的性质定理及逆定理解决有关问题。
学习策略1.角平分线性质定理的应用.2.利用角平分线的有关定理解答实际问题.学习过程一.复习回顾：1、若等腰三角形的一个角是50°，则这个等腰三角形的底角为_____________．2、若等腰三角形的一个外角是120°，则这个等腰三角形的底角为_____________．3、若等腰三角形的两边长分别为xcm和（2x－6）cm，且周长为17cm，则第三边的长为________．二.新课学习：1.角平分线的性质定理：已知：OP平分∠AOB,PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D,E求证：PD=PE证明：【归纳：】角平分线性质定理:文字语言：角平分线上的点到这个角两边的距离相等。
图形语言：符号语言：2.角平分线的判定定理：已知：如图，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D,E，且PD=PE 求证：点P在∠AOB的角平分线上（即OP平分∠AOB）证明：【归纳：】角平分线判定定理:文字语言：在一个角的内部，并且到角两边的距离相等的点，在这个角的平分线上。
图形语言：符号语言：例1 如图10-29，在△ABC中,∠BAC=60°，点D在BC上，AD=10，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E,F，且DE=DF，求DE的长.三.尝试应用：1.∠AOB的平分线上一点M，M到OA的距离为2CM，则M到OB的距离为_______；2.在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，若BC=16，BD=10，则D 到AB的距离是________。
3.OM平分∠BOA，P是OM上的任意一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D、E，下列结论中错误的是（）A、PD=PEB、OD=OEC、∠DPO=∠EPOD、PD=OD四.自主总结：1.角平分线上的点到这个角两边的距离相等。
人教版八年级数学上册第十二章《角的平分线的性质》第1-3课时学习任务单(公开课导学案)及作业设计
人教版八年级数学上册第十二章《角的平分线的性质》学习任务单及作业设计（共3课时）第一课时【学习目标】1.探究作角平分线的方法，掌握角平分线的尺规作图方法并加以证明.2.探究角平分线的性质并加以证明．【课前学习任务】1.准备直尺，圆规，三角形纸片，剪刀等工具．2.回顾自初中以来的各种基本尺规作图及其步骤．3.熟悉近期学过的全等三角形的性质和判定．【课上学习任务】学习任务一：掌握角平分线的尺规作图方法及其证明学习任务二：探究角的平分线的性质画图，猜想，证明角的平分线的性质：符号语言书写：学习任务三：定理的运用例题：如图，点P 是∠AOB 平分线OC 上一点，PD⊥OB，垂足为D，若PD＝2，求点P到边OA 的距离．【学习资源】阅读课本第48 至49 页相关内容，并在教科书上圈画出本节课的主要知识点．【作业设计】1. 用三角尺可按下面方法画角平分线，在已知的∠AOB 的两边上，分别取OM＝ON，再分别过点M，N 作OA，OB 的垂线，交点为P，画射线OP，则OP 平分∠AOB，为什么？2. 如图所示，在△ABC 中：（1）下列操作中，作∠ABC 的平分线的正确顺序是（将序号按正确的顺序写在横线上）．①分别以点M，N 为圆心，大于1/2MN 的长为半径作圆弧，在∠ABC 内，两弧交于点P；②以点B 为圆心，适当长为半径作圆弧，交AB 于点M，交BC 于N 点；③画射线BP，交AC 于点D．（2）能说明∠ABD＝∠CBD 的依据是（填序号）．①SSS．②ASA．③AAS．④角平分线上的点到角两边的距离相等．（3）若AB＝18，BC＝12，S△ABC＝120，过点D 作DE⊥AB 于点E，求DE 的长．【参考答案】1．由Rt△OMP≌Rt△ONP(HL)，得∠MOP=∠NOP，即OP 平分∠AOB．2．解：(1)②①③；(2)由△MBP≌△NBP(SSS)，得∠ABD=∠CBD；(3) 过点D 作DF⊥BC 于点F，由角平分线的性质，得DE=DF．解得DE=8．第二课时【学习目标】运用角平分线的性质的解决问题，进一步培养自己逻辑推理的能力.【课前学习任务】1.准备直尺，铅笔，圆规等工具．2.熟悉角的平分线的性质第一课时中提到的尺规作图与证明，掌握角的平分线的性质的定理内容与书写．3.熟悉近期学过的全等三角形的性质和判定．【课上学习任务】学习任务一：例1：如图，△ABC 中，∠B =∠C，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为 E，F．求证：EB=FC．学习任务二：例2：如图，△ABC 的角平分线 BM，CN 相交于 P．求证：点P到三边 AB，BC，CA 的距离相等．例3：如图，△ABC的∠ABC 外角的平分线BD与∠ACB的外角的平分线CE相交于点P．求证：点P到三边AB，BC，CA所在的直线的距离相等．学习任务三：例4：如图，已知 AB＝AC，BD＝CD，DE⊥AB，交 AB 的延长线于点 E，DF⊥AC，交 AC的延长线于点 F．求证：DE＝DF．学习任务四：练习．如图，OP 平分∠AOB，点D，E分别在 OA，OB上，且PD＝PE，图中与∠PDA 相等的角是，并证明你的结论．学习任务五：小结：【学习资源】阅读课本第 49 至 50 页相关内容，并在教科书上圈画出本节课的主要知识点．【作业设计】1．如图，在△ABC中，AD是它的角平分线．求证：S△ABD:S△ACD＝AB:AC．2．已知，如图，BD是∠ABC的平分线，AB＝BC，点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别是M，N．试说明：PM＝PN．【参考答案】第三课时【学习目标】1.学习并使用新的定理——角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上（交换角的平分线的性质定理的条件和结论，并附加条件）．2.掌握新的定理的内容、证明，注意其与角的平分线的性质的区别和联系，并会进行推理与书写．【课前学习任务】1.准备直尺，铅笔，圆规等工具．2.熟悉角的平分线的性质，关注其条件和结论.3.回顾分析与书写方法，常见辅助线的作法．4.熟悉近期学过的全等三角形的性质和判定．【课上学习任务】学习任务一：交换角的平分线的性质中的题设和结论，你能得到什么新命题？这个新命题正确吗？结论：书写：学习任务二：例1：如图所示，AM⊥BM于M，AN⊥BN 于 N，AM＝AN，求证：∠BAM＝∠BAN （要求不用全等的知识证明）．学习任务三：例2：（教材58页习题12.3 第3题）如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为 D，E，BE，CD相交于点O，OB＝OC，连AO，求证：∠1＝∠2．学习任务四：例3：如图，在△ABC 中，∠C＝36°，∠ABC＝110°，且DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，DE＝DF．求∠ADB 的度数．学习任务五：例4：如图，D，E，F分别是△ABC的三条边上的点，BE＝CF，△DBE和△DCF的面积相等．求证：AD平分∠BAC．学习任务六：例5：如图，OP 为∠AOB 内一条射线，C，D分别为OA，OB上两点，且∠PCO+∠PDO＝180°，PC＝PD．求证：OP平分∠A0B．学习任务七：小结：【学习资源】阅读课本第 49 至 50 页相关内容，并在教科书上圈画出本节课的主要知识点．【作业设计】1．小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图：一把直尺压住射线 OB，另一把直尺压住射线 OA 并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线 OP 就是∠BOA 的角平分线．”他这样做的依据是（）．A．角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上B．角平分线上的点到这个角两边的距离相等C．三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等D．以上均不正确2．如图所示，在△ABC中，D 是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是点E，F，且BE＝CF，求证：AD 是△ABC 的角平分线．【参考答案】1．A．。
新人教版数学八年级上册第12章第8课时角平分线的性质(教师版)
新人教版八年级数学上册角平分线的性质导学案一、学习目标了解角平分线的定义，会用尺规作一个角的平分线；掌握角平分线的性质和判定；会利用角平分线的性质与判定证明简单的线段相等、角相等问题，并能解决简单的实际问题．二、知识回顾1．从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做角的平分线；2．直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离；3．如图，已知AB＝AD，BC＝DC，利用全等的方法证明AC是∠DAB的平分线．证明：∵AB＝AD，BC＝DC（已知），AC=AC（公共边），∴△ABC≌△ADC，∴∠BAC=∠DAC，∴AC是∠DAB的平分线．三、新知讲解1．角平分线的性质定理文字描述：在角平分线上的点到角的两边的距离相等．符号语言：∵∠1=∠2，PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD=PE．图示：2．角平分线性质定理的逆定理（角平分线的判定定理）文字描述：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．符号语言：∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD=PE，∴点P在∠AOB的平分线上（OP是∠AOB的平分线）．图示：3．作已知角的平分线已知∠AOB，求作∠AOB的平分线．作法：（1）如图，以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N；（2）分别以M，N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部交于点C；（3）画射线OC，射线OC即为所求．四、典例探究扫一扫，有惊喜哦！1．角平分线的性质定理【例1】（2014秋•青海校级期中）在△ABC中，AD是它的角平分线，且BD=CD，DE、DF分别垂直AB、AC，垂足为E、F，求证：EB=FC．总结：1．角平分线性质定理中的“距离”是指“点到直线的距离”；2．利用角平分线的性质时，如果条件中具备两个垂直（即角平分线上的点到直线的距离），证明过程中应直接运用性质定理，而不要去寻找全等三角形，否则就是重新证明了一次结论；3．当出现角平分线而没有角平分线上的点到角两边的垂线时，通常先过角平分线上的点向角的两边作垂线段，再利用角平分线的性质解题．练1．（2015•茂名校级一模）如图，△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，BC=10，BD=6，则点D 到AB的距离是（）A．4 B．5 C．6 D．7练2．（2015春•启东市校级月考）如图，已知在△ABC中，BD为∠ABC的平分线，AB=BC，点P 在BD上，PM⊥AD于M，PN⊥CD于N，求证：PM=PN．2．角平分线的判定定理【例2】（2014秋•赤峰校级期中）如图所示，∠B=∠C，点D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC．求证：AD平分∠BAC．总结：1．角平分线的性质定理是证明线段相等的一种方法，条件是已知角的平分线，而角平分线的判定定理是证明角相等的一种方法，条件是到已知角的两边的距离相等；2．证明某点在角平分线上的常用方法是证明这个点到角的两边的距离相等，这样就把证明“点在线上”的问题转化为“线段相等”的问题，体现了“化难为易，化陌生为熟悉”的转化思想．练3．（2013秋•兴化市校级期中）如图，PB，PC分别是△ABC的外角平分线且相交于P．求证：P 在∠A的平分线上．3．角平分线性质的实际应用【例3】有三条交叉公路如图所示，要在三角形区域内建一个加油站，使加油站P到三条公路的距离相等，应建在什么位置？请用尺规作图标出加油站P的位置．总结：1.因为三角形的三条角平分线相交于一点，又角平分线的点到角两边的距离相等，所以三角形角平分线的交点到三边的距离相等．2.要画三角形三条角平分线的交点，只需要画三角形的两条角平分线即可.3.注意：三角形外角平分线上的点到外角两边的距离也相等，所以三角形外还有3个点到三角形三边所在的直线的距离相等，它们都是两条外角平分线和一条内角平分线的交点.练4．如图，直线l1，l2，l3表示三条公路．现要建造一个中转站P，使P到三条公路的距离都相等，则中转站P可选择的点有（）A．一处B．二处C．三处D．四处五、课后小测一、选择题1．（2014秋•荣昌县期末）如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上的一个动点，若PA=2，则PQ的最小值为（）A．1 B．2 C．3 D．42．（2014春•栖霞市期末）在Rt△ABC中，如图所示，∠C=90°，∠CAB=60°，AD平分∠CAB，点D到AB的距离DE=3.8cm，则BC等于（）A．3.8cm B．7.6cm C．11.4cm D．11.2cm3．如图，a、b、c三条公路的位置相交成三角形，现决定在三条公路之间建一购物超市，使超市到三条公路的距离相等，则超市应建在（）A．三角形两边高线的交点处B．三角形两边中线的交点处C．∠α的平分线上D．∠α和∠β的平分线的交点处二、填空题4．（2013秋•太康县期末）如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，BC=6，BD=4，则点D 到AB的距离是．5．（2014秋•惠安县期末）如图，OC平分∠AOB，点P是OC上一点，PM⊥OB于点M，点N是射线OA上的一个动点，若PM=5，则PN的最小值为．6．（2014秋•临沭县校级月考）如图，△ABC的三边AB、BC、CA的长分别是20、30、40、其中三条角平分线交于点0，则S△ABO：S△BCO：S△CAO等于．三、解答题7．（2014秋•利津县校级月考）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠C=90°，DE⊥AB于E，BD=DF，求证：CF=EB．8．（2013秋•黄山校级期末）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠CAB，DE⊥AB 于E．若△DBE的周长为15cm，求AB的长．9．（2014秋•陇西县期末）如图：E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足为C，D．求证：（1）OC=OD；（2）DF=CF．10．（2013秋•临沭县期末）如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，BE=CF．求证：AD是△ABC的角平分线．11．（2014秋•门头沟区期末）已知：在Rt△ABC中，∠C=90°．请在线段BC上作一点D，使点D 到边AC、AB的距离相等（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）．12．（2014秋•厦门期中）如图，△ABC中，∠B的平分线与∠C的外角的平分线交于P点，PD⊥AC 于D，PH⊥BA于H，（1）若点P到直线BA的距离是5cm，求点P到直线BC的距离；（2）求证：点P在∠HAC的平分线上．13．（2013秋•淮北期末）已知点O到△ABC的两边AB、AC所在直线的距离相等，且OB=OC （1）如图1，若点O在BC上，求证：AB=AC．（2）如图2，若点O在△ABC内部，求证：AB=AC．（3）猜想，若O点在△ABC的外部，AB=AC成立吗？典例探究答案：【例1】【解析】依题意知DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，AD 平分∠BAC ，由角平分线性质得DE=DF ，已知BD=DC ，利用“HL”证明△BDE ≌△CDF 即可．证明：∵DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，AD 平分∠BAC ，∴DE=DF.在Rt △BDE 和Rt △CDF 中，DE DF BD DC=⎧⎨=⎩， ∴Rt △BDE ≌Rt △CDF （HL ），∴EB=FC ．点评：本题考查了角平分线性质的运用，三角形全等的判定和性质．关键是寻找证明三角形全等的条件．练1．【解析】由角平分线的性质可得点D 到AB 的距离等于CD ，根据已知求得CD 即可． 解：∵∠C=90°，AD 平分∠BAC ，∴点D 到AB 的距离等于CD ，∵BC=10，BD=6，∴CD=BC ﹣BD=10﹣6=4，∴点D 到AB 的距离是4．故选A ．点评：此题主要考查角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．练2．【解析】根据角平分线的定义可得∠ABD=∠CBD ，然后利用“边角边”证明△ABD 和△CBD 全等，根据全等三角形对应角相等可得∠ADB=∠CDB ，然后根据角平分线上的点到角的两边的距离相等证明即可．证明：∵BD 为∠ABC 的平分线，∴∠ABD=∠CBD ，在△ABD 和△CBD 中，AB BC ABD CBD BD BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABD ≌△CBD （SAS ），∴∠ADB=∠CDB ，∵点P 在BD 上，PM ⊥AD ，PN ⊥CD ，∴PM=PN ．点评：本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，确定出全等三角形并得到∠ADB=∠CDB 是解题的关键．【例2】【解析】由条件可证明△BDE ≌△CDF ，可得到DE=DF ，可证得结论．证明：∵D 是BC 的中点，∴BD=CD.∵DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，∴∠DEB=∠DFC.在△BDE 和△CDF 中，B C DEB DFC BD CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BDE ≌△CDF （AAS ），∴DE=DF ，∴D 在∠BAC 的平分线上，即AD 平分∠BAC ．点评：本题主要考查角平分线的判定，掌握在角的内部到角两边的距离相等的点在角的平分线上是解题的关键．练3．【解析】过P 点作PE ，PH ，PG 分别垂直AB ，BC ，AC ，要证P 在∠A 的平分线上，则需证PE=PG ，利用角的平分线上的点到角的两边的距离相等就可证明PE=PG ． 证明：过P 点作PE ，PH ，PG 分别垂直AB ，BC ，AC ．∵PB，PC分别是△ABC的外角平分线，∴PE=PH，PH=PG，∴PE=PG．∴P点在∠A的平分线上．点评：本题主要考查角平分线性质的逆定理．准确作出辅助线是解决本题的关键．【例3】【解析】分别作∠ABC与∠ACB的平分线，两条角平分线交于点P，则点P即为所求点．解：∵加油站P到三条公路的距离相等，∴P点是△ABC的内心，∴加油站P应该建在三角形内角平分线的交点处．如图所示：①以点B为圆心，以任意长为半径画圆，分别交AB、BC于点D、E；②分别以点DE为圆心，以大于12DE为半径画圆，两圆相交于点F．连接BF，则BF即为∠ABC的平分线；同理作出∠ACB的平分线，两条角平分线交于点P，则点P即为所求点．点评：熟知角平分线上的点到角两边距离相等的性质是解答此题的关键．练4．【解析】到三条相互交叉的公路距离相等的地点应是三条角平分线的交点．把三条公路的中心部位看作三角形，那么这个三角形两个内角平分线的交点以及三个外角两两平分线的交点都满足要求．解：满足条件的有：（1）三角形两个内角平分线的交点，共一处；（2）三个外角两两平分线的交点，共三处．故选D．点评：此题考查了角平分线的性质．此题难度不大，注意掌握角平分线的定理的应用是关键．课后小测答案：一、选择题1．【解析】∵垂线段最短，∴当PQ⊥OM时，PQ有最小值，又∵OP平分∠MON，PA⊥ON，∴PQ=PA=2，故选B．2．【解析】∵∠C=90°，∠CAB=60°，∴∠B=30°，在Rt△BDE中，BD=2DE=7.6，又∵AD平分∠CAB，∴DC=DE=3.8，∴BC=BD+DC=7.6+3.8=11.4．故选C．3．【解析】∵如图，要建一超市到a、b、c三条公路的距离相等，∴该超市是△ABC的内心，∴超市应该建在∠α和∠β的平分线的交点处．故选D．二、填空题4．【解析】∵BC=6，BD=4∴CD=2∵∠C=90°，AD平分∠CAB∴点D到AB的距离=CD=2．故填2．5．【解析】当PN⊥OA时，PN的值最小，∵OC平分∠AOB，PM⊥OB，∴PM=PN，∵PM=5，∴PN的最小值为5．故答案为：5．6．【解析】过O分别作OE⊥CB，FO⊥AB，OD⊥AC，∵BO是∠ABC平分线，∴EO=FO，∵CO是∠ACB平分线，∴EO=DO，∴EO=DO=FO，∵S△ABO=AB•FO，S△BCO=CB•EO，S△CAO=AC•DO，∴S△ABO：S△BCO：S△CAO=20：30：40=2：3：4．故答案为：2：3：4．三、解答题7．【解析】∵AD平分∠BAC，∠C=90°，DE⊥AB于E，∴DE=DC．在△CDF与△EDB中，DF DB DC DE=⎧⎨=⎩， ∴Rt △CDF ≌Rt △EDB （HL ），∴CF=EB ．8．【解析】∵AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB ，∠C=90°，∴△ACD ≌△AED ，∴CD=DE ，AE=AC ，∴△DBE 的周长=BD+EB+DE=BD+EB+CD=BC+EB=AC+EB=AE+EB=AB=15cm ， ∴AB=15cm ．9．【解析】证明：（1）∵E 是∠AOB 的平分线上一点，EC ⊥OA ，ED ⊥OB ， ∴EC=DE ，∠ECO=∠EDO=90°，在Rt △COE 和Rt △DOE 中，EC ED OE OE =⎧⎨=⎩， ∴Rt △COE ≌Rt △DOE （HL ），∴CO=DO ；（2）∵EO 平分∠AOB ，∴∠AOE=∠BOE ，在△COF 和△DOF 中，CO DO AOE BOE OE OF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△COF ≌△DOF （SAS ），∴FC=FD ．10．【解析】证明：∵DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，∴Rt △BDE 和Rt △DCF 是直角三角形．BD DC BE CF =⎧⎨=⎩， ∴Rt △BDE ≌Rt △DCF （HL ），∴DE=DF ，又∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴AD是角平分线．11．【解析】如图所示：点D为所求；12．【解析】（1）过P作PF⊥BE于F，如图，∵BP平分∠ABC，PH⊥BA于H，PF⊥BE于F，∴PH=PF=5cm，∴点P到直线BC的距离为5cm；（2）证明：∵CP平分∠ACE，PD⊥AC于D，PF⊥BE于F，∴PF=PD，∴PD=PH，∴AP平分∠HAD．13．【解析】证明：（1）过点O作OD⊥AB于D，作OE⊥AC于E，则OD=OE，∠ODB=∠OEC=90°，在Rt△BOD和Rt△COE中，∵OD OE OB OC=⎧⎨=⎩，∴∠B=∠C，∴AB=AC；（2）过点O作OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，则OD=OE，∠ODB=∠OEC=90°，在Rt△BOD和Rt△COE中，∵OD OE OB OC=⎧⎨=⎩，∴Rt△BOD≌Rt△COE（HL），∴∠DBO=∠ECO，∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB，∴∠ABC=∠ACB，∴AB=AC；（3）不一定成立．证明：如图3，过点O作OD⊥AB于D，作OE⊥AC的延长线于点E，则OD=OE，∠ODB=∠OEC=90°，在Rt△BOD和Rt△COE中，∵OD OE OB OC=⎧⎨=⎩，∴∠DBO=∠ECO，∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB，∴∠DBC=∠ECB，∴∠ABC=∠ACB，∴AB=AC．如图4，可知AB≠A C．。
角的平分线的性质和判定
《角的平分线的性质和判定》导学案
主讲：刘世勤
【教学目标】
1，掌握尺规作角的平分线的方法，提高作图能力；
2，经历角的平分线的性质的发现过程，掌握角的平分线的性质定理；
3，会运用角的平分线的性质解决几何问题；
【教学重点】
理解并会证明关于角平分线的两个重要结论，并能运用解决实际问题。
【教学难点】
角平分线的性质的探究及其应用；
【教学过程】
一，情景导入：学生阅读教材P48图12.3-1思考，学生回答并且展示，教师点评
二、新知探究，合作交流：
探究一：作角的平分线的方法
教师引导学生作图：作<AOB的平分线
探究二：角平分线的性质：
1，学生阅读教材P48图12.3-3思考，学生回答并且展示，教师点评
学生归纳角平分线的性质：
2，教师引导学生阅读教材P49角平分线的几何证明过程：
已知（条件），求证（结论），证明（运用几何语言，由已知推出结论）探究三：角平分线的判定
1，学生阅读教材P49图12.3-5思考，如何确定这个点？学生猜想。
2，教师引导，学生完成角平分线的判定的证明过程。
学生展示，教师点评。
已知：求证：
证明：
三，巩固练习：教材P49练习1，2
四，课堂小结，本节课的收获。
五，课外作业：
1，文字证明题：三角形两内角的平分线的交点，到三边的距离相等教材P51：1，2，3。
角平分线导学案
初二数学导学案：10.5角平分线学习目标：1、能够证明角平分线的性质定理、判定定理。
2、能够运用角平分线的性质定理、判定定理解决几何问题学习重点：角平分线的性质定理、判定定理的理解和掌握学习难点：利用角平分线的性质定理、判定定理解决几何问题学习过程：一、前置自学1.角平分线的定义： 。
2.点到直线的距离定义： 。
3.线段的垂直平分线的定义 ；性质 。
4、自学课本125-126（学生在上学期曾经探索并认识了这一结论，这里应先让学生回忆折纸探索的过程，然后自主思考证明的思路和方法，并尝试写出证明过程）二、展示交流（10分钟时间将以上自学问题组内交流，并将疑惑指出来）活动一：角平分线性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 这个命题的条件是： ，结论是： 。
已知：如图，点P 是∠AOB 的平分线上一点，PE ⊥OA PD ⊥OB.求证：PD=PE活动二：角平分线性质定理的逆命题是否成立。
能否证明？已知：在∠AOB 内部有一点P ，且PD 上OB ，PE⊥O A ，D 、E 为垂足且PD=PE ， 求证：点P 在∠AOB 的角平分线上．归纳：在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点，在 上.三、合作探究（8分钟先独立思考，再在组内交流思路，最后进行课堂展示）在 △ABC 中，∠ BAC = 60°，点 D 在 BC 上，AD = 10，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别为 E ，F ，且 DE = DF ，求 DE 的长.´O E DA B P O EDA BP四、课堂小结（2分钟时间谈谈本节课的收获）五、达标检测（10分钟时间独立完成）1．∠AOB的平分线上一点M ，M到OA的距离为1.5cm，则M到OB的距离为。
2.如图（1）所示，∠AOB=60°，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E ，且PD＝PE则角∠DOP=3. 如图（2）所示，在△ABC中，∠C=90°，AD是角平分线，DE⊥AB于E，且DE=3cm，BD=5cm，则BC= cm。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
角平分线的性质1学案
一、学习目标及重难点：
1、学会作已知角的平分线的方法。
2、掌握角平分线的性质，能用数学语言表示，运用该性质解决一些简单问题。
3、掌握证明一个几何中的命题的步骤和方法。
重点：角平分线的性质的证明及运用。
难点：角平分线的性质的探究。
二、学习准备：
1、三角形中重要的线段有，和。
2、三角形的角平分线是一条，角平分线是一条。
3、你能说明48页思考的道理吗？由此你得到什么启示？
三、自主学习：
4、如何用尺规作一个角的平分线。
5、看完48页的思考后，你能归纳出角平分线的性质吗？
6、如何证明角平分线的性质定理：
已知：
求证：
证明：
自我小结：证明一个几何中的命题的步骤1）、2）、
3）、
四、课堂训练：
7、结合图形完成填空：的平分
线上， _________ ，
∴_______ ____。
(角的平分线上的点到角的两边的距离相
等)．
8、完成50页的练习
五、拓展练习
9、已知：如图所示，BD是的平分线，
AB=BC，P在BD上，
求证：PM=PN．
六、课后作业：
10、P51、2题 4题
9题图
A
C
8题
E
D
P
B
7题图。