圆锥曲线的产生与发展

第一章 圆锥曲线的发展史

1.1 圆锥曲线的产生

早在公元前5世纪～公元前4世纪，古希腊巧辩学派的数学家提出了“化圆为方”、“立方倍积”和“三等分任意角”三大不可能问题。当初，他们并不知道这是不可能问题，所以努力想解决这些它们。虽然他们没有能解决这三大问题，但是却获得了不少意外的成果。据说，圆锥曲线的被发现，就是从这里开始的。 古希腊数学家希波克拉底在求解“立方倍积”问题时，发现了圆锥曲线：设y x ,为a 和a 2的比例中项，即a y y x x a 2:::==，则ay x =,ax y 2=，a xy 2=，从而求得a x 2=。又有人说，古希腊数学家在研究平面与圆锥面相截时发现了与“立方倍积”问题中一致的结果。还有认为，古代天文学家在制作日晷时发现了圆锥曲线。日晷是一个倾斜放置的圆盘，中央垂直于圆盘面立一杆。当太阳光照在日晷上，杆影的移动可以计时。而在不同纬度的地方，杆顶尖绘成不同的圆锥曲线。然而，日晷的发明在古代就已失传，所以不可详考。

古希腊数学家阿波罗尼采用平面切割圆锥的方法来研究这几种曲线。用垂直于锥轴的平面去截圆锥，得到的是圆；把平面渐渐倾斜，得到椭圆；当平面倾斜到“和且仅和”圆锥的一条母线平行时，得到抛物线；当平面再倾斜一些就可以得到双曲线。阿波罗尼曾把椭圆叫“亏曲线”，把双曲线叫做“超曲线”，把抛物线叫做“齐曲线”。事实上，阿波罗尼在其著作中使用纯几何方法已经取得了今天高中数学中关于圆锥曲线的全部性质和结果。

1.2 圆锥曲线的发展

一﹑奠基工作

在古希腊，有许多数学家都研究过圆锥曲线。譬如，老阿里斯泰库斯、欧几里得、阿基米德、厄拉多塞和阿波罗尼等。其中，阿波罗尼的《圆锥曲线》是最杰出的，它与欧几里得的《几何原本》同被誉为古希腊几何登峰造极之作。

《圆锥曲线》8篇，共487个命题。

第 1 篇，圆锥曲线的定义、性质；

第 2 篇，双曲线渐近线的作法、性质，由此引入共轭双曲线，圆锥曲线切线的作法；

第 3 篇，圆锥曲线与其切线、直径所成图形的面积，极点极线的调和性，焦点的性质；

第 4 篇，极点极线的其它性质，各种位置的圆锥曲线可能有的交点数；

第 5 篇，从特定点到圆锥曲线所能作的最长线和最短线；

第 6 篇，全等圆锥曲线、相似圆锥曲线及圆锥曲线弓形；

第 7 篇，有心圆锥曲线两共轭直径；

第 8 篇，失传，也许是关于如何定出有心圆锥曲线的共轭直径，使其长度的某些函数具有给定的值。

《圆锥曲线》现在的版本中，前4卷是从12～13世纪的希腊手稿本复制的，其后的3卷是从1290年阿拉伯译本转译的，第8卷已失传，现为17世纪的哈雷根据帕普斯书中的启示而搞出来的一个代替稿。阿波罗尼总结了前人的成就，提出了自己的创见，在《圆锥曲线》中，将圆锥曲线的性质收集殆尽，以至以致后代学者在千余年间对圆锥曲线的性质几乎没有插足的余地。以下，我们仅介绍阿波罗尼关于圆锥曲线的基础性的工作。

在古希腊，阿波罗尼之后，帕普斯对圆锥曲线也作了重要的工作，即在《数学汇编》证明：与定点及定直线的距离成定比例的点的轨迹是圆锥曲线。这是阿波罗尼的《圆锥曲线》中所没有的。总而言之，在古希腊对圆锥曲线的研究就有一个十分清楚的轮廓，只是由于没有坐标系统，所以在表达形式上存在着不容忽视的缺陷。

二﹑长期停滞

在阿波罗尼的《圆锥曲线》问世后的 13个世纪里，整个数学界对圆锥曲线的研究没有什么进展。公元 11 世纪，中亚数学家海雅姆利用圆锥曲线来解三次方程，而对圆锥曲线本身并没有深入的研究。

三﹑有所突破

16世纪，有两件事促使人们对圆锥曲线做进一步的研究。一是德国数学家开普勒继承了哥白尼的日心说，揭示出行星按椭圆轨道绕太阳运行，是圆锥曲线摆脱圆锥而成为自然界中物体运动的普遍形式。一是意大利物理学家伽利略得出

斜抛运动的轨道是抛物线，突破了静态圆锥曲线的观念。人们开始感到古希腊人的证明方法太缺乏一般性，几乎每个定理都是要想出一个特殊的证明方法。于是，对圆锥曲线的处理方法开始有了变化。

1579年，蒙蒂采用焦点、定长的方式，定义了椭圆，改变以往平面截圆锥的定义方式；开普勒关于几何图形连续变换的思想，为圆锥曲线的统一定义奠定了基础。

四﹑别开生面

17世纪，随着射影几何的肇始，本来为画家提供帮助的投射和截影的方法，与圆锥曲线有着天然的联系，也被用来研究圆锥曲线，并得出了一些关于圆锥曲线的特殊的定理。

在这方面，法国的三位数学家笛沙格、帕斯卡和德•拉•希尔的工作成果，开辟了研究圆锥曲线的别开生面的方向。

五﹑分析描述

解析几何的创立，使人们对圆锥曲线的认识进入了一个现阶段。这时，对圆锥曲线的研究方法既不同于阿波罗尼，又不同于笛沙格，而是朝着解析方法的方向发展。即建立坐标系，得出圆锥曲线的方程，再利用方程研究圆锥曲线的性质，以期摆脱几何直观而达到抽象化的目标，也可以求得对圆锥曲线研究的高度的概括与统一。在这方面，笛卡儿、费马和沃利斯（Wallis，John 1616 ～ 1703）分别做出了非常重要的贡献。

六﹑系统总结

18世纪，牛顿、伯努力和赫尔曼等先后提出不同的坐标系，尤其影响深刻的是极坐标系，这些工作促进了坐标系的系统化进程。随着坐标系的系统化，关于圆锥曲线性质研究的结论也逐渐可以系统化起来。在这方面，著名瑞士数学家欧拉做出了重要贡献。

欧拉1745年发表的《分析引论》，被誉为解析几何发展史上的重要著作。系统地研究了圆锥曲线的各种情形，并证明通过坐标变换，一定可以把任何圆锥曲线化为某种标准形式。欧拉之后，三维解析几何的研究蓬勃开展，由圆锥曲线导出了圆锥曲面。至此，关于圆锥曲线的理论并被广泛应用，也就是我们现在所能看到的情景。