集合的含义-课件

【方法技巧】判断元素和集合关系的两种方法 (1)直接法: ①使用前提:集合中的元素是直接给出的. ②判断方法:判断该元素在已知集合中是否出现即可.此时应首先明确 集合是由哪些元素构成.
(2)推理法: ①使用前提:对于某些不便直接表示的集合. ②判断方法:判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可.此时 应首先明确已知集合的元素具有什么特征,即该集合中元素要符合哪 种表达式或满足哪些条件.
【解析】1.①由于标准不明确,故不能组成集合;②③④标准明确,能 组成集合. 答案:②③④ 2.(1)不正确.对一个集合,它的元素必须是互异的,由于0.5= ,在
1 这个集合中只能作为一个元素,故这个集合含有三个元素. 2
(2)不正确.因为方程虽有两个相等的实根,但其解集中只有一个元素 -1. (3)正确.因为组成单词china的字母是确定的.
【方法技巧】利用集合元素互异性求参数的策略及注意点 (1)策略:根据集合中元素的确定性,可以解出字母的所有可能值,再根 据集合中的元素的互异性对集合中元素进行检验. (2)注意点:利用集合中元素的互异性解题时,要注意分类讨论思想的 应用.
【补偿训练】已知集合A含有三个元素分别是:a+2,(a+1)2,a2+3a+3, 若1∈A,求实数a的值. 【解析】若a+2=1,则a=-1,所以A中元素是1,0,1,与集合中元素的互 异性矛盾,应舍去; 若(a+1)2=1,则a=0或a=-2, 当a=0时,A中元素是2,1,3,满足题意. 当a=-2时,A中元素是0,1,1,与集合中元素的互异性矛盾,舍去; 若a2+3a+3=1,则a=-1或a=-2(均舍去). 综上可知,a=0.
知识点2 元素与集合的关系及常用数集 观察图形,回答下列问题:
问题1:元素a与集合A有什么关系?元素b呢? 问题2:元素与集合之间是否只有属于和不属于两种关系?
【总结提升】 1.对元素和集合之间关系的两点说明 (1)根据集合中元素的确定性可知,对任何元素a和集合A,在a∈A和 a∉A两种情况中有且只有一种成立. (2)符号“∈”和“∉”用于元素与集合之间,并且这两个符号的左边 是元素,右边是集合,具有方向性,左右两边不能互换.
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9、有时候读书是一种巧妙地避开思考 的方法 。2021/3/62021/3/6Saturday, March 06, 2021
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10、阅读一切好书如同和过去最杰出 的人谈 话。2021/3/62021/3/62021/3/63/6/2021 10:06:29 AM
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11、越是没有本领的就越加自命不凡 。2021/3/62021/3/62021/3/6M ar-216- Mar-21
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12、越是无能的人，越喜欢挑剔别人 的错儿 。2021/3/62021/3/62021/3/6Saturday, March 06, 2021
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13、知人者智，自知者明。胜人者有 力，自 胜者强 。2021/3/62021/3/62021/3/62021/3/63/6/2021
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14、意志坚强的人能把世界放在手中 像泥块 一样任 意揉捏 。2021年3月6日星期 六2021/3/62021/3/62021/3/6
④函数y=x2图象上的点.
2.判断下列说法是否正确,并说明理由.
(1)1,0.5, 3 , 1 组成的集合含有四个元素. (2)方程x2+22x+21=0的解集中有两个元素.
(3)组成单词china的字母组成一个集合.
【解题探究】1.典例1中判断一组对象能否组成集合的关键是什么? 提示:关键是判断集合中的元素是否是确定的. 2.集合中的元素是否可以相同? 提示:集合中的元素是不相同的.
【方法技巧】判断一组对象组成集合的依据及切入点 (1)依据:元素的确定性是判断的依据.如果考查的对象是确定的,就能 组成集合,否则不能组成集合. (2)切入点:解答此类问题的切入点是集合元素的特性,即确定性、互 异性和无序性.
【变式训练】判断下列说法是否正确. (1)地球周围的行星能组成一个集合. (2)实数中不是有理数的所有数的全体能组成一个集合. 【解析】(1)错误.因为“周围”是个模糊的概念,随便找一颗行星无法 判断是否在地球的周围,因此它不满足集合元素的确定性. (2)正确.虽然满足条件的数有无数多个,但任何一个元素都能判断出来 是否属于这个集合.
【解析】1.选B.根据各数集的意义可知,①②正确,③④错误.
2.由 6 ∈N,x∈N知x≥0, x=0,13 ,2x.
≥60,且x≠3故0≤x<3.又x∈N,故 3 x
当x=0时, =2∈N,当x=1时, =3∈N,当x=2时, =6∈N.故
6
6
6
集合A中的3 元 0素为0,1,2.
31
32
答案:0,1,2
2.常用数集及其符号表示的两个关注点 (1)准:对常用数集的符号要记忆准确,书写规范,并且要明确各数集所 含的元素. (2)记:要记住0是最小的自然数.
【题型探究】
类型一 集合的判定问题
【典例】1.下列每组对象的全体能组成一个集合的序号是
.
①接近于2015的数;
②大于2015的数;
③方程x2-2=0在实数范围内的解;
3.下列元素与集合的关系判断正确的是 ( )
A.0∈N
B.π∈Q
C. ∈Q
D.-1∉Z
2
【解析】选A.0是自然数,A正确;π是无理数; 是无理数;-1是整
数,B,C,D均不正确.
2
4.方程x2-1=0的解与方程x+1=0的解组成的集合中共有
个元素.
【解析】方程x2-1=0的解是1,-1;x+1=0的解是-1.故这两个方程的解组
【延伸探究】本题中若将1∈A改为4∈A,则结果如何? 【解析】若a+2=4,则a=2. 所以A中元素是4,9,13,满足题意. 若(a+1)2=4,则a=1或a=-3. 当a=1时,A中元素是3,4,7,满足题意. 当a=-3时,A中元素是-1,4,3,满足题意. 若a2+3a+3=4,
则a= 3 ,1代3 入后都满足题意,故a的值为a=1,a=2,或a=-3或
【延伸探究】 1.(变换条件)本例若将集合A中元素“1和a2”改为“a-3和2a-1”,则实 数a的取值范围是什么? 【解析】由集合元素的互异性知a-3≠2a-1,解得a≠-2,故实数a的取 值范围是a≠-2.
2.(变换条件)本例中增加条件“a∈A”,其他条件不变,则实数a的值是 什么? 【解析】由a∈A可知, 当a=1时,此时a2=1,与集合元素的互异性矛盾,所以a≠1. 当a=a2时,a=0或1(舍去). 综上可知a=0.
(2,7)∈P.由于当x=3时,y=2×3+3=9≠4,故(3,4)∉P.
答案:∈ ∉
【补偿训练】集合A是由形如m+ n(m∈Z,n∈Z)的数组成的,试判断
3
1 是不是集合A中的元素.
【2 解析3 】因为 1 =2+ =2+
所以2+
∈A,2即
3
3
∈A.
1
3
2 3
×1,而2,1∈Z,
3
类型三 集合元素互异性的应用 【典例】已知集合A由元素1和a2组成,求实数a的取值范围. 【解题探究】本例集合A中的元素要满足什么条件? 提示:据集合中元素的互异性知1≠a2. 【解析】由集合元素的互异性知a2≠1,即a≠±1,故实数a的取值范围 是a∈R且a≠±1.
【变式训练】设由直线y=2x+3上的点组成集合P,点(2,7)与点集
P的关系为(2,7)
P,点(3,4)与点集P的关系为(3,4)
P(填“∈”或“∉”).
【解析】直线y=2x+3上的点的横坐标x和纵坐标y具有关系“y=2x+3”,
即只要具备此关系的点就在直线上.由于当x=2时,y=2×2+3=7,所以
2.集合中元素的三个特性及作用 (1)确定性:集合中的元素是确定的,即任何一个对象是或不是某个集 合的元素,两者必居其一.它是判断涉及的总体是否组成集合的依据. (2)互异性:集合中的元素必须是不同的,即对于一个给定的集合,它的 任何两个元素都是不同的.利用它可以求集合元素中的参数或排除数 值. (3)无序性:集合与其中元素的排列顺序无关.利用它可判断两个集合 的关系.
A,B,C,…
(3)集合相等:指构成两个集合的_元__素__是一样的. (4)集合中元素的特性:_______、_______和无序性.
确定性 互异性 2.元素与集合的关系
(1)“属于”:如果a是集合A的元素,就说a属于集合A,记作_____. (2)“不属于”:如果a不是集合A的元素,就说a不属于集合Aa,∈记A作____.
第一章 集合与函数概念 1.1 集 合
1.1.1 集合的含义与表示 第1课时 集合的含义
【知识提炼】
1.集合的相关概念
(1)元素:
①定义:指的是_________. ②表示:用小写的研拉究丁对字象母_________表示.
(2)集合:
a,b,c,…
①含义:指的是_________组成的总体.
②表示:用大写的一拉些丁元字素母_________表示.
【防范措施】 1.分类讨论的意识 解答含有字母的元素与集合关系的问题时,当对应关系不明确时,应注 意分类讨论.如本题中x2与哪个元素相等不确定,因此应分三种情况求 解. 2.解后检验的意识 根据条件求出有关参数的值后,要根据集合中元素的互异性进行验证, 舍去不合题意的解.如本例中应对x=0,-1,1分别进行检验.
a∉A
3.常见的数集及表示符号
数集 符号
非负整数集 (自然数集)
__ N
正整 数集
_整__数__集__
有理 数集
_实__数__集__
______
Z
__
R
N*或N+
Q
【即时小测】 1.思考下列问题 (1)组成集合的元素一定是数吗? 提示:不一定.组成集合的元素可以是物、数、图、点等. (2)高一四班的全体同学组成一个集合,调整座位后这个集合有没有变 化? 提示:没有,元素未发生变化.
2 a= 3 1.3
2
易错案例 利用集合元素的互异性求参数 【典例】已知集合A含有三个元素1,0,x,若x2∈A,则实数x的值为
.
【失误案例】
【错解分析】分析解题过程,你知道错在哪里吗? 提示:错误的根本原因是忽略了集合中元素应满足互异性,没有对所求 的值进行验证导致产生了多余的解.
【自我矫正】由x2∈A知,x2=0或x2=1或x2=x. (1)若x2=0,则x=0,此时集合A中有两个相同元素0,不符合集合中元素 具有互异性,舍去. (2)若x2=1,则x=±1. 当x=1时,此时集合A中有两个相同元素1,舍去. 当x=-1时,集合A中含有三个元素1,0,-1,符合题意. (3)若x2=x,则x=0或x=1,由(1)(2)知,应舍去. 综上可知:x=-1. 答案:-1
(3)用A表示高一三班全体学生组成的集合.用a表示高一三班的一位同 学,b表示高一四班的一位同学. 那么a,b与集合A分别有什么关系? 提示:a是集合A中的元素,b不是集合A中的元素.
2.下列各组对象中不能组成集合的是 ( ) A.北京大学2015年入学的全体学生 B.参加国庆65周年招待会的全体成员 C.清华大学建校以来毕业的所有学生 D.中国的著名数学家 【解析】选D.著名数学家没有明确的标准,不确定.
成的集合中的元素是1,-1,共有2个元素.
答案:2
【知识探究】 知识点1 集合的含义 观察图形,回答下列问题:
问题1:渔网中的鱼能否组成集合? 问题2:集合的元素有哪些特性?其作用是什么?
【总结提升】 1.对集合与元素含义的说明 (1)集合:是数学中一个不加定义的原始概念,只对它作描述性说明,其 本质是某些确定元素组成的总体. (2)元素:集合中的“元素”所指的范围非常广泛,现实生活中看到的、 听到的、所触摸到的、所能想到的各种各样的事物或一些抽象符号等, 都可以看作“对象”,即集合的元素.
类型二 元素与集合的关系
【典例】1.(2015·泰安高一检测)下列所给关系正确的个数
是( )
①π∈R;② ∉Q;③0∈N*;④|-4|∉N*.
A.1
3 B.2
C.3
D.4
2.(2015·连云港高一检测)集合A中的元素x满足 ∈N,x∈N,
则集合A中的元素为
.
6
3 x
【解题探究】1.典例Fra Baidu bibliotek中数集R,Q,N*的含义各是什么? 提示:R表示实数集,Q表示有理数集,N*表示正整数集. 2.典例2中对3-x有什么要求? 提示:要求3-x为6的正因数.