第十讲 等差数列等比数列与数列求和自主招生

第十讲 等差数列等比数列与数列求和

【考点说明】

1.数列是自主招生必考的一个重要内容之一，在自主招生中占有一席之地！

2.在自主招生中,数列考得较多的知识点有:极限、数学归纳法、递推数列、等差等比数列、及数列的应 用等。

【知识引入】

一．等差数列：

1.通项公式：*11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈；

2.前n 项和公式：1()2n n n a a s +=1(1)

2

n n na d -=+. 二．等比数列：

1.通项公式：1

*11()n n

n a a a q

q n N q

-==

⋅∈； 2.前n 项和公式：11

(1)111

n n a q q S q na q ⎧-≠⎪

=-⎨⎪=⎩,,或11,11,1n n a a q

q q s na q -⎧≠⎪-=⎨⎪=⎩ .

三．数列的通项公式与前n 项的和的关系：11,

1,2

n n n S n a S s n -=⎧=⎨-≥⎩(n S 为数列{}n a 的前n 项的和为).

四．常见数列的前n 项和公式：

(1)

1232

n n n +++++=

21357

(21)n n ++++-=

24682(1)n n n ++++=+ 2222(1)(21)

1236n n n n ++++++=

33332

(1)123[]2n n n ++++

+=

【知识拓展】

一．等差数列的主要判定方法：

①1n n a a d +-=（d 为常数）； ②122n n n a a a ++=+（*n N ∈）； ③n a kn b =+（,k b 为常数）； ④2

n S An Bn =+（,A B 为常数）。

二．等差数列的主要性质： ①()n m a a n m d =+-或n m

a a d n m

-=

-（d 是公差）；

②若,,,*m n k l N ∈，且m n k l +=+，则m n k l a a a a +=+。注意，反之不一定成立； ③数列{}n a b λ+（,b λ是常数）是公差为d λ的等差数列； ④下标成等差数列，且公差为m 的项2,,,k k m k m a a a ++组成的数列仍然为等差数列，且公差为md 。

三．等比数列的判定方法：

①1n n a a q +=（q 是不为0的常数）； ②n n a c q =⋅（,c q 均为不为0的常数）； ③212n n n a a a ++=⋅（且12,,n n n a a a ++均不为0）。

四．等比数列的性质：

①n m n m a a q -=⋅（q 为公比）；

②若m n p q +=+，则m n p q a a a a ⋅=⋅（,,,*m n p q N ∈）； ③每隔k 项取出一项，按原来顺序排列，所得新数列仍为等比数列。

五．数列求和方法：

1.直接法：即直接用等差、等比数列的求和公式求和。 （1）等差数列的求和公式：d n n na a a n S n n 2

)

1(2)(11-+=+=

（2）等比数列的求和公式⎪⎩⎪⎨⎧≠--==)

1(1)1()1(11q q

q a q na S n

n （切记：公比含字母时一定要讨论）

2.公式法：（见常见数列的前n 项和公式）

3.错位相减法：比如{}{}1122,,.

n n n n a b a b a b a b ++

+等差等比求的和

4.裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差、正负相消剩下首尾若干项。常见拆项公式：

①11

1)1(1+-=+n n n n ；

②

1111

()(2)22

n n n n =-++

③

)1

21

121(21)12)(12(1+--=+-n n n n

④!)!1(!n n n n -+=⋅

5.分组求和法：把数列的每一项分成若干项，使其转化为等差或等比数列，再求和；

6.合并求和法：如求22222212979899100-++-+- 的和；

7.倒序相加法：如等差数列的前n 项和公司的推导，有时关于组合数的求和问题，也常用到该方法； 8.其它求和法：如归纳猜想法，奇偶法等。

►备注：在等差数列中S m +n =S m +S n +mnd,在等比数列中S m +n =S n +q n S m =S m +q m S n ．

六．第二数学归纳法：

①先证1,2n =时命题成立；假设,1n k k =+时命题成立，再证明2n k =+时命题也成立（有时称之为跨度为2的数学归纳法）。

②当1n =时，命题成立；假设对一切小于n 的正整数命题成立，能够推出（证明）n 时命题也成立。

以上两种都是第二数学归纳法。

七．主要方法：

1．求数列的和注意方法的选取：关键是看数列的通项公式； 2．求和过程中注意分类讨论思想的运用； 3．转化思想的运用；

【典例精讲】

例1．（2012“华约”）已知2

2

lg(1)3n a n n

=++，其前n 项和为n S ，求lim n n S →∞。 ►分析与解答：

2232(1)(2)

lg lg

3(3)

n n n n n a n n n n ++++==++，122334

lg

lg 1425

n n S a a a ⨯⨯=+++=+++⨯⨯

(1)(2)

2334(1)(2)3(1)

lg

lg lg (3)1425

(3)3

n n n n n n n n n n ⎡⎤++⨯⨯+++=⋅

=⎢⎥+⨯⨯++⎣⎦。 所以，lim lg 3n n S →∞

=。