定值问题知识点专项练习含答案(高考数学提分)

第24讲 定值问题

一．解答题（共19小题）

1．已知中心为坐标原点，以坐标轴为对称轴的双曲线C 过点Q ，且点Q 在x 轴上的射影恰为该双曲线的一个焦点1F （Ⅰ）求双曲线C 的方程；

（Ⅱ）命题：“过椭圆22

12516

x y +=的一个焦点F 作与x 轴不垂直的任意直线l ”

交椭圆于A 、B 两点，线段AB 的垂直平分线交x 轴于点M ，则

||||AB FM 为定值，且定值是10

3

”．命题中涉及了这么几个要素：给定的圆锥曲线E ，过该圆锥曲线焦点F 的弦AB ，AB 的垂直平分线与焦点所在的对称轴的交点M ，AB 的长度与F 、M 两点间距离的比值．试类比上述命题，写出一个关于抛物线C 的类似的正确命题，并加以证明．

（Ⅲ）试推广（Ⅱ）中的命题，写出关于圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）的统一的一般性命题（不必证明）．

2．已知中心在坐标原点，以坐标轴为对称轴的椭圆C 过点3

(1,)2Q ，且点Q 在x 轴的射影恰

为该椭圆的一个焦点1F ． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；

（Ⅱ）过椭圆C 的一个焦点F 作与x 轴不垂直的任意直线l 交椭圆于A 、B 两点，线段AB 的垂直平分线交x 轴于点M ，则||

||

AB FM 是否为定值，若为定值，求出该定值，若不为定值，说明理由．

3．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b

+=>>，离心率12,e F F =分别为左、右焦点，椭圆C 上一

点M 满足12MF MF ⊥，且△12MF F 的面积为1． （1）求椭圆C 的标准方程；

（2）过点(1,0)T 作斜率为(0)k k >的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点．过点O 且平行于l 的直线交椭圆于点P ，Q ，证明：

2

||||

||TA TB OP ⋅为定值．

4．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b

+=>>，上顶点M 40y ++=的距

离为3．

（1）求椭圆C 的方程；

（2）过点(1,1)T 作直线1l 与椭圆C 相交于P ，Q 两点，

且1

()2OT OP OQ =+，求1l 直线方程；（注意用两种方法作答，每种方法4分）

（3）设直线l 过点(4,2)-且与椭圆C 相交于A ，B 两点，l 不经过点M ，证明：直线MA 的斜率与直线MB 的斜率之和为定值．

5．已知椭圆2222:1x y C a b

+=，(0)a b >>，点P 在椭圆上．

（1）求椭圆C 的方程；

（2）设椭圆C 的左右顶点分别为A ，B ，过点(2,0)Q 的动直线l 与椭圆C 相交于M ，N 两点，是否存在定直线:l x t '=，使得l '与AN 的交点G 总在直线BM 上？若存在，求出一个满足条件的t 值；若不存在，说明理由．

6．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1(0)x y a b a b

Γ+=>>，上顶点(0,)b 在

直线10x y +-=上． （Ⅰ）求椭圆Γ的方程；

（Ⅱ）过原点的直线与椭圆Γ交于A ，B 两点(A ，B 不是椭圆Γ的顶点）．点C 在椭圆Γ上，且AC AB ⊥，直线BC 与x 轴、y 轴分别交于P ，Q 两点．

()i 设直线BC ，AP 的斜率分别为1k ，2k ，问是否存在实数t ，使得12k tk =？若存在，求出

t 的值；若不存在，请说明理由；

()ii 求OPQ ∆面积的最大值．

7．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b

+=>>，F 为椭圆C 的右焦点，A 是右准线与

x 轴的交点，且1AF =．

（1）求椭圆C 的方程；

（2）过椭圆C 上顶点B 的直线l 交椭圆另一点D ，交x 轴于点M ，若3BM MD =，求直线

l 的方程；

（3）设点3

(,0)2Q ，过点F 且斜率不为零的直线m 与椭圆C 交于S ，T 两点，直线TQ 与直

线2x =交于点1S ，试问11S S S A 是否为定值？若是，求出这个定值，若不是，请说明理由．

8．已知椭圆22

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x y C +=的右焦点为F ，过F 作与坐标轴不垂直的直线l ，交椭圆于A 、

B 两点，线段AB 的中垂线l '交x 轴于点M ．

（1）若2BF =，求B 点坐标； （2）问：

AB

FM

是否为定值．

9．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b

+=>>1F 、2F 是椭圆C 的左、右焦点，P 为

椭圆上的一个动点，且△12PF F 面积的最大值为 （1）求椭圆C 的方程；

（2）过椭圆C 的右焦点2F 作与x 轴不垂直的直线1l 交椭圆于A ，B 两点，第一象限点M 在椭圆上且满足2MF x ⊥轴，连接MA ，MB ，记直线AB ，MA ，MB 的斜率分别为k ，1k ，2k ，探索

12

2

k k k +-是否为定值，若是求出；若不是说明理由．

10．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b

+=>>的离心率为2，过椭圆C 的左焦点1(,0)F c -且不与坐

标轴垂直的直线l 交椭圆C 于M ，N 两点，且椭圆C 截直线x c =． （1）求椭圆C 的方程；

（2）线段MN 的垂直平分线与x 轴交于点P ，求点P 横坐标的取值范围；

（3）试问在x 轴上是否存在一点Q ，使得QM QN ⋅恒为定值？若存在，求出点Q 的坐标及该定值；若不存在，请说明理由．