单自由度系统
机械振动(单自由度系统-理论)
第二章单自由度系统——理论2-1引言单自由度系统是更进一步研究振动的基础。
一些单自由度系统的例子表示在图2-1中。
虽然这些系统在外表上不同，但它们都可以用图1-1所示的一般模型表示。
这里我们使用四种方法：（1）能量法；（2）牛顿第二定律；（3）频率响应法；（4）叠加原理。
由于振动是一种能量交换现象，所以首先介绍简单的能量法。
应用牛顿第二定律，单自由度系统由一个二阶运动微分方程描述。
如果激振是一解析表达式，那么，方程能够用“经典”的方法求解。
如果激振是任意函数，可用叠加原理求得系统的运动。
频率响应法假定激振是正弦的，而且在感兴趣的频率范围内研究系统的性质。
注意，一个系统以它自己的方式振动，而与分析方法无关。
应用不同方法的目的是为了寻求最方便的方法来表示系统的特征和描述它的固有性质。
我们把牛二和叠加原理作为时间域分析来对待，轩为一质量的运动是时间的函数，例如以时间作为独立变量的微分方程的解。
频率响应法假定激振和系统响应都是正弦的而且具有同样的频率，因此，它是一种频率域分析。
时间响应是直观的，但是在频率域内描述一个系统更方便。
值得注意的是，时间域分析和频率域分析肯定是相关的，因为它们是考虑同一问题的不同方法。
事实上，被作为时间域技术来对待的叠加原理是研究线性系统的基础。
由叠加原理导出的褶积积分可以应用于时间域或频率域。
我们在这里仅仅介绍这个非常重要的原理的一个方面，而不讨论相关的方法。
时间分析和频率分析的数学相关性并不是新东西。
然而，直到最近几年来，电子计算机、测试设备和试验技术的进步，它才在实际中得到应用。
2-2自由度一个振动系统的自由度个数是确定这个系统状态所必需的独立的空间坐标个数。
我们定义状态为这个系统的所有质量的几何位置。
如这些质量的相互关系只需要一个空间坐标就完全确定，那么就说这个系统具有一个自由度。
对于空间一个刚体的完全确定需要六个坐标，即三个确定直线运动的坐标和三个确定旋转运动的坐标。
单自由度振动系统
单自由度振动系统m质量，k刚度，c阻尼，有时有p激振力单自由度振动系统，指用一个独立参量便可确定系统位置的振动系统。
只要以它的平衡位置取为坐标原点，任一瞬时的质点坐标x（线位移)或 （角位移）就可以决定振动质点的瞬时位置。
根据牛顿定律：mx+cx+kx=F1.单自由度系统无阻尼自由振动mx+kx=0；x+kmx=0；令w m2=k/m，求微分方程的解，得x=c1e iw n t+c2e−iw n t=c1+c2cosw n t+i c1−c2sinw n t=b1cosw n t+b2sinw n t将其合成一个简谐振动，并代入初始条件：t=0时，x=x0,x=x0x=Asin(w n t+φ); A=x2+x02w n2; φ=tg−1x0w nx01.1固有频率系统的圆频率和频率只与系统本身的物理性质（弹性和惯性）有关，因此当振动系统的结构确定后，系统的振动频率就固定不变，而不管运动的初始条件如何，也和振幅的大小无关，因此成为固有圆频率和固有频率。
w n=km ；f n=12πkm1.2固有频率计算方法1）公式法。
根据公式w n=km计算2）静变形法。
根据质量块所处平衡位置的弹簧变形计算。
3）能量法。
根据能量守恒定律，由于无阻尼，无能量损失，12mx2+12kx2=E，将x的方程代入上式，系统的最大动能等于系统的最大弹性势能，计算求出。
4）瑞利法。
考虑到系统弹簧质量的计算方法，如假设系统的静态变形曲线作为假定的振动形式，根据推倒，得出系统的固有频率为w n=km+ρl3，式中加入的部分为“弹簧等效质量”不同振动系统的等效质量不同，只需先算出弹性元件的动能，根据T s =12m s x 2，计算即可。
1.3扭转振动根据扭转运动的牛顿定律 M =I θ，M 为施加到转动物体上的力矩，I 转动物体对于转动轴的转动惯量，θ角加速度。
圆盘转动惯量为I ，轴的转动刚度为kθ。
系统受到干扰后做扭转自由振动，振动时圆盘上受到一个由圆轴作用的与θ方向相反的弹性恢复力矩-K θθ。
振动力学-单自由度振动系统
§2.2 无阻尼自由振动
2.2.1 运动微分方程
列微分方程的步骤： 1 确定坐标系，确定原点，确定坐标正向 2 惯性元件沿坐标正向有一个位移 考察惯性元件的受力情况 画隔离体图 3 根据牛顿第二定律列出运动微分方程 4 确定系统的初始运动状态，即确定运动微
分方程的初始条件。
图形
隔离体受 力分析
kx
衡时水平，求其系统 的微分方程和固有频
k
率
（提示：取静平衡
a
θ
m
位置为坐标原点，可
不考虑重力势能，当
偏角很小时，弹簧的
伸长，圆球的位移可
以表示为：a ，l)
2.2.3 有效质量
在前面的讨论中，都假定了弹性元件的质量远 远小于振动系统的集中质量，因而忽略弹性元 件的质量。这相当于忽略系统的一部分动能， 引起一定误差。
ce 2 mk 2mn
§2. 3 阻尼自由振动
阻尼比(第二个重要参数)
c c c ce 2 mk 2mn
特征方程解
=
s1,2
c 2m
c 2m
c2 4mk
2m
c2 (2m)2
k m
s1,2 n n 2 1
§2. 3 阻尼自由振动
k
m
x(t)
O
2.2.1 运动微分方程
1DOFS无阻尼自由振动运动微分方程
微分方程 首1形式
mx kx 0
x(0)
x0 ,
x0 (0)
0
x n2 x 0
x(0) x0, x0 (0) 0
第一个也是最重要的振动参数
第2章单自由度的自由系统
以具体振动系统的能量表达式代人上式，化简后 即可得出描述振动系统自由振动的微分方程。
如果取平衡位置为势能零点，根据自由振动 的特点，系统在平衡位置时，系统的势能为零， 其动能的极大值Tmax就是全部机械能，而在振 动系统的极端位置时，系统的动能为零，其势能 的极大值Umax等于其全部的机械能。由机械能 守恒定律，有
式中，k为梁的弹簧刚度，对于简支梁带有中间集中 质量时
下面证明一个等截面悬臂梁(如图)在自由端的
等效质量为
。假定梁自由振动时的振动形式
则系统的最大动能为
系统的最大势能为
则得固有频率ωn同前。
例2.2-2细杆OA可绕水平轴O转动，如图所示，
在静平衡时成水平。杆端锤的质量为m，杆与弹
簧的质量均可略去不计，求自由振动的微分方程
及周期。
解：在杆有微小偏角φ时，
弹簧的伸长以及锤的位移与
速度可以近似地表示为aφ，
lφ与 。故振动系统的动能
与势能可以表示为
因为mg=kδs，上式仍可简化为
。
可见前面关于物体沿光滑平面运动的讨论，同样适
用于对物体沿铅垂方向的振动，只要取物体的静平
衡位置为坐标原点。
从弹簧的静变形可以方便地计算出振动系统
的固有频率。
因为由式
得
又
则
例2.1-1 均匀悬臂梁长为l，弯曲刚度为EJ，重量 不计，自由端附有重为P=mg的物体，如图所示。 试写出物体的振动微分方程，并求出频率。
只要振动系统的自由振动是简谐振动，则由该 方程可以直接得出系统的固有频率。不需要列出振 动微分方程。
例2.2-1有一个重量为W，半径为r的实心圆柱体， 在半径为R的圆柱形面上无滑动地滚动，如图所 示。假设该滚动的圆柱体进行简谐运动，试求它 绕平衡位置作微小摆动时的固有频率ωn。
第3章 单自由度体系1(时域)
第三章单自由度体系自由振动和强迫振动时域分析3.1力学模型•单自由度体系：SDOF（Single－Degree－of－Freedom ）System•结构的运动状态仅需要一个几何参数即可以确定•分析单自由度体系的意义：1、单自由度系统包括了结构动力分析中涉及的所有物理量及基本概念。
2、很多实际的动力问题可以直接按单自由度体系进行分析计算。
3、多自由度系统在很多情况下可以转变为单自由度系统进行分析重力的影响1、考虑重力影响时，结构体系的运动方程与无重力影响时的运动方程完全一样，此时u是由动荷载引起的动力反应。
在研究结构的动力反应时，可以完全不考虑重力的影响，建立体系的运动方程，直接求解动力荷载作用下的运动方程，即得到结构体系的动力解。
2、当需要考虑重力影响时，结构的总位移为总位移=静力解+动力解应用叠加原理将结构的动力反应和静力反应相加即得到结构的总体反应。
在结构反应问题中，应用叠加原理可将静力问题（一般是重力问题）和动力问题分开计算。
重力的影响3、注意1：由于应用了叠加原理，上述结论是用于线弹性体系。
4、注意2，在以上推导过程中，假设悬挂的弹簧―质点体系只发生竖向振动，在动荷载作用之前，重力被弹簧的弹性变形所平衡，而施加荷载后，重力始终被弹性变形所平衡。
如果重力的影响没有预先被平衡，则在施加动力荷载产生进一步变形后，可以产生二阶影响问题，例如P―Δ效应。
1.1无阻尼自由振动运动方程的通解为：121212()n n i ti ts ts tu t c e c ec ec eωω−=+=+指数函数与三角函数的关系：cos sin cos sin ixixe x i x ex i x−=+=−运动方程的解：()cos sin n n u t A t B tωω=+A ，B —待定常数，由初始条件确定。
一些重要性质：（1）自振周期只与结构的质量和结构的刚度有关，与外界的干扰因素无关。
（2）自振周期与质量的平方根成正比，质量越大，周期越大（频率越小）；自振周期与刚度的平方根成反比，刚度越大，周期越小（频率越大）；要改变结构的自振周期，只有从改变结构的质量或刚度着手。
第一章单自由度系统
第一章 单自由度系统振动
1. 基本概念
自由度： 确定某个机械系统几何位置的独立参数的数目。
单自由度系统,多自由度系统: 若只用一个独立参数即可确定机械系统的几何
位置,称为单自由度系统。 需要两个或两个以上独立参数才能确定机械系
统的几何位置的系统称多自由度系统。
2.常见单自由度系统建模
3 无阻尼自由振动
x
n2 x
Fo m
k K
cost
xst
n2
cost
特解假设为 Acost 代入得
最后
A xst
1 2
n
x
t
xo
cos nt
xo
n
sin nt
xst
1
2
cos t
xst
1
2
cos nt
无阻尼简谐激振
有阻尼简谐激振
mx cx kx FO sin t
x 2n x n2 x xstn2 sin t
1 2
KA2
sin
2
t
dt
1 kA2 2 sin 2 t dt
2
0
0
Wd cxdx cAcost 2 dt
2/cA22 1cos2t dt
0
2
1cA2 2 2 1cA22 2/cos2t dt
2
2
0
cA2
激振力的功
wf Fo sint dt Fo sint Acost dt
cos
sin dt
Asin t
定义
A xst
1
1 2 2 2 2
为动力数大系数，表示振幅相对于静变形的放大倍数
5.2 稳态响应振幅和相位
单自由度系统(自由振动)
第二章 单自由度系统的自由振动本章以阻尼弹簧质量系统为模型,讨论单自由度系统的自由振动。
§2-1 无阻尼系统的自由振动无阻尼单自由度系统的动力学模型如图1.1所示。
设质量为m ，单位是kg 。
弹簧刚度为K ，单位是N ／m ，即弹簧单位变形所需的外力。
弹簧在自由状态位置如图中虚线所示。
当联接质量块后，弹簧受重力W=mg 作用而产生拉伸变形∆：，同时也产生弹簧恢复力K ∆，当其等于重力W 时，则处于静平衡位置，即 W=K ⋅∆若系统受到外界某种初始干扰，使系统静平衡状态遭到破坏．则弹簧力不等于重力，这种不平衡的弹性恢复力，便使系统产生自由振动。
首先建立座标，为简便起见，可选静平衡位置为座标原点，建立铅垂方向的座标x ，从原点算起，向下为正，向上为负，表示振动过程中质量块的位置。
现设质量m 向下运动到x ，此时弹簧恢复力为K(∆+x)，显然大于重力W ，由于力不平衡，质量块在合力作用下，将产生加速度运动，故可按牛顿运动定律(作用于一个质点上所有力的合力，等于该质点的质量和沿合力方向的加速度的乘积)，建立运动方程，取与x 正方向一致的力、加速度、速度为正，可列如下方程 改写为 0=+kx xm (1-1-1 令mkp =2(1-1-2)单自由度无阻尼系统自由振动运动方程为02=+x p x(1-1-3)设方程的特解为 ste x =将上式代入(1-1-3)处特征方程及特征根为ips p s ±==+2,1220则(1-1-3)的通解为ptD pt C e C e C x ipt ipt sin cos 11+=+=- (1-1-4)C 、D 为任意积分常数，由运动的初始条件确定，设t=0时00,x xx x == （1-1-5）()x m x k W F=+∆-=∑量位静平衡位置 一自由度弹簧—质量系统 ∆==k mgW xx)则pt pxpt x x sin cos 00 += （1-1-6）经三角变换，又可表示为)sin(α+=pt A x（1-1-7）其中 001220,x px tg p x x A -=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=α （1-1-8） 自由振动的振幅A 和初相位角α与系统的参数和初始条件有关。
单自由度系统模态计算
单自由度系统模态计算一、引言单自由度系统是结构动力学中一个重要的研究对象，它可以用来描述许多实际工程中的振动问题。
在计算单自由度系统的模态时，我们需要了解什么是模态、模态计算的目的以及常用的计算方法。
二、什么是模态模态是指一个振动系统在固有频率下的振动形态。
对于单自由度系统来说，它的振动主要由一个自由度（通常是一个质点的位移）决定，而模态则是描述这个振动的特征。
每个模态都有一个固有频率和振型。
三、模态计算的目的模态计算的目的是确定单自由度系统的固有频率和振型。
固有频率是系统在没有外力作用下自由振动时的频率，而振型则是系统在该频率下的振动形态。
通过模态计算，可以帮助我们了解系统的振动特性，进而进行动力设计和振动控制。
四、常用的模态计算方法常见的模态计算方法包括解析法和数值计算法。
解析法主要是通过对系统的微分方程进行求解，得到固有频率和振型的解析解。
数值计算法则是利用计算机进行数值模拟，通过数值求解的方法来计算固有频率和振型。
1. 解析法解析法主要有两种常见的方法，即初始条件法和特征值法。
初始条件法是通过给定初始条件，求解系统的微分方程，得到固有频率和振型的解析解。
特征值法则是将系统的微分方程转化为特征值问题，通过求解特征值和特征向量来得到固有频率和振型。
2. 数值计算法数值计算法主要包括有限元法和模态超级位置法。
有限元法是一种常用的工程计算方法，通过将系统离散化为有限个子结构，然后求解子结构的固有频率和振型，最后组合得到整个系统的固有频率和振型。
模态超级位置法则是通过对系统的响应进行频谱分析，得到系统的固有频率和振型。
五、总结通过模态计算，我们可以了解单自由度系统的固有频率和振型，从而更好地理解和分析系统的振动特性。
在实际工程中，模态计算是进行结构动力学分析和振动控制的重要手段。
不同的计算方法可以根据具体情况选择，以获得准确和可靠的结果。
因此，掌握单自由度系统模态计算的方法和原理是非常重要的。
通过本文的介绍，希望读者对单自由度系统模态计算有一个初步的了解，并能够在实际工程中灵活应用。
单自由度体系自由振动,速度相位与位移相位的关系
单自由度体系（Single Degree of Freedom System, SDOF）是工程动力学中的一个重要概念，它对于描述系统的振动特性有着重要的作用。
在自由振动过程中，速度相位与位移相位之间存在着密切的关系。
本文将从单自由度体系自由振动的基本原理入手，探讨速度相位与位移相位之间的关系，希望通过本文的介绍，读者能够对这一问题有更加清晰的认识。
一、单自由度体系自由振动的基本原理1. 自由振动的基本概念自由振动是指在没有外界干扰的情况下，系统在一定的初位移或初速度作用下，由于其自身的惯性和弹性特性而产生的振动现象。
在工程领域中，自由振动是一种非常常见的振动形式，因此研究自由振动对于工程设计和分析有着重要的意义。
2. 单自由度体系的定义单自由度体系是指系统中只有一个自由度可以自由变化的体系。
在动力学领域中，单自由度体系被广泛应用于描述各种机械、土木和航空航天结构的振动特性。
它是一种简化模型，但对于许多实际工程问题的分析具有较高的适用性。
3. 自由振动的基本方程单自由度体系的自由振动可以通过一阶微分方程来描述。
其基本方程可以表示为：\[m\ddot{x}+c\dot{x}+kx=0\]其中，\(m\)为系统的质量，\(c\)为系统的阻尼系数，\(k\)为系统的刚度，\(x\)为系统的位移函数，\(t\)为时间。
二、速度相位与位移相位的定义1. 速度相位的定义在振动过程中，速度相位是指速度\(v\)相对于位移\(x\)的相位差。
通常用一个角度来表示，它可以用来描述振动的快慢和超前滞后关系。
2. 位移相位的定义位移相位是指位移\(x\)相对于某一固定参考点的相位差。
它也通常用一个角度来表示，可以用来描述振动的相对位置。
三、速度相位与位移相位的关系速度相位与位移相位之间存在着密切的关系。
在自由振动过程中，它们之间满足以下关系：\[tan(\phi_v-\phi_x)=\frac{2\zeta}{1-\omega^2}\]其中，\(\phi_v\)为速度相位，\(\phi_x\)为位移相位，\(\zeta\)为系统的阻尼比，\(\omega\)为系统的固有频率。
振动系统的自由度和阻尼对振动的影响如何
振动系统的自由度和阻尼对振动的影响如何一、振动系统的自由度振动系统的自由度是指系统在空间中独立运动的数量。
在物理学中，一个自由度通常指的是一个物体在某个参考系下可以独立运动的程度。
对于振动系统来说，自由度决定了系统的复杂程度和可能的状态。
1.单自由度系统：指系统在空间中只能沿一个方向或一个轴进行振动。
例如，一根弹簧振子就是一个单自由度系统。
2.多自由度系统：指系统在空间中有多个方向或多个轴可以进行振动。
例如，一个弹簧-质量系统，如果它可以在三维空间中的任意方向振动，则它是一个三自由度系统。
二、阻尼对振动的影响阻尼是振动系统中能量耗散的机制，它会使振动的振幅逐渐减小，直至振动停止。
阻尼对振动的影响主要表现在以下几个方面：1.阻尼比：阻尼比是描述阻尼特性的一个参数，定义为阻尼力与恢复力的比值。
阻尼比越大，系统的振动衰减越快，振幅减小得越迅速。
2.阻尼对振动幅值的影响：在初始阶段，阻尼对振动幅值的影响较小，但随着振动时间的增加，阻尼作用逐渐明显，振幅逐渐减小。
3.阻尼对振动周期的影响：阻尼对振动周期没有直接影响，振动周期仅与系统的弹性特性和质量有关。
4.阻尼对振动稳定性的影响：适当的阻尼可以提高振动的稳定性，防止系统发生过度振动或共振。
然而，过大的阻尼可能会导致系统过早地停止振动，影响某些应用中的振动性能。
三、自由度和阻尼的相互作用自由度和阻尼的相互作用表现在以下几个方面：1.自由度越多，系统可能出现的振动状态越多，同时阻尼对振动的影响也越复杂。
2.在多自由度系统中，各个自由度之间的振动可能会相互耦合，使得系统的振动特性更加复杂。
3.阻尼的存在可能会影响自由度之间的耦合关系，从而改变系统的振动特性。
综上所述，振动系统的自由度和阻尼对振动的影响是多方面的，它们相互作用决定了系统的振动特性。
了解这些知识点有助于我们更好地分析和解决实际问题。
习题及方法：1.习题：一个单自由度弹簧振子在无阻尼状态下做简谐振动，其质量为m，弹簧常数为k，振动的初始位移为A。
第二章 单自由度系统
叠加原理
• 几个激励函数共同作用产生的总响应是各个响应 函数的总和。这一结果叫做叠加原理，是一个系 统成为线性系统的必要条件 • 叠加原理有效，意味着一个激励的存在并不影响 另一个激励的响应；线性系统内各个激励产生的 响应是互不影响的 • 为了分析在多个激励作用下系统的总效果，可以 先分析单个激励的效果，然后把它们加起来就得 到各单个激励共同作用下的总效果
+ B2 e + B2 e
(a)
− jωd t
(B1 e
)
常数B1, B2由初始条件确定
利用欧拉公式:
e
± jωd t
= cosωd t ± jsinωd t
方程的解可改写为:
x = e − αt [(B1 + B2 ) cosωd t + j(B1 − B 2 ) sinωd t] = Ae − αt sin(ωd t + ϕ ) x = Aωd e − αt cos(ωd t + ϕ ) − Aαα− αt sin(ωd t + ϕ )
2 2 n
上式叫做系统的特征方程或频率方程 它有一对共轭虚根：
λ1 = jω n
λ 2 = − jω n
叫做系统的特征值或固有值
方程的两个独立的特解分别为
x1 (t ) = B 1e
x
2
jω n t
− jω n t
(t ) = B
2
e
B1和B2是任意常数
对于二阶常系数线性齐次方程，其通解为
x(t ) = B1e
m k
o x
图2-2 无阻尼自由振动的理论模型
• 图2-2所示为 单自由度无阻尼系统自由 振动的理论模型 • 系统只在垂直方向振动 • 运动是微幅的
单自由度系统固有频率的计算方法
单自由度系统固有频率的计算方法单自由度系统是指只有一个自由度的动力学系统，它可以用一个自由度变量来描述。
典型的单自由度系统包括弹簧质点振子、摆锤等。
固有频率是指在没有外界激励的情况下，系统自由振动的频率。
计算固有频率的方法有解析法和数值法两种。
1.解析法解析法是指通过解析求解系统的运动方程得到固有频率的方法。
以弹簧质点振子为例，其运动方程可以表示为：m*x''(t)+k*x(t)=0其中m是质量，k是弹簧的弹性系数，x(t)是质点的位移函数。
将位移函数假设为x(t) = A*sin(ωt + φ)，代入运动方程，得到m*(-A*ω^2*sin(ωt + φ)) + k*(A*sin(ωt + φ)) = 0整理后得到m*ω^2=kω = sqrt(k/m)其中sqrt表示开方。
对于其他类型的单自由度系统，也可以通过类似的方式得到固有频率的计算方法。
关键是将系统的运动方程表示成形式简单的方程，然后通过求解得到固有频率。
2.数值法如果系统的运动方程较为复杂，无法通过解析的方式得到固有频率，可以采用数值法进行计算。
常见的数值法包括有限差分法和有限元法。
有限差分法是指将运动方程离散化，用差分近似替代微分，然后通过求解差分方程的特征根来得到固有频率。
通常需要将时间和空间进行离散化，然后使用数值求解方法（如迭代法）求解差分方程的特征根。
有限元法是指将连续的振动系统进行分割，将其近似为由离散的小单元组成的系统。
然后通过求解每个小单元的振动特性来得到整个系统的固有频率。
有限元法具有较好的适用性和灵活性，可以处理复杂的几何形状和材料性质分布。
总之，解析法和数值法是计算单自由度系统固有频率的两种常用方法。
根据具体系统的特点和需要，选择合适的方法来计算固有频率。
单自由体系名词解释
单自由体系名词解释
单自由度系统（Single Degree of Freedom System）是指工程动力学和振动学中常用的一个概念，用来描述一个仅有一个自由度运动的系统。
这个自由度通常是指系统的一个独立运动参数，如质点在一维空间内的位移或者转角。
在单自由度系统中，该自由度的运动可以完全描述整个系统的动态特性。
单自由度系统的经典例子是弹簧质点振子系统，也就是简谐振动系统。
这种系统由一个质点 （质量为m）通过一根弹簧 （弹性系数为k）与一个固定支点相连构成。
该质点在弹簧的作用下可以在水平方向上作简谐振动。
单自由度系统的重要特征包括：
- 自由度： 单自由度系统中仅有一个运动自由度。
- 动力学方程： 可以使用牛顿运动定律和哈克定律等原理来建立该系统的运动方程，描述质点运动的规律。
- 简谐振动： 如果系统的回复力服从胡克定律，并且没有阻尼和外力的作用，系统将表现出理想的简谐振动。
- 阻尼和非线性： 通常情况下，单自由度系统可能会有阻尼和非线性因素的存在，这会使得其振动特性发生变化。
单自由度系统的研究对于理解振动学原理、分析结构动力学响应、设计工程结构等方面都具有重要意义。
它为工程师和研究人员提供了一种简化模型来分析和预测结构或系统的振动行为，对于许多工程应用和设计过程都具有指导意义。
1/ 1。
单自由度系统无阻尼振动讲义
单自由度系统无阻尼振动
单自由度系统的自 由振动——简谐振
动
1 运动微分方程的建立
弹簧—质量系统放在竖直方向，质量运动方向有重力。
重力只影 响质量块 的平衡位 置，并不 影响其振 动规律。
以系统的静平衡位置o为坐标原点，以垂直向下为轴 正向，建立如图所示的坐标系。
在静平衡位置有：
当物体在任意位置x时：
当质量块m在某一瞬时的速度为 弹簧在x处的微段d x的相应速度为
设r为弹簧单位长度的质量，则弹簧的动能为：
单自由度系统无阻尼振动
弹簧质量 弹簧的等效质量
例7 在长为l，抗弯刚度为EJ的简支梁的中点放一重量为W的物 体，梁的单位长度的质量为r，当考虑梁的分布质量时，求系 统的固有频率。
解：首先假定梁的振型。假设梁在自由振 动时动挠度曲线和简支梁中间有集中静载 荷作用下的静挠度曲线一样。
B点的等效刚度：
N个弹簧串联：
两个弹簧并联，在B端施加力F后，两个弹簧均伸长xB: 两个弹簧受力不同，分别为：
并联弹簧的等效刚度是原来弹簧刚度的总和， 比原来各弹簧单自的由刚度系度统无都阻要尼振大动 。
混联弹簧
等效刚度：
单自由度系统无阻尼振动
设计系统时：若需要减小刚度，采用串联弹性元件； 若需要增大刚度，采用并联弹性元件。
平面运动的刚体 T12mvc2 12Jc2
常见物体的势能计算
拉伸弹簧
扭转弹簧
U x kxdx 1 kx2
U
x
0
Kd
2 1
K2
0
2
刚体的重力势能 U mgzc 单自由度系统无阻尼振动
K 为抗扭弹簧系数
例1 可绕水平轴转动的细长杆，下端附有重锤（直杆的重量和 锤的体积都可以不计），组成单摆，杆长为l，锤重为mg，试 求摆的运动微分方程。
单自由度体系杜哈梅积分对应的的时程曲线
一、概述单自由度体系是指系统中只有一个可以自由运动的质点，它的运动可以由一个广义坐标来描述。
对于单自由度体系，可以采用杜哈姆积分的方法求解系统的运动方程，并绘制出对应的时程曲线。
本文将对单自由度体系的杜哈姆积分与时程曲线进行探讨。
二、杜哈姆积分的基本原理杜哈姆积分是一种对变阻尼振动系统非定常响应的数值积分方法。
对于线性系统，杜哈姆积分可以简化为一个积分型的微分方程，其基本原理可以用以下公式表示：其中，x(t)为系统的位移，x0表示系统的初始位移，v(t)为位移的导数，ω为系统的固有频率，t为时间，F(t)为外力。
利用杜哈姆积分方法，可以求解系统在给定外力作用下的位移和速度。
三、杜哈姆积分的应用杜哈姆积分广泛应用于工程实践中，尤其是在机械振动、结构动力学和地震工程中。
在求解单自由度体系的非定常响应时，我们可以利用杜哈姆积分方法得到系统的位移和速度随时间的变化规律。
四、时程曲线的绘制通过杜哈姆积分方法求解得到系统的位移和速度随时间的变化规律后，我们可以利用这些数据绘制出对应的时程曲线。
时程曲线可以直观地展示系统在外力作用下的振动情况，有利于工程师对系统的动态响应进行分析和评估。
五、实例分析以弹簧振子为例，假设有一个质量为m的弹簧振子，弹簧的刚度为k，外力为F(t)，系统的初始位移和初始速度分别为x0和v0。
利用杜哈姆积分方法，我们可以得到弹簧振子在外力作用下的位移和速度随时间的变化规律，并绘制出对应的时程曲线。
六、结论杜哈姆积分方法是一种对变阻尼振动系统非定常响应进行数值积分的有效方法。
通过对单自由度体系的杜哈姆积分和时程曲线的分析，我们可以更好地理解系统在外力作用下的动态响应规律，并为工程实践提供重要参考。
七、展望未来，我们可以进一步研究杜哈姆积分方法在多自由度体系和非线性系统中的应用，探索更加精确和高效的变阻尼振动系统响应预测方法，为工程实践和科研工作提供更加可靠的理论基础和技术支持。
单自由度体系的杜哈姆积分与时程曲线是工程动力学研究中的重要内容，它对于理解和预测系统动态响应具有重要意义。
单自由度系统实验报告
单自由度系统实验报告单自由度系统实验报告引言单自由度系统是力学中的基础概念，通过对其进行实验研究，可以更好地理解和掌握力学的相关原理。
本实验旨在通过对单自由度系统的研究，探索其振动特性和动力学行为。
实验目的1. 了解单自由度系统的基本概念和特性；2. 掌握单自由度系统的振动实验方法；3. 研究单自由度系统的振动频率和振幅与参数之间的关系；4. 分析单自由度系统的动力学行为。
实验装置和方法实验装置主要由弹簧、质点和振动台组成。
首先，将质点与弹簧固定在振动台上，调整弹簧的初始位置和质点的质量。
然后，施加一个外力使系统发生振动，并记录振动的频率和振幅。
根据实验数据，分析单自由度系统的振动特性和动力学行为。
实验结果与分析通过实验记录的数据，我们可以得出以下结论：1. 振动频率与弹簧刚度成正比：实验中我们改变了弹簧的刚度，发现振动频率随着弹簧刚度的增加而增加。
这符合单自由度系统的基本原理，即振动频率与系统的刚度相关。
2. 振动频率与质点质量无关：实验中我们改变了质点的质量，发现振动频率与质点质量无关。
这是因为单自由度系统的振动频率只与系统的刚度相关，与质点的质量无关。
3. 振幅与外力频率成正比：实验中我们改变了施加在系统上的外力频率，发现振幅随着外力频率的增加而增加。
这符合单自由度系统的共振现象，即当外力频率接近系统的固有频率时，振幅会增大。
4. 动力学行为的分析：通过实验数据的分析，我们可以了解单自由度系统的动力学行为。
例如，当外力频率小于系统的固有频率时，系统会发生简谐振动；当外力频率接近系统的固有频率时，系统会发生共振现象；当外力频率大于系统的固有频率时，系统会发生强迫振动。
结论通过本次实验，我们深入了解了单自由度系统的振动特性和动力学行为。
实验结果表明，振动频率与弹簧刚度成正比，与质点质量无关；振幅与外力频率成正比。
这些结果对于我们理解力学的相关原理以及应用于实际工程中的振动问题具有重要意义。
实验的局限性和改进本实验中，我们只研究了单自由度系统的基本特性和动力学行为，未考虑其他因素对系统的影响。
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k0
φ
a l
B m
〔注：由小位移假设，弹簧伸长l、αtgφ＝αφ；2、方
程左端为转动惯量乘角加速度，右端为力矩〕
即 ml 比较
2 a 2 k0
x n2 x 0
0
n
a2k0
ml2
0
k0
为自坐由标公微式分n方 程am2lk时20 ，我们与可公以式看到n ，mk当中取质转量角mφ对
应的是转动惯量，与k对应的是 k a2k0 ——单位 转角所需的力矩。
k1
k2
P
1 11 k串 k1 k2 k并 k1 k2
k1
k2
P
k串
k1k2 k1 k2
例（一）杆AB是无质量刚性杆，又知k0及尺寸a，l， 质量m，求系统的固有频率。
解法（1）：设刚性杆，向下转 为正，则质点m的转动惯量为 I=ml2
方程： ml 2 a k0 a
角振动微分方程为： I M
质量m是物体平动时惯性的度量；而转动惯量 I则是物体转动时惯性的度量。
解法（2）设自由度x，向下为正。
k0
F0
F
m
a
Δ
x
l
mx kx 0
kx指作用在质量m上的弹性恢复力F，它与弹簧力
F0的关系是：F0 a F l
F
a l
F0
弹簧伸长
a l
x,
F0
k0
F
a l
F0
a l
k0
(
a l
)2
k0
x
d 2x f (x) 型微分方程，其解法在高等数学中讲过，忘了
dt 2
的同学可以复习一下〕
x=c1sinωnt+c2cosωnt
其中常数c1 ，c2由初始条件确定。
三、初始条件引起的振动
设：当t＝0时
x x0 , x v0
把初始条件代入上式，可得
∴
x
v0
n
c1
v0
n
sin nt x0
,c2 x0 cosnt
x12
( v0
n
)2
,
初相位： tg x0 n
v0
取决于初始条件，也就是说，正是由于有了初位移x0或 初速度v0才会有自由振动（即外力停止后的振动），振 动的三个基本条件。 振动质体
3EJ 〕
l3
l
其中惯性矩 J bh3 2 cm4 ，故
12 3
c
10 60 3
3 2 2 10 6
0.54, n
980 42.弧7 度/秒
0.54
3
fn
n 2
6.8
赫兹
本节小结
单自由度系统的自由振动位移
其振幅：
x
v0
n
sin nt
x0
cos n t
A s in( n t
)
A
A s in( n t
)
〔注：这正是圆频率相同的两个简谐振动，一个用正
弦，一个为余弦合成情况〕
其中
A
x02
( v0
n
)2
tg x0 n
v0
四、讨论：
1、单自由度系统的自由振动是个简谐振动，
其振幅A和初相位φ由初始条件决定。从这里可以
看到自由振动最初发生的原因，必须有初位移x0或
初速度v0或两者都有才有振动x＝Asin(ωnt＋φ)， 否则x＝0 ——无振动
关于自由度的概念，前边已经讲述， 就是决定系统瞬时几何位置独立坐标 （或参数）。如果一个机械系统的几何 位置在任何瞬时都能只用一个独立的参 数来表达，那么该系统叫做具有一个自 由度的系统。
例： θ
m 这里不计梁的质量，它只做为
x 提供弹性恢复力的元件（独立 参数x）
轴的质量不计（独立参数θ）
I
弹簧质量不计（独立参数x）
这k由里公两k式1段轴1k2 为MG现Jk并1pl1在联〔分注形：别式这求里，M之故k1，有Mk2——两〔段注分：别l实1提际供转的角l弹2很性小扭〕矩〕
k1
M k1
1
GJp l1
（扭转等效刚度）
同样
k2
GJp l2
d 4
其中 J p 32 ——极惯性矩
k
k1 k2
GJp GJp
l1
l2
GJp(l1 l2 ) l1l2
Gd 4 (l1 l2 )
32l1l2
n
Gd 4 (l1 l2 )
32Il1l2
例（三）悬臂梁长l＝60cm，截面b×h＝1×2cm2,
E=2×106kg/cm2，重物P＝10kg；求：不计梁质量时，
求系统的固有频率及振动频率？
解：悬臂梁端受力P时挠度为：
P
c
Pl 3 3EJ
〔悬臂梁等效刚度（弯曲）k g
第二章 单自由度系统的振动
§2—1 单自由度系统的无阻尼自由振动 §2—2 求固有频率的能量法
§2—3 单自由度系统有阻尼的自由振动 §2—4 单自由度系统有阻尼的强迫振动 §2—5 基础振动——第二类振动问题 §2—6 振动的隔离 §2—7 单自由度系统对任意激振力的响应 §2—8 本章习题
引言
m
0 平衡位置
x
这些都属于一个自由度系统的振动。我们看到，力学模型
是从实际结构简化来的，如果不做这种简化，这些属于弹性体
振动问题（即无限自由度），以后会讲到。做这些简化也是有
根据的，那就是梁、轴、弹簧等的质量比我们目前研究的振动 质点的质量小得多，以至于可以忽略。
§3—1 单自由度系统的无阻尼 自由振动
一、发生振动必须有三个基本条件：
k
0
m
x
x
F＝＋kx
振动质体 提供恢复力元件 干扰（力，初位移，初速度等）
二、振动方程
mx kx
mx kx 0
或写成：x
2 n
x
0
这里令
2 n
k m
——我们以后再解释为什么这样设。
上式即一个自由度系统自由振动微分方程。这是个 二阶齐次线性常微分方程。它的通解是：〔注：这是
2、自由振动的圆频率
n
k m
就是说
弧度/秒 是否发生自由振动—由xo，uo决定 振动频率—系统固有频率
它取决于系统的质量及弹簧刚度，因此是系统所固有的， 与运动的初始条件无关（也解释说，与系统是否发生振动无 关）故把ωn称为固有频率。一座建筑物，一台机器，一架 飞机等等，一旦制造出来，其m，k就都是确定的了，于是 固有频率也就确定了。固有频率是本课程最重要的概念，在 以后的学习及工作中经常要用到（例如防止共振）。
mx
方程为：mx
(
a l
)2
k0
x
0
x ( a )2 k0 x 0 lm
〔注：n
a2k0 l2m
, k(a)2 l Nhomakorabeak0〕n
a l
k0 m
固有频率与坐标选取无关
例（二）轴质量不计，两段长各为l1，l2，直径相 同为d，圆盘转动惯量为I；求：扭振固有频率。
解：设圆盘转角θ为坐标，
dθ
则 n
k I
求法：
a、 n
k m
b、 n
k m
kg p
g
c
其中
c
p k
——静伸长（cm）
g——重力加速度（cm/s2）
k
δc
P
固有自然频率及周期为
fn
n 2
1
2
m 1
k 2
g
c
T 1 1 k 2 c
fn 2 m
g
两弹簧刚性系数分别为k1、k2的串联、并联的等效 刚性系数k 串联、并联（如图所示）