高斯求积公式

1 f ( 6 ) ( ) 15750
f (8) ( ) 3472875
f ( ) 1237732650
(10)
例题利用高斯求积公式计算
［解］令x=1/2 (1+t), 则 1 dx I 0 1 x
dt 1 3 t
1
1
0
dx 1 x
用高斯-Legendre求积公式计算.取n=5
总结
1：梯形求积公式和抛物线求积公式是低精度的方法，但对于光滑 性较差的函数有时比用高精度方法能得到更好的效果。复化梯形 公式和抛物线求积公式，精度较高，计算较简，使用非常广泛。 2：Romberg求积方法，算法简单，当节点加密提高积分近似程度 时，前面的计算结果可以为后面的计算使用，因此，对减少计算 量很有好处。并有比较简单的误差估计方法。 3。Gauss型求积，它的节点是不规则的，所以当节点增加时，前 面的计算的函数值不能被后面利用。计算过程比较麻烦，但精度 高，特别是对计算无穷区间上的积分和旁义积分，则是其他方法 所不能比的。
常用的高斯求积公式
1.Gauss - Legendre 求积公式

1
1
f ( x )dx
A
k 1
n
k
f ( xk )
(1)
其中高斯点为Legendre多项式的零点
1 d n ( x 2 1) n n 2 n! dx n
Baidu Nhomakorabea
Ln(x)=
对于一般有限区间[a,b]，用线性变换x=(a+b)/2+(b-a)t/2使它变成 为[-1,1]。
用3个节点的Gauss公式
1 sin (0.7745907 1) 2 I 0.5555556 0.7745907 1 1 2 0.8888889 0 1 sin

0.5555556
sin
1 (0.7745907 1) 2 0.7745907 1
=0.9460831
x k 1
n
(3)
4 .Gauss - Hermite 求积公式



e x f ( x )dx Ak f ( xk )
2
n
k 1
(4)
例题:分别用不同方法计算如下积分,并做比较

令I=
1
0
sin x dx x

1
0
sin x dx x
各种做法比较如下： 一、Newton-Cotes公式 当n=1时，即用梯形公式，I=0.9270354 当n=2时, 即用Simpson公式,I=0.9461359 当n=3时,I=0.9461090 当n=4时,I=0.9460830 当n=5时,I=0.9460831
1 1 1 ( 5) ( 5) IA A2 A5 ( 5) ( 5) ( 3 t1 3 t2 3 t55)
( 5) 1
0.69314719
积分精确值为 I=ln2=0.69314718… 由此可见，高斯公式精确度是很高的
2.Gauss - Chebyshev 求积公式

1
f ( x) 1 x
2
1
dx
A
k 1
n
k
f ( xk )
(2)
其中高斯点为Chebyshev 多项式Tn(x)的零点
Tn(x)=cos(narccos(x))
( 2k 1) xk cos 2n , Ak

n
3.Gauss - Laguerre 求积公式


0
e f ( x )dx Ak f ( xk )

b
a
( x ) f ( x )dx Ak f ( xk )
k 1
n
( x ) 0 是权函数
注意此时的代数精度最高为2n-1
（一）定理：
求积公式 超2n-1次。

b
a
( x ) f ( x )dx Ak f ( xk ) 的代数精度最高不
k 1
n
证明：分别取 f(x)=1, x，x2，...xn 时代入公式，并让其成为等式得
令x=(t+1)/2, 用2个节点的Gauss公式
I sin
I sin( t 1) / 2 dt 1 t 1
1
1 1 (0.5773503 1) sin (0.5773503 1) 2 2 0.9460411 0.5773503 1 0.5773503 1
事实上,取 2n次多项式g(x)=(x-x1)2(x-x2)2….(x-xn)2 代入求积公式,有 左=

b
a
( x ) g ( x )dx o
右=
A g( x
k 1 k n
n
k
)=0
左右,故不成立等式,定理得证. 定义: 使求积公式

b
a
( x ) f ( x )dx Ak f ( xk )
f ( 2 n ) ( ) b 2 Rn a ( x)wn ( x)dx (2n)!
其中(a,b),w(x)=(x-x1)(x-x2)…..(x-xn)。
高斯求积公式的系数Ak恒为正,故高斯求积公式是稳定的. Guass求积公式有多种,他们的Guass点xk, Guass系数Ak 都有表可以查询.
高斯求积公式
引言 求积公式 高斯求积公式的系数和余项 举例
引言
n+1个节点的插值求积公式

b
a
f ( x )dx Ak f ( xk )
k 0
n
的代数精确度不低于n求积公式,能不能在区间[a,b]上适当选 择n个节点x1,x2,……,xn,使插值求积公式的代数精度高于n？ 答案是肯定的，适当选择节点，可使公式的精度最高达到 2n+1，这就是所要介绍的高斯求积公式。 为考虑一般性,设求积公式为
二:用复化梯形公式
令h=1/8=0.125
sin x h 0 x dx 2 f (0) 2 f (h) f (7h) f (1) 0.94569086
1
三：用复化抛物线
令h=1/8=0.125
sin x h dx f (0) 4 f (h) f (7h) 2 f (2h) f (6h) f (1) 0.946083305 0 x 3
1

四、 Romberg公式 K Tn Sn Cn Rn 0 0.9207355 1 0.9397933 0.9461459 2 0.9445135 0.9460869 0.9400830 3 0.9456906 0.9460833 0.9460831 0.9460831
五、Gauss公式
n
1 2
xk(n)
0 -0.5773503 +0.5773503
Ak(n)
2 1 1
Rn
1 f " ( ) 3 1 f ( 4 ) ( ) 135
Gauss- Legendre 点 及 系 数 表
3
-0.7745967 5/9=0.5555556 +0.7745967 5/9=0.5555556 0 8/9=0.8888889 4 -0.8611363 0.3478548 -0.3399810 0.6521452 +0.3399810 0.6521452 +0.8611363 0.3478548 5 -0.9061799 0.2369269 -0.5384693 0.4786287 0 0.5688889 +0.5384693 0.4786287
k 1
达到最高代数精度2n-1的求积公式称为Guass求积公式 Guass求积公式的节点xk称为Guass点,系数Ak称为Guass系数.
因为Guass求积公式也是插值型求积公式,故有
结论:插值型求积公式的代数精度d满足：n-1 d2n-1
定理: 若f(2n)(x)在[a,b]上连续，则高斯求积公式的余项为
比较
此例题的精确值为0.9460831...
由例题的各种算法可知：
对Newton-cotes公式，当n=1时只有1位有效数字，当 n=2时有3位有效数字，当n=5时有7位有效数字。 对复化梯形公式有2位有效数字，对复化抛物线公式有 6位有效数字。 用复合梯形公式，对积分区间[0，1]二分了11次用2049 个函数值，才可得到7位准确数字。 用Romberg公式对区间二分3次，用了9个函数值，得到 同样的结果。 用Gauss公式仅用了3个函数值，就得到结果。
A1 + A2 + …… + An =∫ab1dx.= b-a +xn An =∫abxdx.= （b2-a 2)/2 x1 A1 + x2 A2+ ……
......
x1 rA1 + x2 rA2+ …… +xn rAn =∫abxr dxr =(br+1-a r+1)/ (r+1) 上式共有 r 个 等式，2n个待定系数(变元),要想如上方程组有唯一解，应有方 程组中方程的个数等于变元的个数,即 r=2n,这样求出的解答应的求积公式的代 数精度至少是2n-1,下面证明代数精度只能是2n-1. [ 如果事先已选定[a ，b]中求积节点xk如下ax1 …x nb,上式成为n个未知 数 A1、...An的n元线性方程组，此时要r=n 时方程组有唯一解]