中考数学——数形结合专题

第九讲数形结合思想
【中考热点分析】
数形结合思想是数学中重要的思想方法，它根据数学问题中的条件和结论之间的内在联系，既分析其数量关系，又揭示其几何意义，使数量关系和几何图形巧妙的结合起来，并充分利用这种结合，探求解决问题的思路，使问题得以解决的思考方法。

几何图形的形象直观，便于理解；代数方法的一般性，解题过程的操作性强，便于把握。

【经典考题讲练】
例1.（2015衢州）如图，已知直线3
34
y x =-
+分别交x 轴、y 轴于点A 、B ，P 是抛物线21
252y x x =-++的一个动点，其横坐标为a ，过点P 且平行于y 轴的直线交直线
3
34
y x =-+于点Q ，则当PQ =BQ 时，a 的值是 ．
例2.（2014•广州）已知平面直角坐标系中两定点A （-1，0），B （4，0），抛物线（
）过点A 、B ，顶点为C ．点P （m ，n ）（n <0）为抛物线上一点．
（1）求抛物线的解析式与顶点C 的坐标． （2）当∠APB 为钝角时，求m 的取值范围． （3）若
，当∠APB 为直角时，将该抛物线向左或向右平移t （
）个单位，点
P 、C 移动后对应的点分别记为、
，是否存在t ，使得首尾依次连接A 、B 、
、
所
构成的多边形的周长最短？若存在，求t 值并说明抛物线平移的方向；若不存在，请说明理由．
解析：（1）待定系数法求解析式即可，求得解析式后转换成顶点式即可．
（2）因为AB 为直径，所以当抛物线上的点P 在⊙C 的内部时，满足∠APB 为钝角，所以-1＜m ＜0，或3＜m ＜4．
（3）左右平移时，使A ′D+DB ″最短即可，那么作出点C ′关于x 轴对称点的坐标为C ″，得到直线P ″C ″的解析式，然后把A 点的坐标代入即可．
答案：(1)解:依题意把的坐标代入得: ;解得:
抛物线解析式为
顶点横坐标,将代入抛物线得
(2)如图,当时,设,
则
过作直线轴,
(注意用整体代入法)
解得
,
当在之间时，
或时，为钝角.
(3)依题意，且
设移动（向右，向左）
连接
则
又的长度不变
四边形周长最小，只需最小即可
将沿轴向右平移5各单位到处
沿轴对称为
∴当且仅当、B、三点共线时，最小，且最小为，此时
，设过的直线为，代入
∴即
将代入，得：，解得：
∴当，P、C向左移动单位时，此时四边形ABP’C’周长最小。

例3.（2012杭州）如图，A E切⊙O于点E，A T交⊙O于点M，N，线段O E 交A T于点C，O B⊥A T于点B，已知∠E A T＝30°，，．（1）
求∠C O B的度数；（2）求⊙O的半径R；（3）点F在⊙O上（是劣弧），且E F＝5，把△O B C经过平移、旋转和相似变换后，使它的两个
顶点分别与点E，F重合．在E F的同一侧，这样的三角形共有多少个？你能在其中找出另一个顶点在⊙O上的三角形吗？请在图中画出这个三角形，并求出这个三角形与△O B C的周长之比．
解：(1)∵AE切⊙O于点E，∴OE⊥AE，
∵OB⊥AT，∴在△CAE和△COB中，∠AEC＝∠CBO＝90°，
而∠BCO＝∠ACE，∴∠COB＝∠A＝30°.(3分)
图(1)
(2)在Rt△ACE中，AE＝3，∠A＝30°，
∴EC＝AE·tan30°＝3.
如图(1)，连接OM，
在Rt△MOB中，OM＝R，MB＝＝，
∴OB＝＝.
在Rt△COB中，∠COB＝30°，
∴OC＝.
∵OC＋EC＝R，∴·＋3＝R
整理得R2＋18R－115＝0，即(R＋23)(R－5)＝0，
∴R＝－23(不符合题意，舍去)，或R＝5，∴R＝5.(8分)
(3)在EF的同一侧，满足题意的三角形共有6个，如图(2)(3)(4)，每个图有2个满足题意的三角形．
能找出另一个顶点也在⊙O上的三角形，如图(1)，延长EO交⊙O于D，连接DF，则△DFE 为符合条件的三角形．
图(2) 图(3) 图(4)
由题意得，△DFE∽△OBC.
由(2)得，DE＝2R＝10，OC＝＝2，∴＝＝＝5.(14分) 【解答策略提炼】
解题策略，数形结合思想包含“以形助教”和“以数助形”两个方面，即用数形结合思想解题可分两类：一是依形判教，用形解决数的问题，常见于借助数轴、函数图像、几何图形来求解代数问题；二十就数论形，用数解决形的问题，常见于运用恒等变形、建立方程（组）、面积转换等求解几何问题。

【专项达标训练】 一、填空题
1.如图所示，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC=90°，AD=AB=6，BC=14，点M 是线段BC 上一定点，且MC=8，动点P 从C 点出发沿C →D →A →B 的路线运动，运动到点B 停止，在点P 的运动过程中，使△PMC 为等腰三角形的点P 有（ ）个。

2.已知抛物线y=ax 2
-2ax-1+a(a>0)与直线x=2,x=3,y=1围成的正方形有公共点，则a 的取值范围是 。

3.如图，抛物线y=
2
1x 2
+bx-2与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，且A （-1,0），点M （m,0）是x 轴上的一个动点，当MC+MD 的值最小时，m 的值是 24/41 。

4.抛物线y=ax2+bx+c(a ≠0)与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，若△ABC 是直角三角形，则ac= .
5.如图，半径为r1的圆内切于半径为r2的圆，切点为P ，过圆心O1的直线与⊙
O2交于A 、B ，与⊙O1交于C 、D ，已知AC ：CD ：DB=3：4：2，则2
1
r r = ．
二、解答题
6.（1）如图，四边形ABCD 中，∠BAD=120°，∠B=∠D=90°，在BC 、CD 上分别找一点M 、N,使△AMN 周长最小时，求∠AMN+∠ANM 的度数。

（2）如图，直线y=x k 1+b 与双曲线y=x
k 2
交于A 、B 两点，其横坐标分别为1和5，求不等式x k 1<
x
k 2
+b 的解集。

7.如图，AC 为⊙O 的直径，B 是⊙O 外一点，AB 交⊙O 于E 点，过E 点作⊙O 的切线，交BC 于D 点，DE=DC,作EF ⊥AC 于F 点，交AD 于M 点。

（1）求证：BC 是⊙O 的切线。

（2）EM=FM.
8.（2015•鄂州）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=x+2与x轴交于点A，与y轴交于点C．抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是x=﹣且经过A、C两点，与x轴的另一交点为
点B．
（1）①直接写出点B的坐标；②求抛物线解析式．
（2）若点P为直线AC上方的抛物线上的一点，连接PA，PC．求△PAC的面积的最大值，并求出此时点P的坐标．
（3）抛物线上是否存在点M，过点M作MN垂直x轴于点N，使得以点A、M、N为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【基础重点轮动】 选择题 1.（-
2
1）-1+（π-3）0
+√（-2）2的值为 （ ） A.-1 B.-3 C.1 D.0 2.要使分式
1
5
-x 有意义，则x 的取值范围是 （ ） A.x ≠1 B.x <1 C.x>1 D.x ≠-1 3.对于函数
，下列说法错误的是 （ ）
A.它的图象分布在一、三象限
B.它的图象既是轴对称图形又是中心对称图形
C.当x ＞0时，y 的值随x 的增大而增大
D.当x ＜0时，y 的值随x 的增大而减小
4.如图，PA 、PB 是⊙O 的切线，切点是A 、B ，已知∠P=60°，OA=3，那么∠AOB 所对弧的长度为（ ）。

A.6π
B.5π
C.3π
D.2π
5.抛物线y=x 2
+bx+c （a ≠0）图像向右平移2个单位再向下平移3个单位，所得的图像解析
式为=x 2
-2x-3，则b ，c 的值为（ ）。

A.b=2，c=2
B.b=2，c=0
C.b=-2，c=-1
D.b=-3，c=2
6.如图，△ABC 中，CD ⊥AB ，垂足为D 。

下列条件中，不能证明△ABC 是直角三角形的是（ ）
A.∠A+∠B=90°
B.AB 2=AC 2+BC 2
C.
D.CD 2
=AD •BD
7.下列命题是真命题的是（ ）
A.对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
B ．有两边和一角对应相等的两个三角形全等
C．两条对角线相等的平行四边形是矩形
D．两边相等的平行四边形是菱形
8.如图所示，正方形网格中，网格线的交点称为格点。

已知A、B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则C点的个数是（C ）
A．6 B．7 C．8 D．9
填空题
9.如图，直线l1∥l2∥l3,点A、B、C分别在在直线l1、l2、l3上，若∠1=70°,∠2=50°，则∠ABC= 度。

第9题图第10题图
10.如图某水库堤坝横断面迎水坡AB的坡比是1：3，堤坝高BC=50m，则迎水坡面AB的
长度是。

11.某课外小组的同学们在社会实践活动中调查了20户家庭某月的用电量，如下表所示：
120140160180200
用电量（度）
户数23672则这20户家庭该月用电量的众数和中位数分别是。

12.已知菱形ABCD的边长是8，点E在直线AD上，若DE=3，连接BE与对角线AC相交于点M，则S△ABM：S△CBM的值为。

第10讲综合性解答问题
【中考热点分析】
代数型综合题是指以代数知识为主的或以代数变形技巧为主的一类综合题，涉及知识：主要包括方程、函数、不等式等内容。

解题策略：用到的数学思想方法有化归思想、分类思想、数形结合思想以及代入法、待定系数法、配方法等。

几何型综合题是指以几何知识为主或者以几何变换为主的一类综合题。

涉及知识：主要包括几何的定义、公理、定理、几何变换等内容。

解题策略：解决几何型综合题的关键是把代数知识与几何图形的性质以及计算与证明有机融合起来，进行分析、推理，从而达到解决问题的目的。

代数和几何型综合题是指以代数知识与几何知识综合运用的一类综合题。

涉及知识：代数与几何的重要知识点和多种数学思想方法。

【经典考题讲练】
例1.如图，已知矩形OABC 中，OA ＝2，AB ＝4，双曲线k y x
（k ＞0）与矩形两边AB 、BC 分别交于E 、F 。

（1）若E 是AB 的中点，求F 点的坐标；
（2）若将△BEF 沿直线EF 对折，B 点落在x 轴上的D 点，作EG ⊥OC ，垂足为G ，证明△EGD ∽△DCF ，并求k 的值。

O G F
E D C B A y x 例1题图
例2.（2014•十堰）已知抛物线C1：y=a（x+1）2﹣2的顶点为A，且经过点B（﹣2，﹣1）．（1）求A点的坐标和抛物线C1的解析式.
（2）如图1，将抛物线C1向下平移2个单位后得到抛物线C2，且抛物线C2与直线AB相交于C，D两点，求S△OAC：S△OAD的值.
（3）如图2，若过P（﹣4，0），Q（0，2）的直线为l，点E在（2）中抛物线C2对称轴右侧部分（含顶点）运动，直线m过点C和点E．问：是否存在直线m，使直线l，m与x 轴围成的三角形和直线l，m与y轴围成的三角形相似？若存在，求出直线m的解析式；若不存在，说明理由．
分析：（1）由抛物线的顶点式易得顶点A坐标，把点B的坐标代入抛物线的解析式即可解决问题．
（2）根据平移法则求出抛物线C2的解析式，用待定系数法求出直线AB的解析式，再通过解方程组求出抛物线C2与直线AB的交点C、D的坐标，就可以求出S△OAC：S△OAD 的值．
（3）设直线m与y轴交于点G，直线l，m与x轴围成的三角形和直线l，m与y轴围成的三角形形状、位置随着点G的变化而变化，故需对点G的位置进行讨论，借助于相似三角形的判定与性质、三角函数的增减性等知识求出符合条件的点G的坐标，从而求出相应的直线m的解析式．
例3.（10分）（2015•桂林）如图，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，AB=4，PC、PD 是⊙O的两条切线，C、D为切点．
（1）如图1，求⊙O的半径；
（2）如图1，若点E是BC的中点，连接PE，求PE的长度；
（3）如图2，若点M是BC边上任意一点（不含B、C），以点M为直角顶点，在BC的上方作∠AMN=90°，交直线CP于点N，求证：AM=MN．
分析：（1）利用切线的性质以及正方形的判定与性质得出⊙O的半径即可；
（2）利用垂径定理得出OE⊥BC，∠OCE=45°，进而利用勾股定理得出即可；
（3）在AB上截取BF=BM，利用（1）中所求，得出∠ECP=135°，再利用全等三角形的判定与性质得出即可．
【解答策略提炼】
1、代数综合题是以代数知识及代数变形为主的综合题。

主要包括方程、函数、不等式等内容。

解题策略：用到的数学思想方法有化归思想、分类思想、数形结合思想以及代入法、待定系数法、配方法等。

解代数综合题要注意方程、不等式和函数、统计等知识点之间的横向联系和数学思想方法、解题技巧的灵活运用，要抓住题意，化整为零，层层深入，各个击破，从而解决问题。

2、几何综合题考查的图形种类多、条件隐晦，在观察方法上要注意从三角形、四边形、圆的定义、性质、判定来观察分析图形，通过寻找、分解、构造基本图形以发现图形特征；在思考方法上分析挖掘题目的隐含条件，注意结合代数知识与几何图形的性质思考，不断的由已知想未知，为解决问题创造条件。

【专项达标训练】
一、填空题
1.如图，在四边形ABCD 中，AB=4,BC=7，CD=2，AD=x,则x 的取值范围是 。

2.如图，在△ABC 中，AB=AC ，D 在AB 上，BD=AB ，则∠A 的取值范围是 。

第1题图
第2题图
3.在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=3，BC=
4.若以C 点为圆心，r 为半径所作的圆与斜边AB 只有一个公共点，则r 的取值范围是 。

4.如图，矩形ABCD 中，E 为DC 的中点，AD ：AB=：2，CP ：BP=1：2，连接EP 并延长，交AB 的延长线于点F ，AP 、BE 相交于点O ．下列结论：①EP 平分∠CEB ；②△EBP ∽△EFB ；③△ABP ∽△ECP ；④AO •AP=OB2．其中正确的序号是 ．（把你认为正确的序号都填上）
5.（2015南通）关于X 的一元二次方程ax2-3x-1=0的两个不相等的实数根都在-1和0之间
（不包括-1和0），则a 的取值范围是 。

二、解答题
6.（2014牡丹江）(2014年黑龙江牡丹江)如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，CD ⊥AB 于点D ．点P 从点D 出发，沿线段DC 向点C 运动，点Q 从点C 出发，沿线段CA 向点A 运动，两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度，当点P 运动到C 时，两点都停止．设运动时间为t 秒．
（1）求线段CD 的长；
（2）设△CPQ 的面积为S ，求S 与t 之间的函数关系式，并确定在运动过程中是否存在某一时刻t ，使得S △CPQ ：S △ABC =9：100？若存在，求出t 的值；若不存在，说明理由．
（3）当t 为何值时，△CPQ 为等腰三角形？
A x D
B
C 7 4 2 A
D B C
备用图1 备用图2
7.（2013•连云港）如图，已知一次函数y=2x+2的图像与y轴交于点B，与反比例函数y=k1/x的图像的一个交点为A（1，m），过点B作AB的垂线BD，与反比例函数y=k2/x交于点D（n,-2）.
（1）求k1和k2的值；
（2）若直线AB、BD分别交x轴于点C、E，试问在y轴上是否存在一个点F，使得△BDF∽△ACE？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
8.(2015温州)如图，AB 是半圆O 的直径，CD ⊥AB 于点C ，交半圆于点E ，DF 切半圆于点
F.已知∠AEF=135°.
（1）求证：DF ∥AB ；
（2）若OC=CE ，BF=22，求DE 的长.
9.（2015•海南）如图，二次函数y=ax2+bx+3的图象与x轴相交于点A（﹣3，0）、B（1，0），与y轴相交于点C，点G是二次函数图象的顶点，直线GC交x轴于点H（3，0），AD 平行GC交y轴于点D．
（1）求该二次函数的表达式；
（2）求证：四边形ACHD是正方形；
（3）如图2，点M（t，p）是该二次函数图象上的动点，并且点M在第二象限内，过点M 的直线y=kx交二次函数的图象于另一点N．
①若四边形ADCM的面积为S，请求出S关于t的函数表达式，并写出t的取值范围；
②若△CMN的面积等于，请求出此时①中S的值．
【基础重点轮动】一．选择题
1.（2013.山西）解分式方程
22
3
11
x
x x
+
+=
--
时，去分母后变形为（）
A．2+（x+2）=3（x-1）B．2-x+2=3（x-1）C．2-（x+2）=3（1- x）D．2-（x+2）=3（x-1）2.
A.2
B.
C.
D.
3.下列交通标志是轴对称图形的是（）
A．B．C．D．
4.如图，将△ABC绕着点C顺时针旋转50°后得到△A′B′C′．若∠A=40°．∠B′=110°，则∠BCA′的度数是（）
第4题图第7题图
A．110°B．80°C．40°D．30°
5.下图是某月的日历表，在此日历表上可以用一个矩形圈出3×3个位置相邻的9个数(如6，7，8，l3，14，l5，20，21，22)．若圈出的9个数中，最大数与最小数的积为192，则这9个数的和为（）．
A．32 B．126 C．135 D．144
6.下列命题是假命题的是（）
A.全等三角形的对应边相等
B.两角和一边分别对应相等的两个三角形全等
C.对应角相等的两个三角形全等
D.相似三角形的面积比等于相似比的平方
7.如图，过点Q（0,3.5）的一次函数与正比例函数y=2x的图像相交于点P，能表示这个一次函数图像的方程是（）
A．3x－2y+3.5＝0B．3x－2y－3.5＝0
C．3x－2y+7＝0 D．3x+2y－7＝0
8.现有球迷150人欲同时租用A、B、C三种型号客车去观看世界杯足球赛，其中A、B、C 三种型号客车载容量分别为50人、30人、10人，要求每辆车必须满载，其中A型客车最多租两辆，则球迷们一次性到达赛场的租车方案有（）
A．3种 B．4种 C．5种 D．6种
二、填空题
9.化简：
10.若（a-1)2+|b-2|=0,则以a，b为边长的等腰三角形的周长为。

11.如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC,BD⊥DC,点E是BC的中点，且DE∥AB,则∠BCD的度数是。

12. 如图，边长为（a+2）的正方形纸片剪出一个边长为a的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），若拼成的矩形一边长为2，则另一边长是。

21。