中考数学——数形结合专题

第九讲数形结合思想

【中考热点分析】

数形结合思想是数学中重要的思想方法，它根据数学问题中的条件和结论之间的内在联系，既分析其数量关系，又揭示其几何意义，使数量关系和几何图形巧妙的结合起来，并充分利用这种结合，探求解决问题的思路，使问题得以解决的思考方法。几何图形的形象直观，便于理解；代数方法的一般性，解题过程的操作性强，便于把握。 【经典考题讲练】

例1.（2015衢州）如图，已知直线3

34

y x =-

+分别交x 轴、y 轴于点A 、B ，P 是抛物线21

252y x x =-++的一个动点，其横坐标为a ，过点P 且平行于y 轴的直线交直线

3

34

y x =-+于点Q ，则当PQ =BQ 时，a 的值是 ．

例2.（2014•广州）已知平面直角坐标系中两定点A （-1，0），B （4，0），抛物线（

）过点A 、B ，顶点为C ．点P （m ，n ）（n <0）为抛物线上一点．

（1）求抛物线的解析式与顶点C 的坐标． （2）当∠APB 为钝角时，求m 的取值范围． （3）若

，当∠APB 为直角时，将该抛物线向左或向右平移t （

）个单位，点

P 、C 移动后对应的点分别记为、

，是否存在t ，使得首尾依次连接A 、B 、

、

所

构成的多边形的周长最短？若存在，求t 值并说明抛物线平移的方向；若不存在，请说明理由．

解析：（1）待定系数法求解析式即可，求得解析式后转换成顶点式即可．

（2）因为AB 为直径，所以当抛物线上的点P 在⊙C 的内部时，满足∠APB 为钝角，所以-1＜m ＜0，或3＜m ＜4．

（3）左右平移时，使A ′D+DB ″最短即可，那么作出点C ′关于x 轴对称点的坐标为C ″，得到直线P ″C ″的解析式，然后把A 点的坐标代入即可．

答案：(1)解:依题意把的坐标代入得: ;解得:

抛物线解析式为

顶点横坐标,将代入抛物线得

(2)如图,当时,设,

则

过作直线轴,

(注意用整体代入法)

解得

,

当在之间时，

或时，为钝角.

(3)依题意，且

设移动（向右，向左）

连接

则

又的长度不变

四边形周长最小，只需最小即可

将沿轴向右平移5各单位到处

沿轴对称为

∴当且仅当、B、三点共线时，最小，且最小为，此时

，设过的直线为，代入

∴即

将代入，得：，解得：

∴当，P、C向左移动单位时，此时四边形ABP’C’周长最小。

例3.（2012杭州）如图，A E切⊙O于点E，A T交⊙O于点M，N，线段O E 交A T于点C，O B⊥A T于点B，已知∠E A T＝30°，，．（1）

求∠C O B的度数；（2）求⊙O的半径R；（3）点F在⊙O上（是劣弧），且E F＝5，把△O B C经过平移、旋转和相似变换后，使它的两个

顶点分别与点E，F重合．在E F的同一侧，这样的三角形共有多少个？你能在其中找出另一个顶点在⊙O上的三角形吗？请在图中画出这个三角形，并求出这个三角形与△O B C的周长之比．

解：(1)∵AE切⊙O于点E，∴OE⊥AE，

∵OB⊥AT，∴在△CAE和△COB中，∠AEC＝∠CBO＝90°，

而∠BCO＝∠ACE，∴∠COB＝∠A＝30°.(3分)

图(1)

(2)在Rt△ACE中，AE＝3，∠A＝30°，

∴EC＝AE·tan30°＝3.

如图(1)，连接OM，

在Rt△MOB中，OM＝R，MB＝＝，

∴OB＝＝.

在Rt△COB中，∠COB＝30°，

∴OC＝.

∵OC＋EC＝R，∴·＋3＝R

整理得R2＋18R－115＝0，即(R＋23)(R－5)＝0，

∴R＝－23(不符合题意，舍去)，或R＝5，∴R＝5.(8分)

(3)在EF的同一侧，满足题意的三角形共有6个，如图(2)(3)(4)，每个图有2个满足题意的三角形．

能找出另一个顶点也在⊙O上的三角形，如图(1)，延长EO交⊙O于D，连接DF，则△DFE 为符合条件的三角形．

图(2) 图(3) 图(4)

由题意得，△DFE∽△OBC.

由(2)得，DE＝2R＝10，OC＝＝2，∴＝＝＝5.(14分) 【解答策略提炼】

解题策略，数形结合思想包含“以形助教”和“以数助形”两个方面，即用数形结合思想解题可分两类：一是依形判教，用形解决数的问题，常见于借助数轴、函数图像、几何图形来求解代数问题；二十就数论形，用数解决形的问题，常见于运用恒等变形、建立方程（组）、面积转换等求解几何问题。

【专项达标训练】 一、填空题

1.如图所示，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC=90°，AD=AB=6，BC=14，点M 是线段BC 上一定点，且MC=8，动点P 从C 点出发沿C →D →A →B 的路线运动，运动到点B 停止，在点P 的运动过程中，使△PMC 为等腰三角形的点P 有（ ）个。

2.已知抛物线y=ax 2

-2ax-1+a(a>0)与直线x=2,x=3,y=1围成的正方形有公共点，则a 的取值范围是 。 3.如图，抛物线y=

2

1x 2

+bx-2与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，且A （-1,0），点M （m,0）是x 轴上的一个动点，当MC+MD 的值最小时，m 的值是 24/41 。

4.抛物线y=ax2+bx+c(a ≠0)与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，若△ABC 是直角三角形，则ac= .

5.如图，半径为r1的圆内切于半径为r2的圆，切点为P ，过圆心O1的直线与⊙

O2交于A 、B ，与⊙O1交于C 、D ，已知AC ：CD ：DB=3：4：2，则2

1

r r = ．