物理 电磁学 第12讲 等势面 电势梯度 静电场中的电偶极子
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使电偶极子转向电场强度的方向。 (2) 非匀强电场
电偶极子不会平动 正、负电荷所受的对偶极子中心的力矩之和：
F F F qE qE 0
电偶极子会平动
M p E
一般而言，同时又会有转动，由于 l 很小，在计算力矩 时，可近似认为正、负电荷所在处的电场相同。 故电偶极子在非匀强电场中既有平动又有转动。
M p E
讨论： 当 p // E 时， W Wmin pE，M 0；稳定平衡态 当 p // E 时，W Wmax pE， M 0；非稳定平衡态
§1.5.1 电偶极子在电场中所受的力矩 (1) 匀强电场
F F F 0
F
q
F r E
O r
q
M r F r F qr E ( q )r E q( r r ) E ql E p E
1
2
3
n
规定：任意两个相邻等 势面之间的电势 差相等。
等势面
电偶极子
电场 等势
+
等势面 电场线
平行板电容器
人心脏的等 电势线，类 似于电偶极 子。
二、等势面与电场线的关系
等势面与电场线处处正交
证：设一试探电荷 q0 沿等势面
E
dl
做一任意元位移 dl ，
电场力所做的元功
d
d grad er dn
注意 电势梯度是矢量
电势梯度：在方向上与该 点处电势增加率最大的方 向相同，在量值上等于沿 该方向上的电势增加率。
三、 电场强度和电势微分关系的证明
已知：在静电场中，等势面与电场线 处处正交。电场线的方向，亦 即电场强度的方向，指向电势 降落的方向。 E 当单位正电荷从电势为 的 P1 点，沿 dl 方向移到电势为 + d 的 P3 点时， 电场力对此单位正电荷所做的功为
点电荷 均匀带电球面(体) 无限长的带电线(柱) 无限大的带电面(板)
§1.4.6 电势梯度 (Potential gradient)
一、电场强度和电势的关系
积分关系式
a
b
a
E dl
b 0
微分关系式
E grad
grad， ： 电势梯度
SI单位：伏/米(V/m)
§ 1.5.2 电偶极子在电场中的电势能
W = W+ + W- = q0+ q0 = q0(+ ) q0 E dl q0 E dl q0 E l
l ，p dl E q0
q0
W p E
ˆ Ey ˆ ˆ E Exi j Ezk
在电场中各点的电场强度等 于该点电势梯度的负值。
ˆ ˆ ˆ i j k y z x ˆ 梯度 i ˆ ˆ j k 算符 x y z
[例] 求电偶极子电场中任一点的电势和电场强度。 1 pr y 解： P 4 π 0 r 3 2 2 2 r 对任一点 P(x，y)： r x y x x cos +q q 1 2 r x2 y2 x O px l 所以 2 2 32 4 π 0 x y
p 2 x2 y2 则 Ex x 4 π x 2 y 2 5 2 0 3 pxy Ey y 4 π x 2 y 2 5 2
用矢量式表示为
1 p 3p r E 3 5 r 4 π 0 r r
c
a A
C
0
等势面的疏密反映了场的强弱
设电场中任意两个相邻等势面之 间的电势差为一定的值
Δ
E P n Q
Δ Δ E Δn 或 E Δn
Δn 0
Δ E lim Δn 0 Δn
等势面密的地方场强大
1. 2. 两个基本定理
真空中静电场小结 两个物理量 E
dA q0 E dl q0 Edl cos 0 cos 0 π E dl 2
Δr
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
电场线指向电势降的方向 设 c a ， Δr 指向电势升高的方
ΔA q0 E Δr q0 a q0 c E Δr 0 ， E 与 Δr 反 E 指向电势降落的方向
dn P2
P3
e ˆr
P1
d
E dl Edlcos ( d ) d E cos E l l E x ， E y ， Ez y x z
E En n l max E e ˆn grad n
i S E dS qi内
0
L E dl 0
3. 两种计算思路
E dE
(Q )
d
(Q )
i S E dS
4. 强调两句话 注重典型场 注重叠加原理
qi内
0
E dl
P (0) (P)
二、电势梯度
两等势面电势分别为 和 + d，且
dn P2 e ˆr ˆr ：P1 点处法线方向的单位矢量 e P3 dn ：两个等势面之间在 P1 点处的法向距离 P1 dl
d 0
对任意 dl
dn dl
ˆr 方向的电势增加率最大 在 P1点处，沿 e
d d dn dl
[例] 求均匀带电圆盘 (R， ) 轴线上的场强。
2 0
R x x
2
2
O x P
x ˆ d ˆ i i 1 E 2 2 2 0 dx R x
Some hammerhead sharks can detect electric fields as weak as 50 picovolts per meter!
§1.4.5 等势面 (Equipotential Surfaces)
一、 定义 由电势相等的点组成的面叫等势面 满足方程 x , y , z C
电场线
当常量 C 取等间隔数值时，可以得 到一系列的等势面。 等势面的法线方向指向电势增高的 2 1 3 2 方向。
电偶极子不会平动 正、负电荷所受的对偶极子中心的力矩之和：
F F F qE qE 0
电偶极子会平动
M p E
一般而言，同时又会有转动，由于 l 很小，在计算力矩 时，可近似认为正、负电荷所在处的电场相同。 故电偶极子在非匀强电场中既有平动又有转动。
M p E
讨论： 当 p // E 时， W Wmin pE，M 0；稳定平衡态 当 p // E 时，W Wmax pE， M 0；非稳定平衡态
§1.5.1 电偶极子在电场中所受的力矩 (1) 匀强电场
F F F 0
F
q
F r E
O r
q
M r F r F qr E ( q )r E q( r r ) E ql E p E
1
2
3
n
规定：任意两个相邻等 势面之间的电势 差相等。
等势面
电偶极子
电场 等势
+
等势面 电场线
平行板电容器
人心脏的等 电势线，类 似于电偶极 子。
二、等势面与电场线的关系
等势面与电场线处处正交
证：设一试探电荷 q0 沿等势面
E
dl
做一任意元位移 dl ，
电场力所做的元功
d
d grad er dn
注意 电势梯度是矢量
电势梯度：在方向上与该 点处电势增加率最大的方 向相同，在量值上等于沿 该方向上的电势增加率。
三、 电场强度和电势微分关系的证明
已知：在静电场中，等势面与电场线 处处正交。电场线的方向，亦 即电场强度的方向，指向电势 降落的方向。 E 当单位正电荷从电势为 的 P1 点，沿 dl 方向移到电势为 + d 的 P3 点时， 电场力对此单位正电荷所做的功为
点电荷 均匀带电球面(体) 无限长的带电线(柱) 无限大的带电面(板)
§1.4.6 电势梯度 (Potential gradient)
一、电场强度和电势的关系
积分关系式
a
b
a
E dl
b 0
微分关系式
E grad
grad， ： 电势梯度
SI单位：伏/米(V/m)
§ 1.5.2 电偶极子在电场中的电势能
W = W+ + W- = q0+ q0 = q0(+ ) q0 E dl q0 E dl q0 E l
l ，p dl E q0
q0
W p E
ˆ Ey ˆ ˆ E Exi j Ezk
在电场中各点的电场强度等 于该点电势梯度的负值。
ˆ ˆ ˆ i j k y z x ˆ 梯度 i ˆ ˆ j k 算符 x y z
[例] 求电偶极子电场中任一点的电势和电场强度。 1 pr y 解： P 4 π 0 r 3 2 2 2 r 对任一点 P(x，y)： r x y x x cos +q q 1 2 r x2 y2 x O px l 所以 2 2 32 4 π 0 x y
p 2 x2 y2 则 Ex x 4 π x 2 y 2 5 2 0 3 pxy Ey y 4 π x 2 y 2 5 2
用矢量式表示为
1 p 3p r E 3 5 r 4 π 0 r r
c
a A
C
0
等势面的疏密反映了场的强弱
设电场中任意两个相邻等势面之 间的电势差为一定的值
Δ
E P n Q
Δ Δ E Δn 或 E Δn
Δn 0
Δ E lim Δn 0 Δn
等势面密的地方场强大
1. 2. 两个基本定理
真空中静电场小结 两个物理量 E
dA q0 E dl q0 Edl cos 0 cos 0 π E dl 2
Δr
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
电场线指向电势降的方向 设 c a ， Δr 指向电势升高的方
ΔA q0 E Δr q0 a q0 c E Δr 0 ， E 与 Δr 反 E 指向电势降落的方向
dn P2
P3
e ˆr
P1
d
E dl Edlcos ( d ) d E cos E l l E x ， E y ， Ez y x z
E En n l max E e ˆn grad n
i S E dS qi内
0
L E dl 0
3. 两种计算思路
E dE
(Q )
d
(Q )
i S E dS
4. 强调两句话 注重典型场 注重叠加原理
qi内
0
E dl
P (0) (P)
二、电势梯度
两等势面电势分别为 和 + d，且
dn P2 e ˆr ˆr ：P1 点处法线方向的单位矢量 e P3 dn ：两个等势面之间在 P1 点处的法向距离 P1 dl
d 0
对任意 dl
dn dl
ˆr 方向的电势增加率最大 在 P1点处，沿 e
d d dn dl
[例] 求均匀带电圆盘 (R， ) 轴线上的场强。
2 0
R x x
2
2
O x P
x ˆ d ˆ i i 1 E 2 2 2 0 dx R x
Some hammerhead sharks can detect electric fields as weak as 50 picovolts per meter!
§1.4.5 等势面 (Equipotential Surfaces)
一、 定义 由电势相等的点组成的面叫等势面 满足方程 x , y , z C
电场线
当常量 C 取等间隔数值时，可以得 到一系列的等势面。 等势面的法线方向指向电势增高的 2 1 3 2 方向。