物理 电磁学 第12讲 等势面 电势梯度 静电场中的电偶极子
电势电势梯度
静电场的环路定理
当带电体在静电场中移动时，静电场力对带电体要作 功，这说明静电场具有能量。
一、静电场力的功
d A = F . d l = q E .dl b r rb = q E .dl cosφ dl qq φ φ q = q E .dr = 4 r 2d r π ε ra q E q q rb d r qq 1 1 a A= 2 = r r 4π 4 π ra r b ε a ε
§5-5
等势面 电场强度与电势梯度的关系
注：相邻等势面之间的电势差相等。
一.等势面：在静电场中，电势相等的点所组成的面。
等势面的性质： （2）等势面与电场线处处正交 （3）电场线指向电势降低的方向 （4）等势面和电场线密集 处场强量值大，稀疏处场强 量值小
（1）在静电场中，沿等势面移动电荷时，电场力作功为零
=
q 4πε
o
[
x (x + R )
2 2 3 2
]
V dV
B2
n
B3
dn φ
B1
dV E dn
V
dl
II I
E
dV E dn
负号表示E与n的方向相反，正是E的方向
dV E n gradV dn
电场中各点的场强等于各点的电势 梯度矢量的
负值。
任一方向的电场强度的分量：
V dV
B3 II dn φ
B2
n
1. 点电荷的电势 Vp =
p
E .dl =
8
q 4 πε 0 r
2
8
p
d r cos 0
0
q 1 1 4o r r a
等势面静电场中的电偶极子
2
2
qlE sin
M pE
pE sin
第9章 静电场
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9-4 静电场中的电偶极子
当 p E 时, 90 M最大 M pE
当 p // E , 0 时, M=0
F
(C)
q
4 0 r R
(D)
q
4 0
1 R
1 r
P
R
q
r P＇
［］
第9章 静电场
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9-4 静电场中的电偶极子
3. 如图所示，在匀强电场 E 中取一半径为
R的半球面ACB，求：
（1）通过ACB半球面的电通量；
（2）沿 ACB 路径搬迁电荷q时，电场力所
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9-4 静电场中的电偶极子
V V
V
en
A
B l
E
q 1
dV El dl
电场强度沿 l 方向 的分量，等于电势 沿这个方向空间变 化率的负值.
第9章 静电场
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9-4 静电场中的电偶极子
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例4：半径为R的无限长圆柱体，电荷按体密
度 分布，分别以（1）轴线处为零电势位
置，（2）圆柱体表面为零电势位置，求圆
静电场—电场强度和电势梯度
+q
K F+
Kθ
r0
K
F-
-q
在匀强电场中，电偶极子不受电场力的作用；电偶极子没有 平动。
2、在匀强电场中所受的力矩
M = q r0Esinθ = pEsinθ
K M
=
K p
×
K E
在力矩的作用下，电偶极子将在平面内转动。
3、在匀强电场中电偶极子的取向
+q
F+
当θ=0时，电偶极子所受的力矩为
零，—— 稳定的平衡位置；
4πε0 x2 + R2 1/2
x
q
式中R为圆环的半径。因而轴线上一点的场
强为:
( ) ( ) Ex
=-
∂V ∂x
=-
∂ ∂x
4πε 0
q x2 + R2
1/ 2
=
4πε 0
qx x2 + R2
3/2
Ey = 0
r
R
dq
Ez = 0
例题3 求均匀带电薄圆盘轴线上一点的场强。
解：前面例题中已解出薄圆盘轴线上一点 的电势：
V
= V＋
+ V−
=
q
4πε 0
(1 r+
−
1 r−
)
=
q
4πε 0
⋅
r− − r+ r+ r−
K r−
KK r r+
−q
Kθ l
+q
x
对于电偶极子，l <<r，所以
r−
− r+
= l cosθ
,
r+ r−
= r 2 ，V
第12讲 等势面 电势梯度 静电场中的电偶极子
第12讲等势面电势梯度静电场中的电偶极子电场线与等势面的关系♉电场线处处垂直等势面♉电场线指向电势降的方向♉等势面的疏密反映了场的强弱电场强度和电势的关系积分关系式⎰⋅=b a a l Ed ϕ0=b ϕ微分关系式ϕϕ-∇=-=g ra d Ek z j y i x ˆˆˆ∂∂+∂∂+∂∂=∇ϕϕϕϕ电偶极子( )在电场( )中所受的力矩 Ep M ⨯=电偶极子( )在均匀外场( )中的势能 Ep W ⋅-=E p E p 电场中的电偶极子O 图中所示以 O 为心的各球冠面为静电场的等势面，已知ϕ1 < ϕ2 < ϕ3，在图上画出 a 、b 两点的电场强度的方向，并比较它们的大小。
E a E b(填 <、=、>)。
ϕ1 ϕ2 ϕ3 a b = a E b E Q3.12.11.若静电场的某个区域电势等于恒量，则该区域的电场强度分布是 ；若电势随空间坐标作线性变化，则该区域的场强分布是 。
处处为零 不为零的恒量(或均匀分布) Q3.12.2设有两个电偶极矩分别为 和 的电偶极子。
如果它们重叠在一起，此带电系统的电偶极矩为多少？ 答：1p 2p Q3.12.3221121l q l q p p p+=+=Q3.12.4电偶极子在均匀电场中总要使自身转向稳定平衡的位置，若此电偶极子处在非均匀电场中，它将怎样运动呢？你能说明吗？答：见视频。
[Q3.12.5] 证明 Q1.3.7 中的电四极子在它的轴线延长线上的电势为式中 Q = 2ql 2 叫做它的电四极矩。
利用梯度验证，所得场强公式与Q1.3.7一致。
)(l r r Q >>= π4130εϕ+q P-2q +q l l r解： 根据电势的叠加原理⎪⎭⎫ ⎝⎛--++=r l r l r q 211π40εϕ+q P-2q +q l l r2π422220)()()()(l r r l r l r r l r r q ---++-=ε)(22202π4l r r l q -=ε当 l << r 时， 30π4r Qεϕ≈r E ∂∂-=ϕ40π43r Q ε=[Q3.12.5]* 电偶极层： 一厚度 l 均匀的曲面薄壳，两面带有符号相反的面电荷 。
04电势梯度、电偶极子-精选文档
5. 基本的电势分布 (1) 点电荷的电势
q Vp 4 0 r
(2) 均匀带电球面的电势
Vin
u (r )
Q 4 0 R
Q Vout(r) 4 0r
0
R
r
（下一页）
§8 - 8 等势面 和电势梯度
一、 等势面 (1)等势面定义 ：由电场中电势相等的点组成的曲面
c
即:等势面与电力线处处正交.
d
E
②电力线指向电势降低的方向; ★沿电力线移动 q d V W W q ( V V ) A E d l 0 ; c c d c d cd
c
V d
（下一页）
③等势面较密集的地方场强大，较稀疏的地方 场强小（证明待后）。
●
F
q
如果电偶极子放在非均匀电场中，所受合力不为零。则电 偶极子不仅要转动，而且还会作平动。 （下一页）
二、电偶极子在电场中的电势能和平衡位置
q ●
r0
●
F
电势分别为V 和V- 。 + E
Wp = qV+－qV-
r 如图 电偶极子 0 pq 在匀强电场 E 中。 设 q 和 q 所在处的
等势面类比于地形图中的等高线.
(2)等势面的获得:
①利用电势的解析表达式:
V ( x , y , z ) V , i 1 , 2 , 3 ... i
②利用实际测量的方法.
规定:场中任意两相邻等势面间的电势差相等
+
(3)等势面的例子
正点电荷电场 中的等势面 （下一页）
电偶极子的等势面
+
（下一页）
【大学物理】静电场的环路定理 电势 等势面 电势梯度
r r r r－ r l cos
r
r
r+
q l
q+
3. 连续分布电荷电场中的电势 利用电势叠加原理：
dV
dq
dq VP 4 π 0 r
r
P
使用此公式的前提条件为有限大带电体且选无限远 处为电势零点；积分是对整个带电体的积分。 E 利用电势定义式： dl “ 0 ” P
qr E1 3 4 π 0 R
r
q E2 2 4 π 0 r
V1 E1dr E 2 dr
r R
R
q R
R
r
qr q dr dr 3 2 R 4 π r 4 π 0 R 0
2
q q q (3 R r ) 2 2 (R r ) 3 8 π 0 R 4 π 0 R 8 π 0 R
与路径无关
a
dr
任意带电体系产生的电场
任意带电体系都可以看成电荷系 q1、q2、…，移动q0， 静电力所作功为: b b q E •b dr W F dr 0
ab
q0 a• q0 ( E1 E 2 E n ) dr a( L) n b q 0 E i d r ＝ qi q0 ( 1 1 ) a( L) i 1 rbi i 4 0 rai
注意：
• 电势能的零点可以任意选取，但是在习惯上， 当场源电荷为有限带电体时，通常把电势能的零 点选取在无穷远处。 这时，空间a点的电势能：
E pa
a
q0 E dl
• 电势能为电场和位于电场中的电荷这个系统所 共有。
物理 电磁学 第12讲 等势面 电势梯度 静电场中的电偶极子
P3
e ˆr
P1
d
E dl Edlcos ( d ) d E cos E l l E x ， E y ， Ez y x z
E En n l max E e ˆn grad n
c
a A
C
0
等势面的疏密反映了场的强弱
设电场中任意两个相邻等势面之 间的电势差为一定的值
Δ
E P n Q
Δ Δ E Δn 或 E Δn
Δn 0
Δ E lim Δn 0 Δn
等势面密的地方场强大
1. 2. 两个基本定理
真空中静电场小结 两个物理量 E
[例] 求均匀带电圆盘 (R， ) 轴线上的场强。
2 0
R x x
2
2
O x P
x ˆ d ˆ i i 1 E 2 2 2 0 dx R x
Some hammerhead sharks can detect electric fields as weak as 50 picovolts per meter!
M p E
讨论： 当 p // E 时， W Wmin pE，M 0；稳定平衡态 当 p // E 时，W Wmax pE， M 0；非稳定平衡态
使电偶极子转向电场强度的方向。 (2) 非匀强电场
电偶极子不会平动 正、负电荷所受的对偶极子中心的力矩之和：
F F F qE qE 0
电偶极子会平动
M p E
一般而言，同时又会有转动，由于 l 很小，在计算力矩 时，可近似认为正、负电荷所在处的电场相同。 故电偶极子在非匀强电场中既有平动又有转动。
静电场中电偶极子电势与电场的计算
静电场中电偶极子电势与电场的计算作者：王旭梅黎姝张璐来源：《速读·中旬》2015年第11期摘要：关于静电场中电偶极子的电场和电势的分布，一般教科书上只给出某个特殊方向上的电场表达式，这是由于任意场点的电场求解比较麻烦，该论文给出比较简单的三种解法，以便掌握电偶极子的电场分布特点。
关键词：电偶极子；电场强度；电势；叠加原理；等效原理关于静电场中电偶极子的电场和电势的分布，在许多电磁学教材中均详细的讲述过，但是这些仅限于特殊方向上的场强和电势的计算，本文意在任意方向上进行拓展。
电偶极子是一个重要的物理模型，在实际问题中，当两个点电荷之间的距离比所考虑的场点到二者的距离小得多时，这一对点电荷就可以视为电偶极子。
在研究电解质极化时，采用“重心模型”描述后，电解质分子可以等效为偶极子；在电磁波的吸收和发射以及中性分子相互作用的理论基础上，电偶极子的模型也是一个很重要的模型，因此研究电偶极子的电场和电势问题有重要的意义。
1由电场叠加原理直接求解图（1）电场叠加原理求解以电偶极子连线的中心为原点，以其连线为轴建立极坐标系，如上图（1）所示，对任意一场点P的电场其中，分别为点电荷-q，+q在P点产生的电场强度并且有所以可以得到其中[r-]与 [r+]分别为点电荷-q，q到P点的位矢，在直角坐标系中有：（[i]， [j]表示直角坐标的两个基矢， [r]，[θ] 表示极坐标的两个基矢）因为所以同理可得：因为电偶极子r>> l.所以可以得到式子，代入式子可得到其中讨论：（1）当[θ] =0时，即场点在x轴上，所以，而[Eθ]=0，由此可得此情况下的（2）当[θ] =[π2]时，即场点在y轴上，所以[Er]=0，而由此可得此情况下的2由电势的分布求电偶极子的电场分布根据点电荷电势公式和电势的叠加原理，如图（1），则有P点的电势为因为所以利用电场强度与电势的关系，选用球坐标系有此结果与前面的一致。
3由等效原理求电偶极子的电场分布电偶极子的电偶极矩，它在一级近似下可以等效为两个垂直的电偶极子的矢量和，即如下图（2），其中，那么场点P的电场可以看成与分别单独在P点产生的电场强度之和，即这里的E1和E2均为熟悉的两个特殊方向的电偶极子产生的电场，它们分别为：所以此结果也与前面一致。
电势梯度、电偶极子课件
2 电偶极子的性质与特点
电偶极子具有矢量性质、具有二极性、具有 偶极矩和偶极矩矩量的概念。
3 电偶极子的电势与电场
电偶极子产生的电势与电场与距离的关系符 合特定的数学表达式。
4 电偶极子的应用与实例
电偶极子的应用广泛，涉及电子学、光学、 化学等多个领域。例如，它可以用于理解分 子极性、光电效应等。
示范演示文稿
电势梯度、电偶极子ppt 课件
本课件将详细介绍电势梯度以及电偶极子的相关知识。电势梯度是指在电场 中单位正电荷移动时电势能变化的快慢程度，与电场强度有密切关系。电偶 极子是指两个相等但异号的电荷之间的一对。通过本课件，您将深入了解电 势梯度与电偶极子的性质、计算方法以及应用实例。
电势梯度的定义
电势梯度
是指在电场中单位正电荷移 动时电势能变化的快慢程度。
电场强度与电势梯度的 关系
电场强度与电势梯度成正比， 即电场强度越大，电势梯度 越大。
电势梯度的计算方法
可以通过导数的定义来计算 电势梯度，即沿电场方向上 的导数。
电偶极子的定义
1 电偶极子
是指两个相等但异号的电荷之间的一对存在 特定距离关系的物理系统。
3 提问与答疑
如果您有任何与电势梯度和电偶极子相关的 问题，请随时提问。
4 结束语
感谢您的阅读，希望本课件能够对您在电学 学习中有所帮助。
总结
通过本课件，您已经了解了电势梯度与电偶极子在电ห้องสมุดไป่ตู้中的重要性。掌握电势梯度的计算方法和电偶极子的定 义、特性以及应用场景，将有助于更深入地理解电场的性质和电学原理。
1 重点回顾
电势梯度是单位正电荷移动时电势能变化的 快慢程度，与电场强度成正比。
2 讲解的要点
电势梯度---电磁学
y2 y2
z2) z2 )5/2
2
3Pxy
40(x2 y2
z2 )5/ 2
2
4
0(x2
P y2
z2 )2
4x2 y2 z2
P(0,y) y
讨论：
1. 在X轴上，y=0，z=0，则 E
P
Ex 20x3 Ey 0, Ez 0 -q
+q
2. 在Y 轴上，x=0，z=0，则
yA
r
q q r0
x
25
上节课：U
1
4 π 0
p cos
r2
4
p
π 0
(x2
x y2
z2 )3/2
Ex
U x
p
4 π0
y2 z2 2x2 (x2 y2 z2 )5/2
yA
r
r
r
q q r0
x
Ey
U y
4
p
π 0
(x2
3xy y2
z2 )5/2
Ez
26
E
Ex2
E
2 y
Ez2
P(2x2
19
例1 求一均匀带电细圆环轴线上任一点的电场强度.
解
E U
U
q
4 π 0 (x2 R2 )1 2
E
Ex
U x
y dq dl
qR
o
z
r
x
P x E
q
x
4π
0
(x2
R2
)1
2
qx
4π 0(x2 R2)3 2
20
1. 在环心O 即x=0处的电势和场强如何？ 2. 想象一下这均匀带电圆环的E 线和等势面分布。
静电场-电势,等势面,电势梯度
10
4.2 从电场强度计算电势
v vv 1）运用高斯定理电场的分布： E = E(r )
2) 通过电场强度的积分计算电势：
V =∫
∞
a
r r E ⋅ dl
11
例7-12 半径为 R 的均匀带电球面，带电量为q，求 空间的电势分布。
dl
r
rP R P ∞
12
(r ≤ R) 0 解： E = q 4πε r 2 (r > R) 0
33
p均匀带电球面内外的场强
E内 = 0 Q E外 = 4πε 0 r 2
p均匀带电球面的电势
Q V内 = 4πε 0 R Q V外 = 4πε 0 r
34
p均匀带电球体内外的场强
Qr E内 = 4πε 0 R 3 Q E外 = 4πε 0 r 2
p均匀带电球体外的电势
Q 3R 2 − r 2 V内 = 8πε 0 R 3 Q V外 = 4πε 0 r
dr r O R x P
E
x
25
σ 2 2 解： V = ( x + R − x) 2ε 0 ∂V σ x (1 − ) E = Ex = − = 2 2 ∂x 2ε 0 x +R
26
两均匀带电同心球面，根据电势分布求电场强度分布
27
1）电场弱的地方电势低；电场强的地方电势高吗？
v 2） V = 0 的地方， E = 0 吗？ v v 3） E 相等的地方，V 一定相等吗？等势面上 E
例7-10 均匀带电圆盘，半径为R ，电荷面密度为σ。 求轴线离圆盘中心O距离为x的P点的电势。
dr r O R x P x
9
解：dV =
dq 4πε 0 x 2 + r 2
电势梯度、电偶极子
目录
• 电势梯度概述 • 电偶极子概述 • 电势梯度与电偶极子的关系 • 电势梯度与电偶极子的应用 • 总结与展望
01 电势梯度概述
电势梯度的定义
电势梯度是电场强度在空间中的变化 率，表示电场中电势随位置的变化率。
电势梯度是一个矢量，其方向指向电 势降低的方向，其大小等于电场强度 在该点的负值。
在某些特殊情况下，如强磁场和强电场共同作用时，电偶极子的行为 会更加复杂。
04 电势梯度与电偶极子的应 用
电势梯度在电子设备中的应用
电子设备中的电势梯度用于控制电流和电压的分布，确保电子设备的正常运行。
在集成电路中，电势梯度用于实现信号的传输和处理，提高电路的工作效率和稳定 性。
电势梯度在电子设备的散热设计中也发挥着重要作用，通过合理分布温度场，降低 设备过热的风险。
电偶极子是一对相距一定距离的等量 异号点电荷，它们产生的电场在空间 中形成电偶极场。电偶极场的电场线 从正电荷出发，终止于负电荷，不闭 合也不相交。
电势梯度和电偶极子在电磁学、电化 学、生物医学等领域有着广泛的应用 。例如，在电磁学中，通过研究电势 梯度和电偶极子的分布，可以分析电 磁波的传播和散射特性；在电化学中 ，电势梯度和电偶极子可以影响电解 质的离子迁移和扩散行为；在生物医 学中，电势梯度和电偶极子可以影响 细胞的生长和分化等生命活动。
电势梯度定义为电场强度在某一点的负 值，即$nabla varphi = -E$，其中 $varphi$表示电势，E表示电场强度。
电势梯度的物理意义
电势梯度表示电场中电势随位置 的变化率，反映了电场中电势的
分布情况。
电势梯度的物理意义在于它决定 了电荷在电场中的运动方向和速 率，以及电场力对电荷的作用方
大学物理课件---等势面.电势梯度-[福州大学...李培官]
![大学物理课件---等势面.电势梯度-[福州大学...李培官]](https://img.taocdn.com/s3/m/c9b28864b84ae45c3b358cb5.png)
p
O R
x
与用叠加原理得到的结果一致。
讨论： 当R时， E 2 0
即无穷大均匀带电平面的电场。
20
【例3】试由电势分布计算电偶极子 (q, l ) 的场强。
解： pr p cos V 3 2 4π 0 r 4π 0 r
x
z
P x E
qx q 4 π ( x 2 R 2 )3 2 2 2 12 x 4 π 0 ( x R ) 0
19
【例2】 计算均匀带电圆盘轴线上的电场。
解： U ( R 2 x 2 x) 2 0 U E Ex x
1
2 dl
A21 ( E p1 E p 2 ) E p 2 E p1 q0 (U 2 U1 ) 0 U 2 U1 0 U 2 U1 E 的方向为电势降低的方向。 E
a
Eb
★课堂练习： 已知 u1 u2 u2 u3 0 由图示的等势面，确定 a、b点的场强大小和方向
u1
b
a
u3
u2
13
二、电势梯度
1.电场强度与电势梯度的关系：
u du
u E dl E cosdl u ( u du) El a E cosdl du E E在 dl方向上的分量 El dl du
du El dl
u Ey y
dl
dAMN
E dl Edlcos 0 E dl
E
M
3)由于规定了两个相邻等势面的电势差相等，所以等势 面较密集的地方，场强较大。等势面较稀疏的地方，场 强较小。
电偶极子等势面形状
电偶极子等势面形状
电偶极子的等势面形状取决于电偶极子的形状和极化程度。
一般来说，对于一个均匀极化的直线电偶极子，其等势面形状是一个由两个对称的曲面组成的双曲面。
这两个曲面以直线电偶极子为轴线，对称分布，且与电偶极子呈倒数关系。
如果电偶极子是一个球形，那么等势面将是球面。
除了上述基本形状之外，当电偶极子靠近其他电荷或电场时，等势面的形状可能会发生变化。
对于一个电偶极子在均匀电场中的情况，等势面将与电场线平行，形状为管状或柱状。
总之，电偶极子的等势面形状取决于电偶极子的形状和其周围的电场分布情况。
当电偶极子是一个平面电偶极子时，其等势面形状将是平面。
平面电偶极子是指两个电荷等大小、异号，并位于同一平面内的电荷，它们构成了一个电偶极子。
对于非均匀极化的电偶极子，等势面的形状将取决于极化的分布情况。
例如，如果电偶极子极化程度在一侧比另一侧强烈，那么在靠近强极化一侧的区域，等势面将弯曲并更接近于电偶极子的形状。
此外，如果在电偶极子周围存在其他电荷或电场，等势面的形状也将受到这些电场的影响。
如果电偶极子靠近一个正电荷，那么等势面将在电偶极子旁边向外呈弧形弯曲，指向正电荷的方向。
相反，如果电偶极子靠近一个负电荷，等势面将在电偶极子旁边向内呈弧形弯曲，指向负电荷的方向。
总之，电偶极子的等势面形状受到电偶极子的形状、极化程度以及周围电荷或电场的影响。
具体的等势面形状需要通过具体的情况来确定。
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M p E
讨论： 当 p // E 时， W Wmin pE，M 0；稳定平衡态 当 p // E 时，W Wmax pE， M 0；非稳定平衡态
[例] 求均匀带电圆盘 (R， ) 轴线上的场强。
2 0
R x x
2
2
O x P
x ˆ d ˆ i i 1 E 2 2 2 0 dx R x
Some hammerhead sharks can detect electric fields as weak as 50 picovolts per meter!
d
d grad er dn
注意 电势梯度是矢量
电势梯度：在方向上与该 点处电势增加率最大的方 向相同，在量值上等于沿 该方向上的电势增加率。
三、 电场强度和电势微分关系的证明
已知：在静电场中，等势面与电场线 处处正交。电场线的方向，亦 即电场强度的方向，指向电势 降落的方向。 E 当单位正电荷从电势为 的 P1 点，沿 dl 方向移到电势为 + d 的 P3 点时， 电场力对此单位正电荷所做的功为
dn P2
P3
e ˆr
P1
d
E dl Edlcos ( d ) d E cos E l l E x ， E y ， Ez y x z
E En n l max E e ˆn grad n
§1.4.5 等势面 (Equipotential Surfaces)
一、 定义 由电势相等的点组成的面叫等势面 满足方程 x , y , z C
电场线
当常量 C 取等间隔数值时，可以得 到一系列的等势面。 等势面的法线方向指向电势增高的 2 1 3 2 方向。
二、电势梯度
两等势面电势分别为 和 + d，且
dn P2 e ˆr ˆr ：P1 点处法线方向的单位矢量 e P3 dn ：两个等势面之间在 P1 点处的法向距离 P1 dl
d 0
对任意 dl
dn dl
ˆr 方向的电势增加率最大 在 P1点处，沿 e
d d dn dl
点电荷 均匀带电球面(体) 无限长的带电线(柱) 无限大的带电面(板)
§1.4.6 电势梯度 (Potential gradient)
一、电场强度和电势的关系
积分关系式
a
b
a
E dl
b 0
微分关系式
E grad
grad， ： 电势梯度
SI单位：伏/米(V/m)
i S E dS qi内
0
L E dl 0
3. 两种计算思路
E dE
(Q )
d
(Q )
i S E dS
4. 强调两句话 注重典型场 注重叠加原理
qi内
0
E dl
P (0) (P)
§ 1.5.2 电偶极子在电场中的电势能
W = W+ + W- = q0+ q0 = q0(+ ) q0 E dl q0 E dl q0 E l
l ，p dl E q0
q0
W p E
dA q0 E dl q0 Edl cos 0 cos 0 π E dl 2
Δr
电场线指向电势降的方向 设 c a ， Δr 指向电势升高的方
ΔA q0 E Δr q0 a q0 c E Δr 0 ， E 与 Δr 反 E 指向电势降落的方向
1
2
3
n
规定：任意两个相邻等 势面之间的电势 差相等。
等势面
电偶极子
电场 等势
+
等势面 电场线
平行板电容器
人心脏的等 电势线，类 似于电偶极 子。
二、等势面与电场线的关系
等势面与电场线处处正交
证：设一试探电荷 q0 沿等势面
E
dl
做一任意元位移 dl ，
电场力所做的元功
使电偶极子转向电场强度的方向。 (2) 非匀强电场
电偶极子不会平动 正、负电荷所受的对偶极子中心的力矩之和：
F F F qE qE 0
电偶极子会平动
M p E
一般而言，同时又会有转动，由于 l 很小，在计算力矩 时，可近似认为正、负电荷所在处的电场相同。 故电偶极子在非匀强电场中既有平动又有转动。
ˆ Ey ˆ ˆ E Exi j Ezk
在电场中各点的电场强度等 于该点电势梯度的负值。
ˆ ˆ ˆ i j k y z x ˆ 梯度 i ˆ ˆ j k 算符 x y z
[例] 求电偶极子电场中任一点的电势和电场强度。 1 pr y 解： P 4 π 0 r 3 2 2 2 r 对任一点 P(x，y)： r x y x x cos +q q 1 2 r x2 y2 x O px l 所以 2 2 32 4 π 0 x y
§1.5.1 电偶极子在电场中所受的力矩 (1) 匀强电场
F F F 0
F
q
F r E
O r
q
M r F r F qr E ( Байду номын сангаас q )r E q( r r ) E ql E p E
p 2 x2 y2 则 Ex x 4 π x 2 y 2 5 2 0 3 pxy Ey y 4 π x 2 y 2 5 2
用矢量式表示为
1 p 3p r E 3 5 r 4 π 0 r r
c
a A
C
0
等势面的疏密反映了场的强弱
设电场中任意两个相邻等势面之 间的电势差为一定的值
Δ
E P n Q
Δ Δ E Δn 或 E Δn
Δn 0
Δ E lim Δn 0 Δn
等势面密的地方场强大
1. 2. 两个基本定理
真空中静电场小结 两个物理量 E