三角恒等变换教案(教师用)

三角恒等变换

课 题 三角恒等变换

教学目标 1、 掌握和差角公式、二倍角公式的推导方法与记忆技巧，并能熟练运用此类公式。 2、 能够熟练进行三角恒等变换（如：化简、求值） 重点、难点 重点： 三角恒等变换； 难点：三角恒等变换的应用 考点及考试要求

1、两角和与差的正弦、余弦、正切公式。

2、二倍角的正弦、余弦、正切公式

3、运用相关公式进行简单的三角恒等变换

知识框架

一、两角和与差的正弦、余弦、正切公式

二、倍角的正弦、余弦、正切公式

1、二倍角公式：

2、二倍角公式的变形 （1）升幂： （2）降幂：

三、三角恒等变换的常见形式

1、三角恒等变换中常见的三种形式：化简、求值、证明

(1)三角函数式的化简常见的方法为化切为弦、利用诱导公式、同角三角函数的基本关系及和（差）角公式、倍角公式等进行转化求解。

(2)三角函数求值分为条件求值和非条件求值，对条件求值要充分利用条件进行求解。 (3)三角恒等式的证明，要看等式两端函数名、角之间的关系，不同名则化同名，不同角则化同角，利用公式变形即可。

2、辅助角公式 : 形如sin cos y a x b x =+，可化为22

sin()y a b x θ=++，

其中θ由

tan b

a θ=

确定 要点概述

（1）求值常用的方法：切割化弦法，升幂降幂法，和积互化法，辅助元素法，“1”的代换法等。 （2）要熟悉角的拆拼、变换的技巧，倍角与半角的相对性，如： 2()()....()(

)2

2

2

2

2

.,......

αβ

αβ

αβ

β

α

αβαβαβαβ+--=+--=

-

=+

-+

()()()()2ααβαβααββαββ

=++-=+-=-+，α3是23α的半角，α2是α4

的倍角等 （3）要掌握求值问题的解题规律和途径，寻求角间关系的特殊性，化非特殊角为特殊角，正确选用公式，灵活地掌握各个公式的正用、逆用、变形用等。 （4）求值的类型：

①“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面来看较难，但仔细观察非特殊角与

特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合和差化积、积化和差、升降幂公式转化为特殊角并且消降非特殊角的三角函数而得解。

②“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在

于“变角”，使其角相同或具有某种关系。

③“给值求角”：实质上可转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含已知角的式子

表示，由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角。求角的方法：先确定角的范围，再求出关于此角的某一个三角函数（要注意选择，其标准有二：一是此三角函数在角的范围内具有单调性；二是根据条件易求出此三角函数值） （5）公式的变用：

如：()()2ααβαβ=++-， ()()tan tan tan tan tan αβαβαβ+=+-1等，另外重视 角的范围对三角函数值的影响，因此要注意角的范围的讨论。

（6）化简三角函数式常有两种思路：一是角的变换（即将多种形式的角尽量统一），二是三角函数名称的变化（即当式子中所含三角函数种类较多时，一般是“切割化弦”），有时，两种变换并用，有时只用一种，视题而定。

（7）证明三角恒等式时，所用方法较多，一般有以下几种证明方法：

①从一边到另一边，②两边等于同一个式子，③作差法。

考点一：三角恒等变换

例1、 （1）sin 43cos13sin13cos137o

o

o

o

+ =___________; （2）若1

sin cos 3

αα+=

，则sin 2α=_________； (3) =-+0

tan50tan703tan50tan70____________。 例2、 若()sin()sin()(0)44

f x a x b x ab π

π

=+

+-≠是偶函数,则有序实数对(,a b )可以是 . (写出你认为正确的一组数即可).

例3、431310

cos ,(,),tan ,(,),cos()ans 523210

πααππββπαβ=-∈=-∈+若:。 求

例4、若sinA=55,sinB=1010,且A,B 均为钝角,求A+B 的值. （ans:74π）

例5、设()4cos()sin cos(2)6

f x x x x π

ωωωπ=-

-+，其中0?>。

（1）求函数()y f x =的值域； （2）若()f x 在区间3[,]22

ππ

-上为增函数，求ω的最大值。

针对性练习一

1、sin163°sin223°+sin253°sin313°等于 （ ） A.－

21 B.2

1

C.－23

D.23

2、函数sin

3cos 22x x

y =+的图像的一条对称轴方程是 （ ） A ．x =113π B ．x =53π C ．53x π=- D ．3

x π

=-

3、21tan(),tan(),..tan()=_____5444

if then ππ

αββα+=-=+ 4、已知72sin()123

πα+=，则11cos()_____12πα-=

考点二： 三角函数求值

例6、【给角求值】求下列三角函数式的值

（1）sin10sin50sin 70o

o

o

（2）(

)

tan 70cos103tan 201o o

o -·

（3）sin50(13tan10)+

（4） 2cos10sin 20cos 20

o o

o

-

例7、【给值求值】

（1）已知1

sin()cos cos()sin ,2αβαβααβ---=是第三象限角，5sin()4

πβ+=___________。 （2）3

(

,),sin(),sin =_____245

π

παπαα∈+=若则 （3）已知2

tan()5αβ+=，1tan()44

πβ-=，那么tan()4πα+的值是_____ （答：322）；

（4）已知cos ??? ??-6πα+sin α=354,则sin ??

? ??

+67πα的值是 . （5）已知sin （α+β）=32，sin （α－β）=43，求2tan()tan tan tan tan()

αβαββαβ+--?+的值。

思考：对于(2)中的条件 3sin()4

5π

α+=

能否改为 4

sin()45

πα+=，为什么？

例8、【给值求角】(1)已知21)tan(=-βα，7

1

tan -=β，且),0(,πβα∈，求βα-2的值

（2）若02αβγπ≤<<<且0sin sin sin αβγ++=，0cos cos cos αβγ++=，

求βα- 的值。

（答：

23

π）. 例9、【给值求取值范围】

1. 若,2

2

sin sin =+βα求βαcos cos +的取值范围。

2.2

1

cos sin =βα，求sin cos βα的取值范围

针对性练习二

1、已知,4

1

)4tan(,52)tan(=-=

+πββα则)4tan(πα+的值等于 （ ）

（A ）1813 （B ）223 （C ）2213 （D ）18

3

2、已知,3

1

cos cos ,21sin sin =+=+βαβα则)cos(βα-值等于 （ ）

（A ）127- （B ）1817- （C ）7259- （D ）72

109

-

3、化简：2[2sin 50sin10(13tan10)]2sin 80o o o o

++?

答案：1·B 2·C

巩固作业

1、若1(0,),sin cos 2

απαα∈+=，求tan α的值。

2、已知在ABC ?中，23

sin(),cos 34A B B +==-，求cosA 的值。 2735:12

ans +

3、已知2,αβπ+=cos 6sin y βα=-的最值。

:5,7ans -

4、已知1sin sin 3

x y +=，2

sin cos m y x =-，则m 的最大值为______，最小值为______.

5、若

2222

2sin sin 3sin ,sin sin αβααβ+=+则的取值范围是

[0 ,

5

4

]{}2? 难题、易错题部分

1、ABC ?中，3sin 4cos 6,4sin 3cos 1A B B A +=+=，则C ∠＝_______

2、已知函数 y=sin(ωx+Φ)与直线y ＝

21的交点中距离最近的两点距离为3

π

，那么此函数的周期是 （ ）

A

3

π

B π

C 2π

D 4π 3、在锐角⊿ABC 中，若1tan +=t A ，1tan -=t B ，则t 的取值范围为 （ ）

A 、),2(+∞

B 、),1(+∞

C 、)2,1(

D 、)1,1(- 4、义运算b a *为:()

()

,??

?>≤=*b a b b a a b a 例如，121=*,则函数f (x )=x x cos sin *的值域为

________________．

5、若锐角α的终边经过点P （2sin3,-2cos3）,则角α等于 （ ）

A ．3-π

B ．3

C ．23π-

D ．32

-π 6、已知53

sin +-=

m m θ，)2(524cos πθπθ<<+-=m m ，则θtan ＝____ ；

答案：１．

6π ２．Ａ ３．Ｂ ４．2

[1,

]2

- ５．Ｃ ６．－５／１２