平行与垂直知识点总结

直线和平面垂直的定义：如果一条直线a 和一个平面 内的任意一条直线都垂直，我们就说直线a 和平面 互相垂直.直线a 叫做平面 的垂线，平面 叫做直线a 的垂面。

直线与平面垂直的判定定理（线线垂直→线面垂直）：如果一条直线和

一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。

基础例题：1、求证在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，体对角线AC 1垂直于面对角线BD

2、AB 是圆O 的直径，C 是异于A 、B 的圆周上的任意一点，PA 垂直于圆O 所在的平面，证明：PAC BC 平面

直线与平面垂直的性质定理（线面垂直→线线垂直）：如果一条直线垂

直于一个平面，那么他就和平面内的任意一条直线垂直。

基础例题1.已知:在空间四边形ABCD 中,AC =AD ,BC =BD ,中点为CD E ，求证：AB ⊥CD

推论1（线线平行→线面垂直）如果在两条平行线中，有一条垂直于平面，那么

另一条也垂直于这个平面。

C

C1

推论2（线面垂直→线线平行）如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直

线平行。

正方体AC 1中，EF 与异面直线AC,A 1D 都 垂直相交，交点分别为E,F ， 求证：EF//BD 1

2、直线和平面平行的定义：如果一条直线和一个平面没有公共点，那么我们就说这条直线和这个平面平行。

直线和平面平行的判定定理（线线平行→线面平行）：如果平面外一条直

线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。

基本例题：1已知：空间四边形ABCD 中，F E ,分别是AD AB ,的中点

求证：BCD EF 平面//

2、已知，空间四边形ABCD 中，H G F E ,,,分别是边DA CD BC AB ,,,的中点

求证：EFG AC 平面//

直线和平面平行的性质定理（线面平行→线线平行）：如果一条直线和

一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。

基础例题：如图,E 、H 分别是空间四边形ABCD 的边AB 、AD 的中点，平面α过EH 分别交BC 、CD 于F 、G.求证：EH ∥FG .

四、两个平面的位置关系：

（1）两个平面互相平行的定义：空间两平面没有公共点 （2）两个平面的位置关系：

两个平面平行-----没有公共点； 两个平面相交-----有一条公共直线。 1、平行

两个平面平行的判定定理（线面平行→面面平行）：如果一个平面内有两

条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。

基础例题：已知三棱锥ABC P

中，F

E D 、、分别是棱PC PB PA 、、的中点

两个平面平行的性质定理1（面面平行→线线平行）：如果两个平行平面

同时和第三个平面相交，那么交线平行。 基础例题：课本p47 A4 B2

两个平面平行的性质定理2:两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比

例

基础例题课本P47B3 2、相交 两平面垂直

两平面垂直的判定定理（线面垂直→面面垂直）：如果一个平面经过另一

个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直 基础例题：1

,.

Rt ABC AB AC a AD BC AD BDC ∆==∠⊥⊥∠已知中，是斜边上的高，以为折痕使成直角求证：（1)平面ABD 平面BDC,平面ACD 平面BDC

(2)BAC=60

2.如下图，AB 是圆O 的直径，C 是异于A 、B 的圆周上的任意一点，PA 垂直于圆O 所在的平面，证明：PAC PBC 平面平面⊥

两个平面垂直的性质定理（面面垂直→线面垂直）：如果两个平面互相垂

直，那么在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面。

基础例题．如图在三棱锥S —ABC 中，SA ⊥平面ABC ，平面SAB ⊥平面SBC .

求证：AB ⊥BC ；

B

S

A

C

H