实数的基本概念

基本概念

实数可以分为有理数和无理数两类，有理数（有限小数或无限循环小数）可以分成整数和分数，而整数可以分为正整数、零和负整数。分数可以分为正分数和负分数。无理数（无限不循环小数）可以分为正无理数和负无理数。实数集合通常用字母 R 或 R^n 表示。而R^n 表示 n 维实数空间。实数是不可数的。

实数可以用来测量连续的量。理论上，任何实数都可以用无限小数的方式表示，小数点的右边是一个无穷的数列（可以是循环的，也可以是非循环的）。在实际运用中，实数经常被近似成一个有限小数（保留小数点后 n 位，n 为正整数，包括整数）。在计算机领域，由于计算机只能存储有限的小数位数，实数经常用浮点数来表示。

1）相反数（只有符号不同的两个数，他们的和为零，我们就说其中一个是另一个的相反数）实数a的相反数是-a，a和-a在数轴上到原点0的距离相等。

2）绝对值（在数轴上一个数a与原点0的距离）实数a的绝对值是：|a|

①a为正数时，|a|=a（不变）

②a为0时， |a|=0

③a为负数时，|a|= -a（为a的绝对值）

(任何数的绝对值都大于或等于0，因为距离没有负的。)

3）倒数（两个实数的乘积是1，则这两个数互为倒数）实数a的倒数是：1/a （a≠0）

4）数轴

（1）数轴的三要素：原点、正方向和单位长度。

（2）数轴上的点与实数一一对应。

实数分类

按性质分类是：正数、负数、0；

按定义分类是：有理数、无理数

四则运算封闭性

实数集R对加、减、乘、除（除数不为零）四则运算具有封闭性，即任意两个实数的和、差、积、商（除数不为零）仍然是实数。

实数集有序性

实数集是有序的，即任意两个实数a、b必定满足下列三个关系之一：ab.

实数的传递性

实数大小具有传递性，即若a>b,b>c,则有a>c.

实数的阿基米德性

实数具有阿基米德（Archimedes）性，即对任何a，b ∈R，若b>a>0,则存在正整数n，使得na>b.

实数的稠密性

实数集R具有稠密性，即两个不相等的实数之间必有另一个实数，既有有理数，也有无理数.

实数唯一性

如果在一条直线（通常为水平直线）上确定O作为原点，指定一个方向为正方向（通常把指向右的方向规定为正方向），并规定一个单位长度，则称此直线为数轴。任一实数都对应与数轴上的唯一一个点；反之，数轴上的每一个点也都唯一的表示一个实数。于是，实数集R与数轴上的点有着一一对应的关系。