《概率论》第1章§4、5条件概率与全概率

§4、5 条件概率与全概率
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第五节 全概率公式
§4、5 条件概率与全概率
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下面用概率的有限可加性及条件概率的定义和乘法 定理建立两个计算概率的公式。先引入一个例子 例1 市场上有甲、乙、丙三家工厂生产的同一品牌 产品，已知三家工厂的市场占有率分别为1/4、1/4、 1/2，且三家工厂的次品率分别为 2％、1％、3％，试 求市场上该品牌产品的次品率. 解 记： B 买到一件次品
§4、5 条件概率与全概率
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（1）第一个人取到红球的概率？ （2）若已知第一个人取到的是红球，求第二个人取到 红球的概率又是多少？ （3）若已知第一个人取到的是白球，求第二个人取到 红球的概率是多少？ （4）求两人均取到红球的概率？
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解：从上面的第二问、第三问和都是求第二个人取到红球 ，但是它们的结果是不同，这是因为它们是在不同的发生 条件下对应的不同结果，即是受条件影响的概率，我们称 之为条件概率. 已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率称为： A条件下B的条件概率，记作P(B|A). 记A＝{第一个人取到红球}，B＝{第二个人取到红球}.
解
记 A= A
{ 活 到 50 岁 } B { 活 到 51岁 } 显然 匚 因此 A B B 要求 P ( B A )
因为 P ( A ) 0 . 9 0 7 1 8 P ( B ) 0 . 9 0 1 3 5 P ( A B ) P ( B ) 0 .9 0 1 3 5
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求条件概率的两种方法： 1、在原来的样本空间中，直接由 定义计算; 2、在缩减后 的样本空间中计算；
§4、5 条件概率与全概率 由条件概率
P ( AB ) P( A | B) P(B) ( P ( B ) 0)
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可推得乘法公式(乘法定理)
P ( AB ) P ( A | B )P (B )




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例2一盒中混有100只新、旧乒乓球，各有红、白两色， 分类如下表.从盒中随机取出一球，若取得的是一只红 球，试求该红球是新球的概率.信息见下表：
红 新 旧 40 20 白 30 10
解：记 A＝{从盒中随机取到一只红球}. B＝{从盒中随机取到一只新球}. 则有： n AB 40 n 60
一 般 地 ， 若 A1 , A 2 , A n 是 n 个 事 件 ， 且 P ( A1 A 2 A n 1 ) 0
则由归纳法可得：
P ( A1 A 2 A n ) P ( A n A1 A 2 A n 1 ) P ( A n 1 A1 A 2 A n 2 ) P ( A 2 A1 ) P ( A1 )
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例5 一袋中有a个白球和b个红球。现依次不放回地 从袋中取两球。试求两次均取到白球的概率 。
解
记 Ai { 第 i 次 取 到 白 球 }
要求 显然 因此
P ( A1 A 2 )
a P ( A1 ) ab
( i 1, 2 )
a 1 P ( A2 A1 ) a b 1
由 于 A, B 的 位 置 具 有 对 称 性 ， 因 此 ， 若 P ( B ) 0
则由
P ( AB ) P( A B ) P(B)
可得 P ( A B ) P ( A B ) P ( B )
§4、5 条件概率与全概率 例4 盒中有3个红球和2个白球。每次从袋中任取一 个，观察颜色后放回，并且再放入一个与所取球颜色 相同的球，若从盒中连续取球4次，试求第1、2次取得 白球，第3、4次取得红球的概率。 解 记 A i { 第 i 次 取 到 白 球 } ( i 1, 2 )
对称地有
P ( AB ) P (B | A)P ( A) P( A | B)P(B) ( P ( A ) 0, P ( B ) 0)
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二、乘法公式
定理1 （乘法公式）
设 P ( A) 0, 则 有 P ( A B ) P ( B A) P ( A)
A1
A2
A4
A3
An
§4、5 条件概率与全概率
S B1 B 2 B n
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设 { B 1 , B 2 , , B n } 为样本空间 S的一个划分，即 对任何事件 A 有
A AS AB1 AB 2 AB n
于是
P ( A) P ( AB1 AB 2 AB n) P ( A B 1) P ( A B 2 ) P ( A B n ) P ( A | B 1) P ( B 1) P ( A | B 2 ) P ( B 2 ) P ( A | B n ) P ( B n )
P ( A 3 | A1A 2 ) P ( A1A 2 ) P ( A 3 | A1 A 2 ) P ( A 2 | A1) P ( A1) (1 0.9)(1 0.7)(1 0.5) 0.015
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练习1-4： 1、2、3、4、5

A1 买到一件甲厂的产品
A3 买到一件丙厂的产品
A2 买到一件乙厂的产品
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且
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又因为
B B A1 A2 A3
P B P BA1 BA2 BA3
BA1 BA2 BA3 是两两互不相容的，因此：

P ( Ak | B )
k 1

P{( A k ) B}
k 1

k 1
P(B)

P{ ( Ak B )}
k 1

P(B)
{ A k } 两两不相容 { A k B } 亦两两不相容
P ( Ak | B )
k 1
P ( Ak B )
k 1

P(B)
( A B) P k k 1 P ( B )

P ( Ak | B ) k 1

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从而概率所具有的性质和满足的关系式对条件 概率仍适用：
P（∅ |A）＝0；
P(B | A ) 1 - P B A

P( B 1 B 2 | A ) P B 1 A P B 2 A P B 1 B 2 A
记 则
A i { 第 i次取到白球 } , ( i 1, 2 )
P ( A1 ) 1 , P ( A 2 | A 1 ) 4 2 7
由乘法公式求得
P ( A1 A 2 ) P ( A 2 | A1) P ( A1) 14 2 2 7 7
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P(B ) P(BA1 ) P(BA2 ) P(BA3 )
P(B | A1 ) P(A1 ) P(B | A2 )P(A2 ) P(B | A3 )P(A3 )
1 1 1 0.02 0.01 0.03 0.0225 4 4 2
§4、5 条件概率与全概率 定义
2 (1)P(A ) 5
(2)P(B | A ) 1 4
(3)P(B A ) 2
4
1
2
§4、5 条件概率与全概率 将一枚硬币连抛两次，则样本空间是 设 A , B 是两个事件，且 P ( B ) 0, 记
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S {H H ,HP T(,AB T H), T T } P( A | B) (B T ), T H } , 则 记 A { 一次正面一次反面 } {PH 称为在事件 B 发生的条件下事件 P ( A ) 1A 发生的条件概率 2 若 P ( A ) 0,如果我们已经知道试验结果中“至少出 则称 P ( AB ) P ( B | A ) 现了一次正面”,问此时 P ( A ) 两个概率含义不 P ( A) 条件概率 同，值也不相同 为 A 发生的条件下 B 发生的 记 B { 至少出现一次正面 } {H H , H T , T H }
条件概率是定义的，但条件概率的值通常是根 据实际问题中的具体意义确定的
§4、5 条件概率与全概率
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某球队要经过三轮比赛才能出线. 该球队第一轮 比赛被淘汰的概率为0.5,第二轮比赛被淘汰的概率为 0.7, 第三轮比赛被淘汰的概率为0.9 . 求球队出线的概率. 记 A i { 球队第 i轮被淘汰 } , ( i 1, 2 , 3) 则 P { 球队出线 } P ( A1A 2 A 3 ) P ( A i ) 是不是所求概率？
由于 B 已发生,故“样本空间”变为 从而 试验的所有可能结果
S { HH , HT,TH } B S
P ( AB ) / 4 2 P(A P |( B A) 3/ 4 P ( B )
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B 已发生，所以样本空间变为 BS
从而条件概率百度文库
PB P ( | B )

BS 可视为缩小的“样本空间”
上的概率.
§4、5 条件概率与全概率
P( | B)
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设 P ( B ) 0, 有
对于任一事件 A有
P(A | B) 0 对于必然事件 S 有 P (S | B ) 1 设是 { A k } 两两不相容事件列，则有
P ( Ak | B ) P ( Ak | B ) k 1
A
nAB 2 P(B | A) nA 3
§4、5 条件概率与全概率
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例3 人寿保险公司常常需要知道存活到某一个年 龄段的人在下一年仍然存活的概率。根据统计资料 可知，某城市的人由出生活到50岁的概率为0.90718， 存活到51岁的概率为0.90135。问现在已经50岁的人， 能够活到51岁的概率是多少？
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要求 P ( A1 A2 A3 A4 )
因为
2 P(A1 ) 5
P( A2 A1 )
4 P( A4 A1A2 A3 ) 8
3 6
3 P( A3 A1 A2 ) 7
因此
2 3 3 4 3 P ( A1 A2 A3 A4 ) 5 6 7 8 70
§4、5 条件概率与全概率
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设 为试验的样本空间, A1 , A2 , , An 为 E 的 一组事件，若
(i )Ai A j ,i j ,i , j 1,2 , n , n 可 为
(ii )A1 A 2 A n
则 称 A1 , A 2 , A n 为 样 本 空 间 E 的 一 个 划 分
P ( A 1 A 2 A n ) P ( A n | A 1 A 2 A n 1 ) P ( A 1 A 2 A n 1)
P ( A n | A1 A 2 A n 1 ) P ( A n 1 | A1 A 2 A n 2 ) P ( A 2 | A1 ) P ( A1 )
a 1 a P ( A1 A 2 ) P ( A 2 A1 ) P ( A1 ) a b 1 a b
§4、5 条件概率与全概率
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第一个袋中有黑、白球各 2 只, 第二个袋中有黑、 白球各 3 只. 先从第一个袋中任取一球放入第二个袋中,再 从第二个袋中任取一球.求第一、二次均取到白球的概率.
在概率论发展初期，古典概型中的加法公式 及乘法公式
P ( A B ) P ( A) P (B ) P ( AB ) P ( AB ) P ( A | B )P (B )
是概率论的两条基本定理，是概率论深入发展的起点 一般地,若 P ( A 1 A 2 A n 1 ) 0, 则
P ( AB ) 0 .90135 0 .99357 从而 P ( B A ) P ( A) 0 .90718
B A
§4、5 条件概率与全概率
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可知该城市的人在50岁 到51岁之间死亡的概率约 为0.00643。在平均意义下， 该年龄段中每千个人中间 约有6.43人死亡。
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