专题27数形结合

专题 27 数形Hale Waihona Puke Baidu合
阅读与思考
数学研究的对象是现实世界中的数量关系与空间形式，简单地说就是“数”与“形”
，对现实世界
的事物，我们既可以从“数”的角度来研究，也可以从“形”的角度来探讨，我们在研究“数”的性质
时，离不开“形” ；而在探讨“形”的性质时，也可以借助于“数” ．我们把这种由数量关系来研究图形
性质，或由图形的性质来探讨数量关系，即这种“数”与“形”的相互转化的解决数学问题的思想叫作 数形结合思想 .
数形结合有下列若干途径：
1．借助于平面直角坐标系解代数问题； 2．借助于图形、图表解代数问题；
3．借助于方程（组）或不等式（组）解几何问题；
4．借助于函数解几何问题 .
现代心理学表明：人脑左半球主要具有言语的、分析的、逻辑的、抽象思维的功能；右半球主要具 有非言语的、综合的、直观的、音乐的、几何图形识别的形象思维的功能．要有效地获得知识，则需要
为 S ，则易得三个内接正方形边长分别为
2S ， 2S ， 2S ，由题意得 a ha b hb c hc ， a ha b hb c hc
即 a 2S b 2S c 2S L ．则 a ， b ， c 适合方程 x 2S L .
a
b
c
x
【例 6】 设正数 x ， y ， z 满足方程组
x2 xy y 2 3
BCD 都是等边三角形，则点 D 的坐标为 ______________.
（全国初中数学联赛试题）
3．平面直角坐标系上有点 P(－ 1，－ 2)和点 Q(4， 2)，取点 R(1， m )，当 m ________时， PR＋
RQ 有最小值 .
4.若 a 0 ， b 0 ，要使 x a x b a b 成立， x 的取值范围是 __________.
)
b abc
A．∠ B＞ 2∠ A
B．∠ B=2 ∠ A
C．∠ B＜ 2∠A
D ．不确定
9．如图， S AFG 5a ， S ACG 4a ， S BFG 7 a ，则 S AEG (
)
27 A． a
11
28 B． a
11
29 C． a
【例 2】 直角三角形的两条直角边之长为整数，它的周长是
x 厘米，面积是 x 平方厘米，这样的直角三
角形 (
)
A ．不存在
B．至多 1 个
C．有 4 个
D．有 2 个
（黄冈市竞赛试题）
解题思路 ：由题意可得若干关系式， 若此关系式无解， 则可推知满足题设要求的直角三角形不存在；
若此关系式有解，则可推知这样的直角三角形存在，且根据解的个数，可确定此直角三角形的个数．
两个半球的协同工作，数形结合分析问题有利于发挥左、右大脑半球的协作功能
.
代数表达及其运算，全面、精确、入微，克服了几何直观的许多局限性，正因为如此，笛卡尔创立 了解析几何，用代数方法统一处理几何问题．从而成为现代数学的先驱．几何问题代数化乃是数学的一
大进步．
例题与求解 【例 l】 设 y
x2 2x 2
两侧， 过点 D 且平行于 AC 的直线交 CB 的延长线于 E．如果 DE DB
那么 m n = (
)
m ，其中， m ， n 是互质的正整数，
n
A. 25
B.128
C.153
D.243
E.256
（美国数学统一考试题）
8．设 a ， b ， c 分别是△ ABC 的三边的长，且 a
ab
，则它的内角∠ A，∠ B 的关系是 (
【例 3】 如图，在△ ABC 中，∠ A＝ 900 ，∠ B＝2∠ C，∠ B 的平分线交 AC 于 D ，AE⊥ BC 于 E，
1
1
1
DF ⊥ BC 于 F. 求证：
.
BD DF AE BF AE BE
（湖北省竞赛试题）
解题思路 ：图形中含多个重要的基本图形，待证结论中的代数迹象十分明显．可依据题设条件，分
5.已知 AB 是半径为 1 的⊙ O 的弦， AB 的长为方程 x2 x 1 0 的正根，则∠ AOB 的度数是
______________. 6. 如图，所在正方形的中心均在坐标原点，且各边与
（太原市竞赛试题）
x 轴或 y 轴平行，从内到外，它们的边长依
次为 2， 4， 6， 8，…，顶点依次用 A1 ， A2 ， A3 ， A4 ，…表示，则顶点 A55 的坐标是 (
x 2 4 x 13 ，则 y 的最小值为 ___________.（罗马尼亚竞赛试题）
解题思路 ：若想求出被开方式的最小值，则顾此失彼．
y
x 12 1
x 2 2 9＝
2
2
x1 01
2
x2
2
0 3 ，于是问题转化为：在
x 轴上求一点 C( x ， 0)，使它到两
点 A（－ 1， 1）和 B(2，3) 的距离之和（即 CA＋ CB）最小 .
别计算出各个线段，利用代数法证明．
B E F
A
D
C
【例 4】 当 a 在什么范围内取值时，方程 x2 5x a 有且只有相异的两实数根？
解题思路： 从函数的观点看，问题可转化为函数
（四川省联赛试题）
y x2 5x 与函数 y a ( a ≥ 0)图象有且只有相
异两个交点．作出函数图象，由图象可直观地得
)
A . (13 ， 13)
B ．( － 13，－ 13)
C.(14 ， 14) y
D. ( － 14，一 14)
y A
C
x
O
BD
A1 0 A6 A2
O A1 A5 A9
A1 1 A7 A3
x
A4 A8 A1 2
第 2 题图
第 6 题图
7．在△ ABC 中，∠ C＝ 90 0， AC＝ 3， BC＝ 4．在△ ABD 中，∠ A＝ 90 0， AD ＝ 12.点 C 和点 D 分居 AB
a 的取值范围．
【例 5】 设△ ABC 三边上的三个内接正方形（有两个顶点在三角形的一边上，另两个顶点分别在
三角形另两边上）的面积都相等，证明：△ ABC 为正三角形．
（江苏省竞赛试题）
解题思路 ：设△ ABC 三边长分别为 a ， b ， c ，对应边上的高分别为 ha ， hb ， hc ，△ ABC 的面积
y2 z2 9 3
25 ，求 xy 2yz 3zx 的值．
z2 zx x 2 16
（俄罗斯中学生数学竞赛试题）
能力训练 1. 不查表可求得 tan150 的值为 __________.
2. 如图，点 A， C 都在函数 y 3 3 ( x 0 )的图象上，点 B， D 都在 x 轴上，且使得△ OAB，△ x