运用直线系过定点巧解几何问题
专题31 直线过定点
专题8 欲证直线过定点，结合特征方程验【题型综述】直线过定点的解题策略一般有以下几种：（1）如果题设条件没有给出这个定点，那么，我们可以这样思考：由于这个定点对符合要求的一些特殊情况必然成立，那么我们根据特殊情况先找到这个定点，再证明这个点与变量无关.(2)直接推理、计算，找出参数之间的关系，并在计算过程中消去部分参数，将直线方程化为点斜式方程，从而得到定点.（3）若直线方程含多个参数并给出或能求出参数满足的方程，观察直线方程特征与参数方程满足的方程的特征，即可找出直线所过顶点坐标，并带入直线方程进行检验.注意到繁难的代数运算是此类问题的特点，设而不求方法、整体思想和消元的思想的运用可有效地简化运算.【典例指引】类型一椭圆中直线过未知顶点问题例1 【2017课标1，理20】已知椭圆C a>b>0），四点P1（1,1），P2（0,1），P3（–1，P4（1C上.（1）求C的方程；（2）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为–1，证明：l过定点.类型二 椭圆中直线过已知定点问题例2. 【2017课标II ，理】设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足2NP NM =。
(1) 求点P 的轨迹方程；(2)设点Q 在直线3x =-上，且1OP PQ ⋅=，证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F 。
【解析】(1)设出点P 的坐标，利用2=NP NM 得到点P 与点,M 坐标之间的关系即可求得轨迹方程为222x y +=。
（2）由题意知()1,0F -。
设()()3,,,Q t P m n -,则()()3,,1,,33OQ t PF m n OQ PF m tn =-=---⋅=+-， ()(),,3,OP m n PQ m t n ==---。
由1=OP PQ 得2231m m tn n --+-=，又由（1）知222m n +=，故330m tn +-=。
直线过定点问题解题技巧
直线过定点问题解题技巧
解决直线过固定点问题的技巧如下：
1. 使用点斜式或截距式确定直线的方程。
如果直线经过给定的点P（x₀，y₀），可以通过点斜式（y-y₀）=m(x-x₀) 或截距式 y=mx+b 来确定直线的方程。
其中，m 是直线的斜率，b 是y 轴截距。
2. 使用直线的斜率和给定点的坐标计算直线的方程。
如果直线经过两个已知点 A(x₁, y₁) 和 B(x₂, y₂)，可以使用斜率公式m = (y₂-y₁)/(x₂-x₁) 来计算直线的斜率。
然后，可以使用点斜式或截距式来确定直线的方程。
3. 使用向量的概念来解决问题。
如果直线 L 经过给定点 P(x₀, y₀)，可以使用向量的概念来表示直线。
例如，在平面直角坐标系中，从原点 O(0,0) 到点 P(x₀, y₀) 的向量是 OP = (x₀,
y₀)。
然后，通过平移这个向量，可以得到直线 L 的方程。
4. 使用几何性质和图形的特征来解决问题。
有时，可以根据已知点和直线的特性来确定直线的方程。
例如，如果直线经过原点 O(0,0)，可以确定直线的截距 b=0，并且直线的方程为
y=mx。
总之，“直线过固定点”问题的解决方法可以根据具体情况和已知条件选择不同的技巧，但无论选择哪种方法，都需要根据已知点的坐标和直线的性质来确定直线的方程。
解析几何—直线过定点问题
解析几何之图像过定点问题是我们高考20题常考类型之一。
主要方向是弄懂：如何确定直线所过的定点；同时掌握几种常考类型。
此类题目题干中定有条件需要转化，结合联立利用韦达定理，得到关于所设直线中涉及的斜率（k ）、截距（b/m ）的式子。
然后可用含k 的式子表示b （m ），只需留有一个变量即可。
以下是常见情况：例题精析①例1（2017·全国高考真题（理））已知椭圆C ：（a>b>0），四点P 1（1,1），P 2（0,1），P 3（–1，），P 4（1，）中恰有三点在椭圆C 上. （Ⅰ）求C 的方程；（Ⅱ）设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点.若直线P 2A 与直2222=1x y a b3232线P 2B 的斜率的和为–1，证明：l 过定点.【答案】(1) .(2)证明见解析.【解析】（1）由于，两点关于y 轴对称，故由题设知C 经过，两点.又由知，C 不经过点P 1，所以点P 2在C 上. 因此，解得. 故C 的方程为.（2）设直线P 2A 与直线P 2B 的斜率分别为k 1，k 2，如果l 与x 轴垂直，设l ：x =t ，由题设知，且，可得A ，B的坐标分别为（t ，），（t ，）.则，得，不符合题设. 从而可设l ：（）.将代入得由题设可知.设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则x 1+x 2=，x 1x 2=.而2214x y +=3P 4P 3P 4P 222211134a b a b +>+222111314b a b ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩2241a b ⎧=⎨=⎩2214x y +=0t ≠2t<22-1222122k k t t+=-=-2t =y kx m =+1m ≠y kx m =+2214xy +=()222418440kx kmx m +++-=()22=16410k m ∆-+>2841km k -+224441m k -+12121211y y k k x x --+=+121211kx m kx m x x +-+-=+.由题设，故.即.解得. 当且仅当时，，欲使l ：，即， 所以l 过定点（2，）例题精析②例2. 已知抛物线2:4C y x =，点M (m , 0)在x 轴的正半轴上，过M 点的直线l 与抛物线 C 相交于A ，B 两点，O 为坐标原点.(1) 若m =1，且直线l 的斜率为1，求以AB 为直径的圆的方程； (2) 是否存在定点M ，使得不论直线:l x ky m =+绕点M 如何转动，2211AMBM+恒为定值？()()12121221kx x m x x x x +-+=121k k +=-()()()12122110k x x m x x ++-+=()()22244821104141m kmk m k k --+⋅+-⋅=++12m k +=-1m >-0∆>12m y x m +=-+()1122m y x ++=--1-【解析】：（I ）由题意得M （1，0），直线l 的方程为y =x ﹣1与抛物线方程联立，利用韦达定理，可得圆心坐标与圆的半径，从而可得圆的方程；（II ）若存在这样的点M ，使得2211AMBM+为定值，直线l ：x =ky +m与抛物线方程联立，计算|AM |，|BM |，利用2211AMBM+恒为定值，可求点M 的坐标．答案:（1）()()223216x y -+-=. (2)存在定点M (2, 0).解析：（1）当m =1时，M (1，0)，此时，点M 为抛物线C 的焦点，直线l 的方程为y =x -1，设()()1122,,A x y B x y ，，联立24{ 1y x y x ==-，消去y 得， 2610x x -+=，∴126x x +=， 121224y y x x +=+-=，∴圆心坐标为(3, 2).又1228AB x x =++=，∴圆的半径为4，∴圆的方程为()()223216x y -+-=.(2)由题意可设直线l 的方程为x ky m =+，则直线l 的方程与抛物线2:4C y x =联立，消去x 得： 2440y ky m --=，则124y y m =-， 124y y k +=，()()22222211221111AMBMx m y x m y +=+-+-+()()()22122222222121211111y y k y k y k y y +=+=+++ ()()()()222121222222221221682111621y y y y k m k mky y k m m k +-++===+++ 对任意k R ∈恒为定值，于是m =2，此时221114AMBM+=. ∴存在定点M (2, 0)，满足题意.例题精析③例3. 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ， 2F ， B为椭圆的上顶点， 12BF F ∆， A 为椭圆的右顶点.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若直线:l y kx m =+与椭圆C 相交于,M N 两点（,M N 不是左、右顶点），且满足MA NA ⊥，试问：直线l 是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标，否则说明理由.【解析】：（Ⅰ）由已知()122{{12c 4BF F b b c S ∆==⇒=== ∴2224a b c =+=．∴椭圆的标准方程为22143x y +=．（Ⅱ）设()11M x y ，， ()22N x y ，，联立22{ 1.43y kx m x y =++=，得()()222348430k x mkx m +++-=，()()22222264163430340m k k m k m ∆=-+->+->，即()1222122834{ 43·.34mkx x km x x k +=-+-=+，又()()()()22221212121223434m k y y kx m kx m k x x mk x x m k -=++=+++=+，因为椭圆的右顶点为()20A ，， ∴1MA NA k k =-，即1212·122y yx x =---，∴()121212240y y x x x x +-++=， ∴()()22222234431640343434m k mmkk k k --+++=+++，∴2271640m mk k ++=．解得： 12m k =-， 227k m =-，且均满足22340k m +->，当12m k =-时， l 的方程为()2y k x =-，直线过定点()20，，与已知矛盾； 当227k m =-时， l 的方程为27y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，直线过定点207⎛⎫ ⎪⎝⎭，． 所以，直线l 过定点，定点坐标为207⎛⎫ ⎪⎝⎭，。
直线恒过定点问题解题原理是什么
直线恒过定点问题解题原理是什么直线恒过定点问题是一类在几何学中常见的问题，该问题要求找出一个直线，使得这条直线上的任意一点都满足某种特定的条件。
解决该问题的原理通常基于数学推理和几何性质的分析，下面将介绍解决直线恒过定点问题的一般原理。
1. 确定直线方程首先，我们需要确定直线的方程。
在直线方程的求解中，我们可以利用直线的特征点来进行求解。
假设已知直线过一点A(x₁, y₁)，并且直线的斜率为k，则直线方程可以表示为y - y₁ = k(x - x₁)。
我们可以根据特定的条件来求解直线方程中的未知参数。
2. 确定条件接下来，我们需要确定直线上的条件。
直线恒过定点问题通常给定了特定点的坐标或者特定点与直线之间的关系，我们需要利用这些条件来求解出直线方程中的参数。
例如，如果问题给定了直线上的某个点B(x₂, y₂)，我们可以将点B代入直线方程，然后解方程组来求解直线方程中的参数。
3. 解方程组通过将给定的点代入直线方程，可以得到一个方程组。
例如，假设我们已知点A(1, 2)和点B(3, 4)，并且需要找到一条过点A和点B的直线。
将点A代入直线方程得到：y - 2 = k(x - 1) —— (1) 将点B代入直线方程得到：y - 4 = k(x - 3) —— (2)解方程组(1)和(2)，可以得到直线方程中的参数k。
因此，直线恒过点A和点B的方程为：y - 2 = 1/2(x - 1)。
4. 求解定点问题一旦我们得到了直线方程，我们就可以使用这个方程来判断任意一点是否在直线上。
对于直线恒过定点问题，我们可以通过判断给定的点是否满足直线方程，来确定该点是否在直线上。
在上述的例子中，我们可以将给定的点代入直线方程进行验证。
例如，假设我们需要验证点C(2, 3)是否在直线上。
将点C代入直线方程得到：3 - 2 = 1/2(2 - 1)，等式成立，说明点C在直线上。
5. 解题总结综上所述，解决直线恒过定点问题的原理可以总结为以下几个步骤：•确定直线方程，利用直线的特征点求解未知参数；•根据题目给定的条件确定直线上的条件；•将给定的点代入直线方程并解方程组，求解出直线方程中的参数；•利用得到的直线方程判断任意一点是否在直线上。
直线过定点问题
直线过定点问题解题技巧：证明动直线在一定的条件下过定点是解析几何中的一类重要题型，这类 问题解题一般有两种解法.法 1：设直线，求解参数，一般的解题步骤为:(1)设出直线的方程 y = kx + b 或 x = my + t ;(2)通过题干所给的已知条件，进行正确的运算，找到k 和b 、m 和t 的关系，或者解 出b ,t 的值;(3)根据(2)中得出的结果，找出直线过的定点法 2：求两点，猜定点，证向量共线.一般的解题步骤为:(1)通过题于条件，求出直线上的两个点 A , B 的坐标(含参)；(2)取两个具体的参数值，求出对应的直线 AB ，并求出它们的交点 P ，该点即为直线过的定点；(3)证明 PA 与 PB 共线，得出直线 AB 过定点 P .注:上面的两个解法中，解法 2 的计算量通常要大一些，故一般首选解法 1.当解法 1 失效或处理起来较为复杂时再考虑解法 2.典型例题例 1、已知椭圆 C : 12222=+b y a x （a >b >0）的半焦距为c 离心率为21 ，左顶点 A 到直线x = ca 2的距离为6 ，点 P ,Q 是椭圆上的两个动点. （1）求椭圆C 的方程;（2）若直线 AP ⊥ AQ ，求证:直线 PQ 过定点 R ，并求出 R 点的坐标例 2、已知一动圆经过点 M (2,0)，且在 y 轴上截得的弦长为4 ，设该动圆圆心的轨迹为曲线C .（1）求曲线C 的方程;（2）过点 N (1,0) 任意作两条互相垂直的直线 l 1 ,l 2 ，分别交曲线C 于不同的两点A , B 和 D , E ，设线段 AB , DE 的中点分别为 P ,Q①求证:直线 PQ 过定点 R ，并求出定点 R 的坐标; ②求 ｜PQ ｜的最小值例 3、椭圆 C : 12222=+by a x （a >b >0）的上顶点为 B ，右焦点为 F ，点 B , F 都在直线3x + y - 3= 0 上.（1）求椭圆C 的标准方程;（2）M , N 为椭圆C 上的两点，且直线 BM , BN 的斜率之积为 41. 证明:直线MN 过定点，并求定点坐标.专题练习1、设椭圆E : 12222=+by a x （a >b >0）的右焦点到直线 x - y + 22 = 0的距离为3，且过点 (-1,-26） . （1）求 E 的方程;（2）设椭圆 E 的左顶点是 A ，直线l : x - my - t = 0 与椭圆 E 交于不同的两点M , N (均不与 A 重合)，且以MN 为直径的圆过点 A .试判断直线l 是否过定点，若是，求出定点坐标；若否，说明理由.2、抛物线C : y 2= 2 px ( p > 0) 上一点 M (1, y 0 )( y 0 > 0)满足｜MF ｜ = 2 ，其中 F 为抛物线的焦点. （1）求抛物线C 的方程 （2）设直线MA 和MB 分别与抛物线C 交于不同于M 点的 A , B 两点，若MA ⊥ MB ，证明:直线 AB 过定点，并求此定点的坐标 .3、已知直线的方程为 y = x + 2 ，点 P 是抛物线 y 2= 4x 上距离直线l 最近的点，点 A 是抛物线上异于点 P 的点，直线 AP 与直线l 交于点Q ，过点Q 与 x 轴平行的直线与抛物线交于点 B . （1）求P 点的坐标; （2）证明:直线 A B 恒过定点 ，并求这个定点坐标。
巧用直线系方程，妙解几何问题
巧用直线系方程，妙解几何问题作者：苗馨予
来源：《中学生数理化·自主招生》2020年第02期
帶有参数的直线方程我们可称之为直线系，巧用直线系的相关知识解决直线与圆有关的试题，有时会使问题得到简化，起到事半功倍的效果。
下面我们就举例来说明。
以上三道例题说明了直线系在解决直线与圆的问题时候的作用，我们可以发现不论是平行直线系，还是定点直线系，还是垂直直线系，都能在一定程度上简化解题的思路或者是过程，其作用不容小觑。
作者单位：海南师范大学附属中学高三（12）班。
直线过定点问题的解题策略
、
与 线 段 Ｔ 的交 点 ， 问 ： 否 存 在 ａ 使 Ｂ 试 是 ，
得 ０， Ｓ三 点 共线 若 存 在 ，求 出 ｎ的 Ｍ，
二 、 利 用 斜 率 相 等 或 向量 共 线 的有
关知 识 求 解 Ｐ ｎ Ａ Ｂ Ｃ 若 ｋ￣ｋ。 ￣ － Ａ， ， ， Ａ 或 一 ＝
Ｃ在抛物线的准线上 ， Ｂ ∥ 轴， 且 Ｃ
求证 ： 线 Ａ 直 Ｃ经 过 坐标 原 点 ０ 。 分 析 ：若 能 利 用 向量 知 识 得 到 ＝
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ｆ２ ｖ ｘ — ＋２ ：ｌ
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，
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趋 势 ，预 计 在 今 后 相 当 长 的 一 段 时 间 不 会 有 什 么 重 大 变 化 。 笔 者 在 多 年 的 高 三
教 学 中发 现 ，学 生 在 证 明直 线过 定 点 问 题 中 ， 往 由于 找 不 到 定 点 ， 解 题 过 程 往 使
（ 解 析 ： １ｓ （ ， 一 ／ － ）或 ｓ １ ２ （） １ ２ － Ｘ￣
一
，
系 ，而 新 课 标 则 突 出 了 对 向 量 与 解 析 几
直线过定点的5种特优解法
直线过定点的5种特优解法【摘要】圆锥曲线中直线过定点的问题是高考常考的一种题型，本文以2020年高考数学全国Ⅰ卷理科第20题为例，列举出这道题中直线过定点问题的5种解法，运用多种数学思维方法解决同一个题，培养一题多解、归纳提炼解题思想方法的能力，提高数学抽象、数学运算和逻辑推理等数学核心素养.关键词：直线过定点；圆锥曲线；一题多解已知分别为椭圆的左、右顶点，为的上顶点，，为直线上的动点，与的另一交点为，与的另一交点为.（1）求的方程；（2）证明：直线过定点.解：（1）过程略：易求（2）法（一）：斜率比值型：设.若，设直线的方程为，由题意可知，将代入得所以，，由此可得，易求，即，将直线方程代入得，提取公因式，该等式一定可化为.其中，即，故直线过定点．法（二）：曲线系求解（找到四个点，他们为两个二次曲线的交点，找出另一个过这个四个点的二次曲线，构造等式．）设点，设直线的方程为，由题意可知.由于直线的方程为，即.直线的方程为，所以.过四点的曲线系方程可设为：.直线的方程为，直线的方程为，即也过四点，所以，用待定系数法求解得，故直线恒过点法（三）：截距式：设，为不同两点，且不与坐标轴垂直，则直线的横截距，纵截距解：设，易知即：由椭圆第三定义知得由，即，故恒过定点；法（四）：用椭圆参数方程求解设点，点，则，，即，设过定点为，由，故直线恒过点法（五）：极点、极线求解（若极点共线，则极线共点，反之亦然）设点，则点对应的极线方程为，因点对应的极线必过与的交点，即必过极线与的交点，故直线恒过点总结归纳：求直线过定点的常见模型：直线与曲线交于两点，为定点；满足三列三种情形之一：；；斜率比值型。
直线方程的恒过定点问题解析
直线方程的恒过定点问题解析引言直线方程是数学中的重要概念，在几何学和代数学中都有广泛的应用。
直线方程的恒过定点问题是研究直线方程在平面上是否恒过一个给定的点。
本文将对直线方程的恒过定点问题进行解析，包括问题的定义、解决方法和实际应用。
问题定义直线方程的恒过定点问题可以通过以下方式定义：给定一个平面上的直线，判断该直线是否经过一个给定的点。
如果直线恒过该点，则称直线方程满足恒过定点条件。
该问题在几何学中有着重要的应用，例如判定一个点是否在一条直线上。
解决方法直线方程的恒过定点问题可以通过以下两种方法解决：代数法和几何法。
代数法代数法是通过代数表达式来解决直线方程的恒过定点问题。
通过将直线方程表达式与给定点的坐标代入，可以判断直线方程是否满足恒过定点条件。
以直线方程y=kx+b和定点P(x0,y0)为例，可以将点P的坐标代入直线方程，得到等式y0=kx0+b。
如果等式成立，则表示直线方程满足恒过点P的条件。
几何法几何法是通过几何性质来解决直线方程的恒过定点问题。
根据直线的斜率和截距的定义，可以判断直线是否经过给定的点。
以直线方程y=kx+b和定点P(x0,y0)为例，可以求出直线的斜率k。
如果点P的坐标满足等式y0=kx0+b，则表示直线经过点P。
实际应用直线方程的恒过定点问题在现实生活中有着广泛的应用。
以下是一些实际应用示例：建筑设计在建筑设计中，经常需要判定某些结构是否恒过一个定点。
例如，要确定一条梁是否恒过某个支撑点，可以将梁的方程与支撑点的坐标代入，从而判断是否满足恒过定点条件。
导航系统在导航系统中，通常需要确定一条路径是否恒过起点和终点。
通过将路径的方程与起点和终点的坐标代入，可以判断路径是否满足恒过定点条件，从而提供准确的导航指引。
地理测量在地理测量中，常常需要确定一条直线是否经过某个标记点。
通过将直线的方程与标记点的坐标代入，可以判断直线是否满足恒过定点条件，从而实现精确的地理测量。
结论直线方程的恒过定点问题是数学中的一个重要问题，在几何学和代数学中有广泛的应用。
【高考数学】高考解析几何解答题题型分析及解答策略(学生).doc
高考解析几何解答题题型分析及解答策略。
©归纳・・1.定点问题(1)解析几何中直线过定点或曲线过定点问题是指不论直线或曲线中的参数如何变化，直线或曲线都经过某一个定点.(2)定点问题是在变化中所表现出来的不变的点，那么就可以用变量表示问题中的直线方程、数量积、比例关系等，这些直线方程、数量积、比例关系不受变量所影响的某个点，就是要求的定点.2.定值问题解析几何中的定值问题是指某些几何量(线段的长度、图形的面积、角的度数、直线的斜率等)的大小或某些代数表达式的值等和题目中的参数无关，不随参数的变化而变化，而始终是一个确定的值.3.最值问题圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：一是利用几何方法, 即利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是利用代数方法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解.4.圆锥曲线中的范围问题(1)解决这类问题的基本思想是建立目标函数和不等关系.(2)建立目标函数的关键是选用一个合适的变量，其原则是这个变量能够表达要解决的问题；建立不等关系的关键是运用圆锥曲线的几何特征、判别式法或基本不等式等灵活处理.5.圆锥曲线中的存在性问题(1)所谓存在性问题，就是判断满足某个(某些)条件的点、直线、曲线(或参数)等几何元素是否存在的问题.(2)这类问题通常以开放性的设问方式给出，若存在符合条件的几何元素或参数值，就求出这些几何元素或参数值；若不存在，则要求说明理由.6.圆锥曲线中的证明问题圆锥曲线中的证明问题，主要有两类：一类是证明点、直线、曲线等几何元素中的位置关系，如：某点在某直线上、某直线经过某个点、某两条直线平行或垂直等；另一类是证明直线与圆锥曲线中的一些数量关系(相等或不等).7.圆锥曲线与三角、向量的交汇问题8.圆锥曲线与数列、不等式的交汇问题9.圆锥曲线与函数、导数的交汇问题.(1)求椭圆E的方程；(2)过椭圆E的左顶点A作两条互相垂直的直线分别与椭圆E交.于(不同于点A的)M, N两点，试判断直线与x轴的交点是否为定点，若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由.［例2］.已知椭圆C：务+相=1(泓＞0)的离心率e=斗,左、右焦点分别为Fi，F2,点F(2, 茶)，点％在线段PF1的中垂线上.(1)求椭圆。
解析几何中的定值与定点问题-玩转压轴题(解析版)
专题5．4 解析几何中的定值与定点问题一．方法综述解析几何中的定值与定点问题近年高考中的热点问题，其解决思路下；（1）定值问题：解决这类问题时，要运用辩证的观点，在动点的“变”中寻求定值的“不变”性；一种思路是进行一般计算推理求出其结果，选定一个适合该题设的参变量，用题中已知量和参变量表示题中所涉及的定义，方程，几何性质，再用韦达定理，点差法等导出所求定值关系所需要的表达式，并将其代入定值关系式，化简整理求出结果；另一种思路是通过考查极端位置，探索出“定值”是多少，用特殊探索法（特殊值、特殊位置、特殊图形等）先确定出定值，从而找到解决问题的突破口，将该问题涉及的几何形式转化为代数形式或三角形式，证明该式是恒定的。
（2）定点问题：定点问题是动直线（或曲线）恒过某一定点的问题；一般方法是先将动直线（或曲线）用参数表示出来，再分析判断出其所过的定点．定点问题的难点是动直线（或曲线）的表示，一旦表示出来，其所过的定点就一目了然了．所以动直线（或曲线）中，参数的选择就至关重要．解题的关健在于寻找题中用来联系已知量，未知量的垂直关系、中点关系、方程、不等式，然后将已知量，未知量代入上述关系，通过整理，变形转化为过定点的直线系、曲线系来解决。
二．解题策略类型一定值问题【例1】（2020•青浦区一模）过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点作两条相互垂直的弦AB和CD，则+的值为（）A．B．C．2p D．【答案】D【解析】抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点坐标为（），所以设经过焦点直线AB的方程为y＝k（x﹣），所以，整理得，设点A（x1，y1），B（x2，y2），所以，所以，同理设经过焦点直线CD的方程为y＝﹣（x﹣），所以，整理得，所以：|CD|＝p+（p+2k2p），所以，则则+＝．故选：D．【点评】求定值问题常见的方法有两种：①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.【举一反三】1.（2020•华阴市模拟）已知F是抛物线y2＝4x的焦点，过点F的直线与抛物线交于不同的两点A，D，与圆（x﹣1）2+y2＝1交于不同的两点B，C（如图），则|AB|•|CD|的值是（）A．2B．2C．1D．【答案】C【解析】设A（x1，y1），D（x2，y2），抛物线方程为y2＝4x的焦点为F（1，0），准线方程为x＝﹣1，圆（x﹣1）2+y2＝1的圆心为F（1，0），圆心与焦点重合，半径为1，又由直线过抛物线的焦点F，则|AB|＝x1+1﹣1＝x1，|CD|＝x2+1﹣1＝x2，即有|AB|•|CD|＝x1x2，设直线方程为x＝my+1，代入抛物线方程y2＝4x，可得y2﹣4my﹣4＝0，则y1y2＝﹣4，x1x2＝＝1，故选：C．2．（2020温州高三月考）如图，P为椭圆上的一动点，过点P作椭圆的两条切线P A，PB，斜率分别为k1，k2．若k1•k2为定值，则λ＝（）A．B．C．D．【答案】C【解析】取P（a，0），设切线方程为：y＝k（x﹣a），代入椭圆椭圆方程可得：（b2+a2k2）x2﹣2a3k2x+a4k2﹣a2b2λ＝0，令△＝4a6k4﹣4（b2+a2k2）（a4k2﹣a2b2λ）＝0，化为：（a2﹣a2λ）k2＝b2λ，∴k1•k2＝，取P（0，b），设切线方程为：y＝kx+b，代入椭圆椭圆方程可得：（b2+a2k2）x2﹣2kba2x+a2b2（1﹣λ）＝0，令△＝4k2b2a4﹣4（b2+a2k2）a2b2（1﹣λ）＝0，化为：λa2k2＝b2（1﹣λ），∴k1•k2＝，又k1•k2为定值，∴＝，解得λ＝．故选：C．3．（2020•公安县高三模拟）已知椭圆的离心率为，三角形ABC的三个顶点都在椭圆上，设它的三条边AB、BC、AC的中点分别为D、E、F，且三条边所在直线的斜率分别为k1，k2，k3（k1k2k3≠0）．若直线OD、OE、OF的斜率之和为﹣1（O为坐标原点），则＝．【答案】2【解析】∵椭圆的离心率为，∴，则，得．又三角形ABC的三个顶点都在椭圆上，三条边AB、BC、AC的中点分别为D、E、F，三条边所在直线的斜率分别为k1、k2，k3，且k1、k2，k3均不为0．O为坐标原点，直线OD、OE、OF的斜率之和为﹣1，设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），则，，两式作差得，，则，即，同理可得，．∴＝＝﹣2×（﹣1）＝2．类型二定点问题【例2】（2020•渝中区高三模拟）已知抛物线C：x2＝4y的焦点为F，A是抛物线C上异于坐标原点的任意一点，过点A的直线l交y轴的正半轴于点B，且A，B同在一个以F为圆心的圆上，另有直线l′∥l，且l′与抛物线C相切于点D，则直线AD经过的定点的坐标是（）A．（0，1）B．（0，2）C．（1，0）D．（2，0）【答案】A【解析】设A（m，m2），B（0，n），∵抛物线C：x2＝4y的焦点为F（0，1）又A，B同在一个以F为圆心的圆上，∴|BF|＝|AF|∴n﹣1＝＝m2+1∴n＝m2+2∴直线l的斜率k＝＝﹣∵直线l′∥l，∴直线l′的斜率为k，设点D（a，a2），∵y＝x2，∴y′＝x，∴k＝a，∴a＝﹣，∴a＝﹣∴直线AD的斜率为＝＝＝，∴直线AD的方程为y﹣m2＝（x﹣m），整理可得y＝x+1，故直线AD经过的定点的坐标是（0，1），故选：A．【点评】圆锥曲线中定点问题的两种解法(1)引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点．(2)特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关． 【举一反三】1．（2020·全国高考模拟（理））已知抛物线28x y =，过点(),4P b 作该抛物线的切线PA ，PB ，切点为A ，B ，若直线AB 恒过定点，则该定点为（ ）A ．()4,0B ．()3,2C ．()0,4-D ．()4,1【答案】C【解析】设A B ，的坐标为()11x y ，，()22x y ，28x y =，4x y '=， PA PB ，的方程为()1114x y y x x -=-，()2224xy y x x -=- 由22118x y =，22228x y =，可得114x y x y =-，224x y x y =-切线PA PB ，都过点()4P b ，1144x b y ∴=⨯-，2244xb y =⨯-， 故可知过A ，B 两点的直线方程为44bx y =-， 当0x =时，4y =∴直线AB 恒过定点()04-，，故选C2．（2020·重庆高考模拟（理））已知圆22:1C x y +=，点P 为直线142x y+=上一动点，过点P 向圆C 引两条切线,,,PA PB A B 为切点，则直线AB 经过定点.（ ）A ．11,24⎛⎫⎪⎝⎭ B ．11,42⎛⎫⎪⎝⎭ C．⎫⎪⎪⎝⎭D．⎛ ⎝⎭ 【答案】B【解析】设()42,,,P m m PA PB -是圆C 的切线，,,CA PA CB PB AB ∴⊥⊥∴是圆C 与以PC 为直径的两圆的公共弦，可得以PC 为直径的圆的方程为()()22222224m m x m y m ⎛⎫⎡⎤--+-=-+ ⎪⎣⎦⎝⎭， ① 又221x y += ， ②①-②得():221AB m x my -+=， 可得11,42⎛⎫⎪⎝⎭满足上式，即AB 过定点11,42⎛⎫⎪⎝⎭，故选B. 3．（2020大理一模）已知椭圆221164x y +=的左顶点为A ，过A 作两条弦AM 、AN 分别交椭圆于M 、N 两点，直线AM 、AN 的斜率记为12,k k ，满足122k k ⋅=-，则直线MN 经过的定点为___________． 【答案】28,09T ⎛⎫-⎪⎝⎭【解析】 由()2221211141616414=+4M x y k x k y k x ⎧+=-⎪⇒=⎨+⎪⎩， 同理222122214164641416N k k x k k --==++． 121814M k y k =+，1211616Nk y k -=+, 取11k =，由对称性可知，直线MN 经过x 轴上的定点28,09T ⎛⎫-⎪⎝⎭.【归纳总结】在平面直角坐标系xOy 中，过椭圆()222210x y a b a b+=>>上一定点A 作两条弦AM 、AN 分别交椭圆于M 、N 两点，直线AM 、AN 的斜率记为12,k k ，当12k k ⋅为非零常数时，直线MN 经过定点.三．强化训练1．（2020·黑龙江高三模拟）直线l 与抛物线x y C 2:2=交于B A ,两点，O 为坐标原点，若直线OB OA ,的斜率1k ，2k 满足3221=k k ，则l 的横截距（ ） A ．为定值3- B ．为定值3 C ．为定值1- D ．不是定值 【答案】A【解析】设直线l 的方程为y kx b =+，由题意得22y kx b y x=+⎧⎨=⎩，则得()222220k x kb x b +-+=； 设A ，B 两点的坐标为()11,A x y ，()22,B x y ，则得12222kb x x k-+=，2122b x x k =； 又因为3221=k k ，即121223y y x x =，所以()2222222121222221222222222223k x x kb x x b kb k b k k b k b k k b k k k k x x b b b b +++--+-=++=+=== ，则得3b k =，直线l 的方程为()33y kx b kx k k x =+=+=+； 当0y =时，3x =-，所以直线l 的横截距为定值3-.故选A.2．（2020·辽宁省朝阳市第二高级中学高二期中（文））如果直线7ax by +=（0a >，0b >） 和函数()1log m f x x =+（0m >，1m ≠）的图象恒过同一个定点，且该定点始终落在圆22(1)(1)25x b y a +-++-=的内部或圆上，那么ba的取值范围是（ ）A ．3443⎡⎤⋅⎢⎥⎣⎦B ．30,4⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．340,,43⎛⎤⎡⎫⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭【答案】A【解析】根据指数函数的性质，可得函数()1log ,(0,1)m f x x m m >≠=+，恒过定点(1,1). 将点(1,1)代入7ax by +=，可得7a b +=.由于(1,1)始终落在所给圆的内部或圆上，所以2225a b +.又由227,25,a b a b +=⎧⎨+=⎩解得34a b =⎧⎨=⎩或43a b =⎧⎨=⎩，所以点(,)a b 在以(3,4)和(4,3)为端点的线段上运动， 当取点(3,4)时，43b a =，取点(4,3)时，34b a，所以b a 的取值范围是34,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦.3．（2020·全国高三模拟）过x 轴上的点(),0P a 的直线与抛物线28y x =交于,A B 两点，若2211||||AP BP +为定值，则实数a 的值为（ ）A.1B.2 C ．3 D ．4 【答案】D【解析】设直线AB 的方程为x my a =+，代入28y x =，得2880y my a --=， 设()()1122,,,A x y B x y ，则12128,8y y m y y a +=⋅=-.()()()2222222111111AP x a y my y m y =-+=+=+，同理，()22221BP m y =+，∴()21212222222221212211111111y y y y m y y m y y AP BP+-⎛⎫+=+= ⋅⎪++⎝⎭ ()()22222264284164114m a m am a a m -⨯-+=+⋅=+，∵2211||||AP BP +为定值， 是与m 无关的常数，∴4a =．故选D ．4．（2020•越城区高三期末）已知A 、B 是抛物线y 2＝4x 上异于原点O 的两点，则“•＝0”是“直线AB 恒过定点（4，0）”的（ ） A ．充分非必要条件 B ．充要条件C ．必要非充分条件D ．非充分非必要条件【答案】B【解析】根据题意，A 、B 是抛物线y 2＝4x 上异于原点O 的两点，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， 若“•＝0”，则设直线AB 方程为x ＝my +b ，将直线AB 方程代入抛物线方程y 2＝4x ，可得y 2﹣4my ﹣4b ＝0，则y 1+y 2＝4m ，y 1y 2＝﹣4b ， 若•＝0，则•＝x 1x 2+y 1y 2＝（）+y 1y 2＝+y 1y 2＝b 2﹣4b ＝0，解可得：b ＝4或b ＝0，又由b ≠0，则b ＝4，则直线AB 的方程为x ＝my +4，即my ＝x ﹣4，则直线AB 恒过定点（4，0）， “•＝0”是“直线AB 恒过定点（4，0）”的充分条件；反之：若直线AB 恒过定点（4，0），设直线AB 的方程为x ＝my +4，将直线AB 方程代入抛物线方程y 2＝4x ，可得y 2﹣4my ﹣16＝0，则有y 1y 2＝﹣16， 此时•＝x 1x 2+y 1y 2＝（）+y 1y 2＝+y 1y 2＝0，故“•＝0”是“直线AB 恒过定点（4，0）”的必要条件；综合可得：“•＝0”是“直线AB 恒过定点（4，0）”的充要条件；故选：B ．5．（2020·湖北高考模拟）设12(,0),(,0)F c F c -是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左右焦点，点P 是C 右支上异于顶点的任意一点，PQ 是12F PF ∠的角平分线，过点1F 作PQ 的垂线，垂足为Q ，O 为坐标原点，则||OQ 的长为（ ） A ．定值a B ．定值bC ．定值cD ．不确定，随P 点位置变化而变化【答案】A【解析】依题意如图，延长F 1Q ，交PF 2于点T ， ∵PQ 是∠F 1PF 2的角分线．TF 1是PQ 的垂线， ∴PQ 是TF 1的中垂线，∴|PF 1|＝|PT |，∵P 为双曲线2222x y a b-=1上一点，∴|PF 1|﹣|PF 2|＝2a ， ∴|TF 2|＝2a ，在三角形F 1F 2T 中，QO 是中位线， ∴|OQ |＝a ． 故选：A ．6．（2020·浙江省杭州第二中学高三）设点(),P x y 是圆22:2210C x y x y ++-+=上任意一点，若212x y x y a -+++--为定值，则a 的值可能为（ ）A ．3-B ．4-C ．5-D ．6-【答案】D【解析】圆C 标准方程为22(1)(1)1x y ++-=，圆心为(1,1)C -，半径为1r =，直线:20l x y a --=2115a---=，35a =-当35a =-+C 在直线l 上方，20x y a --≤，当=--35a C 在直线l 下方，20x y a --≥，若212x y x y a -+++--为定值，则20x y a --≥，因此35a ≤-D 满足． 故选：D.7．（2020·湖北高考模拟（理））已知圆C ： 224x y +=，点P 为直线290x y +-=上一动点，过点P 向圆C 引两条切线,PA PB ， ,A B 为切点，则直线AB 经过定点（ ）A ．48,99⎛⎫⎪⎝⎭ B ．24,99⎛⎫⎪⎝⎭C ．()2,0D ．()9,0 【答案】A【解析】设()()()112200,,,,,,A x y B x y P x y 则1122:4;:4;PA x x y y PB x x y y +=+= 即101020204;4;x x y y x x y y +=+=因此A 、B 在直线004x x y y +=上，直线AB 方程为004x x y y +=， 又00290x y +-=，所以()()0009242940y x y y y y x x -+=⇒-+-= 即8420,940,99y x x y x -=-=⇒==，直线AB 经过定点48,99⎛⎫⎪⎝⎭，选A. 8．（2020·全国高三期末（理））已知圆O ：2214x y +=，直线l ：y =kx +b (k ≠0)，l 和圆O 交于E ，F 两点，以Ox 为始边，逆时针旋转到OE ，OF 为终边的最小正角分别为α，β，给出如下3个命题： ①当k 为常数，b 为变数时，sin (α＋β)是定值； ②当k 为变数，b 为变数时，sin (α＋β)是定值； ③当k 为变数，b 为常数时，sin (α＋β)是定值． 其中正确命题的个数是( ) A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】B【解析】设点11()E x y ，，22()F x y ，，由三角函数的定义得111cos 21sin 2x y αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，，221cos 21sin 2x y ββ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，， 将直线EF 的方程与的方程联立2214y kx b x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，， 得2221(1)204k x kbx b +++-=， 由韦达定理得122212221141kb x x k b x x k ⎧+=-⎪+⎪⎨-⎪=⎪+⎩，，所以2112sin()sin cos cos sin 44x y x y αβαβαβ+=+=+=222112121222188244()4()84()11k b kb k x kx b x kx b kx x b x x k k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭+++=++==-++，因此，当k 是常数时，sin()αβ+是常数，故选B (特值法可秒杀)9．（2020·浙江高三期末）斜率为k 的直线l 过抛物线22(0)y px p =>焦点F ，交抛物线于,A B 两点，点00(,)P x y 为AB 中点，作OQ AB ⊥，垂足为Q ，则下列结论中不正确的是（ ）A ．0ky 为定值B ．OA OB ⋅为定值C ．点P 的轨迹为圆的一部分D ．点Q 的轨迹是圆的一部分【答案】C【解析】设抛物线22(0)y px p =>上,A B 两点坐标分别为()()1122,,,A x y B x y ，则2211222,2,y px y px ==两式做差得，121212()()2()y y y y p x x +-=-，整理得1201212022,,2.y y p pk ky p x x y y y -=∴=∴=-+为定值，所以A 正确.因为焦点(,0)2p F ，所以直线AB 方程为()2p y k x =-.由2()22p y k x y px⎧=-⎪⎨⎪=⎩得2222244(2)0k x p k x p k -++=，则22121222(2),,4p k p x x x x k ++== 222212121212()()[()]2224p p p p y y k x x k x x x x p =--=-++=-.2121234OA OB x x y y p ∴⋅=+=-为定值.故B 正确. ,OQ AB ⊥∴点Q 的轨迹是以OF 为直径的圆的一部分，故D 正确.本题选择C 选项.10．（2020·安徽高三月考（理））已知抛物线2:8C y x =，圆22:(2)4F x y -+=，直线:(2)(0)l y k x k =-≠自上而下顺次与上述两曲线交于1234,,,M M M M 四点，则下列各式结果为定值的是（ ） A ．1324M M M M ⋅ B ．14FM FM ⋅ C ．1234M M M M ⋅ D ．112FM M M ⋅【答案】C 【解析】由()228y k x y x⎧=-⎨=⎩消去y 整理得2222(48)40(0)k x k x k k -++=≠，设111422(,),(,)M x y M x y ，则21212248,4k x x x x k++==． 过点14,M M 分别作直线:2l x '=-的垂线，垂足分别为,A B ， 则11422,2M F x M F x =+=+．对于A ，13241412(2)(2)(4)(4)M M M M M F M F x x ⋅=++=++12124()16x x x x =+++，不为定值，故A 不正确．对于B ，14121212(2)(2)2()4FM FM x x x x x x ⋅=++=+++，不为定值，故B 不正确． 对于C ，12341412(2)(2)4M M M M M F M F x x ⋅=--==，为定值，故C 正确．对于D ，1121111(2)(2)FM M M M F M F x x ⋅=⋅-=+，不为定值，故D 不正确．选C ．11．（2020·南昌县莲塘第一中学高三月考（理））在平面直角坐标系中，两点()()111222,,,P x y P x y 间的“L -距离”定义为121212|||||.PP x x y y =-+-‖则平面内与x 轴上两个不同的定点12,F F 的“L -距离”之和等于定值（大于12|F F ）的点的轨迹可以是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】设12(,0),(,0)F c F c -，再设动点(,)M x y ，动点到定点12,F F 的“L距离”之和等于(20)m m c >>，由题意可得：x c y x c y m ++-++=，即2x c x c y m -+++=， 当,0x c y <-≥时，方程化为220x y m -+=； 当,0x c y <-<时，方程化为220x y m ++=；当,0c x c y -≤<≥时，方程化为2my c =-； 当,0c x c y -≤<<时，方程化为2my c =-；当,0x c y ≥≥时，方程化为220x y m +-=； 当,0x c y ≥<时，方程化为220x y m --=；结合题目中给出四个选项可知，选项A 中的图象符合要求，故选A ． 12．（2020·东北育才学校高三月考（理））有如下3个命题；①双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上任意一点P 到两条渐近线的距离乘积是定值；②双曲线2222222211(0,0)x y x y a b a b b a-=-=>>与的离心率分别是12e e 、，则22122212e e e e +是定值；③过抛物线22(0)x py p =>的顶点任作两条互相垂直的直线与抛物线的交点分别是A B 、，则直线AB 过定点；其中正确的命题有（ ） A ．3个 B ．2个C ．1个D ．0个【答案】A【解析】①双曲线22221x y a b-=（a ＞0，b ＞0）上任意一点P ，设为（m ，n ），两条渐近线方程为y=±ba x=222222b m a n a b -+， 由b 2m 2﹣a 2n 2=a 2b 2，可得两个距离乘积是定值2222a b a b+； ②双曲线2222x y a b -=1与22221x y b a -=（a ＞0，b ＞0）的离心率分别是e 1，e 2，即有e 12=222a b a +，e 22=222a b b +，可得22122212e e e e +为定值1；③过抛物线x 2=2py （p ＞0）的顶点任作两条互相垂直的直线与抛物线的交点分别是A ，B ，可设A （s ，22s p），B （t ，22t p ），由OA ⊥OB 可得st+2224s t p=0，即有st=﹣4p 2， k AB =()222t s p t s --=2t s p +，可得直线AB 的方程为y ﹣22s p=2t s p +（x ﹣s ），即为y=2t s p +x+2p ， 则直线AB 过定点（0，2p ）．三个命题都正确．故选A ．13．已知O 为坐标原点，点M 在双曲线22:C x y λ-=（λ为正常数）上，过点M 作双曲线C 的某一条渐近线的垂线，垂足为N ，则ON MN ⋅的值为（ ） A ．2λB ．λC ．2λD ．无法确定【来源】四川省南充市2021届高三第三次模拟考试数学（文）试题 【答案】A【解析】设(,)M m n ，即有22m n λ-=，双曲线的渐近线为y x =±，可得MN =，由勾股定理可得ON ===，可得2222m n ON MN λ-⋅=== ．故选：A ．14．已知1F 、2F 是双曲线C ：2214y x -=的左、右两个焦点，若双曲线在第一象限上存在一点P ，使得22()0OP OF F P +⋅=，O 为坐标原点，且12||||PF PF λ=，则λ的值为（ ）.A ．13B ．12C ．2D ．3【来源】河南省豫南九校2020-2021学年高三上学期期末联考理数试题 【答案】C 【解析】1a =，2b =，∴c =1(F，2F， 设点)P m ，∴2222()(1))1504m OP OFF P m m m +⋅=⋅=+-+=， ∴2165m =，m =，则P ±，14PF ===， ∴2122PF PF a =-=，∴12422PF PF λ===， 故选：C.15．已知1F ，2F 是双曲线221169x y -=的焦点，PQ 是过焦点1F 的弦，且PQ 的倾斜角为60︒，那么22||+-PF QF PQ 的值为A ．16B ．12C ．8D ．随α变化而变化【答案】A【解析】由双曲线方程221169x y -=知，28a =，双曲线的渐近线方程为34y x 直线PQ 的倾斜角为60︒，所以334PQ k =>，又直线PQ 过焦点1F ，如图 所以直线PQ 与双曲线的交点都在左支上.由双曲线的定义得，2128PF PF a -==…………(1)，2128QF QF a -== (2)由(1)+(2)得2211()16PF QF QF PF +-+=，2216PF QF PQ ∴+-=. 故选：A16．已知椭圆()2221024x y b b+=<<，1F ，2F 分别为椭圆的左、右焦点，P 为椭圆上一点，()2,1M ，1MF 平分角12PF F ∠，则1MPF 与2MPF 的面积之和为( ) A ．1B ．32C ．2D ．3【来源】中学生标准学术能力诊断性测试2020-2021学年高三上学期1月测试理文数学（一卷）试题 【答案】C【解析】如图，椭圆()222210x y a b a b+=>>，1F ，2F 分别为椭圆的左、右焦点，P 为椭圆上一点，作一圆与线段F 1P ，F 1F 2的延长线都相切，并且与线段PF 2也相切，切点分别为D ，A ，B ，1111221122||||||||||||||||||||F D F A PF PD F F F A PF PB F F F A =⇔+=+⇔+=+， 12122212122||||||||||||||||||2||PF PB F B F F F A F B PF PF F F F A ⇔++=++⇔+=+，所以2||F A a c =-(c 为椭圆半焦距)，从而点A 为椭圆长轴端点，即圆心M 的轨迹是直线x =a (除点A 外). 因点M (2,1)在12PF F ∠的平分线上，且椭圆右端点A (2,0)，所以点M 是上述圆心轨迹上的点，即点M 到直线F 1P ，PF 2，F 1F 2的距离都相等，且均为1，1MPF 与2MPF 的面积之和为1212111||1||1(||||)2222PF PF PF PF ⋅⋅+⋅⋅=+=.故选：C17．已知椭圆2214x y +=的上顶点为,A B C 、为椭圆上异于A 的两点，且AB AC ⊥，则直线BC 过定点（ ） A ．(1,0) B ．(3,0)C ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．30,5⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】D【解析】设直线BC 的方程为x ky m =+，()()1122,,B x y C x y 、，则由2214x ky m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩整理得()2224240k y mky m +++-=， 所以212122224,44mk m y y y y k k --+==++， ()22222121212224244m mkx x k y y mk y y m k mk m k k --=+++=++++，因为()0,1A ，()()1122,1,1A x y B C x y A --==,，AB AC ⊥， 所以()()()1212121212111x x y y x x y y y y AB AC +-=-=++⋅-+22222222224242125304444m mk m mk k mk m km m k k k k k ---=+++++=+-=++++解得m k =-或35m k =， 当m k =-时，直线BC 的方程为()1x ky k k y =-=-，直线过()0,1点而()0,1A ，而,A B C 、不在同一直线上，不合题意； 当35m k =时，直线BC 的方程为3355x ky k k y ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，直线过30,5⎛⎫- ⎪⎝⎭，符合题意.故选：D.18．已知椭圆221124y x +=，圆22:4O x y +=，过椭圆上任一与顶点不重合的点G 引圆的两条切线，切点分别为,P Q ，直线PQ 与x 轴，y 轴分别交于点,M N ，则2231OMON+=（ ）A ．54B ．45C ．43D ．34【来源】安徽省宣城市第二中学2020-2021学年高三下学期第一次月考理科数学试题 【答案】D【解析】设112233(,),(,),(,)P x y Q x y G x y ，则切线GP 的方程为114x x y y +=，切线GQ 的方程为224x x y y +=， 因为点G 在切线,GP GQ 上，所以13134x x y y +=，23234x x y y +=，所以直线PQ 的方程为334x x y y +=， 所以3344(,0),(0,)M N x y ， 因为点33(,)G x y 在椭圆221124y x +=上，所以2233312x y +=，所以22223333223311123(3)161616164x y x y OM ON+=+=+==， 故选：D19．已知椭圆22:142x y C +=的左右顶点分别为,A B ，过x 轴上点(4,0)M -作一直线PQ 与椭圆交于,P Q 两点（异于,A B ），若直线AP 和BQ 的交点为N ，记直线MN 和AP 的斜率分别为12,k k ，则12:k k =（ ） A ．13B ．3C ．12D ．2【来源】湖北省“大课改、大数据、大测评”2020-2021学年高三上学期联合测评数学试题 【答案】A【解析】设(),N x y ，()11,P x y ，()22,Q x y ，设直线PQ 的方程：4x my =-由,,P N A 和,,Q N B 三点共线可知11222222y y x x y y x x ⎧=⎪++⎪⎨⎪=⎪--⎩ ， 解得：()()()()()()()()1221122112211221222226222262y x y x y my y my x y x y x y my y my -++-+-==--++--+-1212122623my y y y x y y --∴=-，12121226643my y y y x y y +-+=-，（*）联立224142x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩ ，得()2228120m y my +-+=，22226448(2)16(6)0,6m m m m ∆=-+=->>，12121212228123,,()222m y y y y my y y y m m +==∴=+++， 代入（*）得121293433y y x y y -+==-，14y k x =+，22y k x =+ ，122211443k x k x x +∴==-=++.故选：A20.（2020·北京市第二中学分校高三（理））抛物线24y x =上两个不同的点A ，B ，满足OA OB ⊥，则直线AB 一定过定点，此定点坐标为__________． 【答案】(4,0).【解析】设直线l 的方程为x ty b =+代入抛物线24y x =，消去x 得2440y ty b --=,设()11,A x y ，()22,B x y ，则124y y t +=，124y y b =-，∴()()()221212121212OA OB ty b ty b y y t y y bt y y b y y ⋅=+++=++++222444bt bt b b =-++- 24b b =-=0，∴0b =（舍去）或4b =, 故直线l 过定点()4,0．21．（2020·江苏扬州中学高三月考）已知点(2,0),(4,0)A B -，圆,16)()4(:22=+++b y x C 点P 是圆C 上任意一点，若PAPB为定值，则b =________.【答案】0【解析】设(,)P x y ，PAk PB =k =， 整理得222222(1)(1)(48)4160k x k y k x k -+-+++-=， 又P 是圆C 上的任意一点，故1k ≠，圆C 的一般方程为222820x y x by b ++++=，因此20b =，22222484168,11k k b k k+-==--，解得0b =. 22．（2020·江苏海安高级中学高三）在平面直角坐标系xOy 中，A ，B 为x 轴正半轴上的两个动点，P （异于原点O ）为y 轴上的一个定点．若以AB 为直径的圆与圆x 2＋(y －2)2＝1相外切，且∠APB 的大小恒为定值，则线段OP 的长为_____．【解析】设O 2（a ，0），圆O 2的半径为r （变量），OP=t （常数），则222222221)222tan ,tan ,2tan 141,(4,22tan 3232r a r a rOPA OPB t t a r a rrtt t APB a r t a r t a r a rt tAPB t t r r +-+∠=∠=+--∴∠==-+-++=+∴=-∴∠==-+-+∵∠APB 的大小恒为定值，∴t23．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆22184x y +=上一点A ，点B 是椭圆上任意一点（异于点A ），过点B 作与直线OA 平行的直线l 交椭圆于点C ，当直线AB 、AC 斜率都存在时，AB AC k k +=___________. 【答案】0【解析】取特殊点B ()0,2-，则BC的方程为22y x +=，由22242y x x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得C ()所以202AB AC k k +==. 24．（2020·河北定州一中高三月考）P 为圆()22:15C x y -+=上任意一点，异于点()2,3A 的定点B 满足PBPA为常数，则点B 的坐标为______． 【答案】33,22⎛⎫⎪⎝⎭【解析】设()()00,,,,PA P x y B x y PBλ=，则()2215x y -+=，可得2242x y x +=+，① ()()()()222220023x x y y x y y λ⎡⎤-+-=-+-⎣⎦，②由①②得()2200002224x x y y x y --+++2222617x y λλλ=--+，可得202002220022226417x y x y λλλ⎧-=-⎪-=-⎨⎪++=⎩，解得002323212x y λ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩，B ∴点坐标为33,22⎛⎫ ⎪⎝⎭，故答案为33,22⎛⎫ ⎪⎝⎭. 25．（2020·上海长岛中学高三）在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，M 、N 是双曲线22124x y -=上的两个动点，动点P 满足2OP OM ON =-，直线OM 与直线ON 斜率之积为2，已知平面内存在两定点1F 、2F ，使得12PF PF -为定值，则该定值为________【答案】【解析】设P （x ，y ），M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），则由2OP OM ON =-，得（x ，y ）=2（x 1，y 1）-（x 2，y 2）， 即x=2x 1-x 2，y=2y 1-y 2，∵点M ，N 在双曲线22124x y -=上，所以2211124x y -=，2222124x y -=，故2x 2-y 2=（8x 12+2x 22-8x 1x 2）-（4y 12+y 22-4y 1y 2）=20-4（2x 1x 2-y 1y 2）， 设k 0M ，k ON 分别为直线OM ，ON 的斜率，根据题意可知k 0M k ON =2， ∴y 1y 2-2 x 1x 2=0， ∴2x 2-y 2=20，所以P 在双曲线2x 2-y 2=20上； 设该双曲线的左，右焦点为F 1，F 2，由双曲线的定义可推断出12PF PF -为定值，该定值为26．（2020·江苏高三月考）椭圆E ：22143x y +=的左顶点为A ，点,B C 是椭圆E 上的两个动点，若直线,AB AC 的斜率乘积为定值14-，则动直线BC 恒过定点的坐标为__________． 【答案】(1,0)【解析】当直线BC 的斜率存在时，设直线BC 的方程为y=kx+m ，由22143x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y 得：（3+4k 2）x 2+8kmx+4m 2﹣12=0， 设B （x 1，y 1），C （x 2，y 2），则x 1+x 2=28km 34k -+，x 1x 2=2241234m k-+， 又A （﹣2，0），由题知k AB •k AC =121222y y x x ++=﹣14， 则（x 1+2）（x 2+2）+4y 1y 2=0，且x 1，x 2≠﹣2， 则x 1•x 2+2（x 1+x 2）+4+4（kx 1+m ）（kx 2+m ） =（1+4k 2）x 1x 2+（2+4km ）（x 1+x 2）+4m2+4=()()2221441234k m k+-++（2+4km ）28km 34k -++4m2+4=0则m 2﹣km ﹣2k 2=0， ∴（m ﹣2k ）（m+k ）=0， ∴m=2k 或m=﹣k ．当m=2k 时，直线BC 的方程为y=kx+2k=k （x+2）． 此时直线BC 过定点（﹣2，0），显然不适合题意．当m=﹣k 时，直线BC 的方程为y=kx ﹣k=k （x ﹣1），此时直线BC 过定点（1，0）． 当直线BC 的斜率不存在时，若直线BC 过定点（1，0），B 、C 点的坐标分别为（1，32），（1，﹣32），满足k AB •k AC =﹣14． 综上，直线BC 过定点（1，0）． 故答案为：（1，0）．27．已知双曲线22:13y C x -=的右焦点为F ，过点F 的直线l 与双曲线相交于P 、Q 两点，若以线段PQ为直径的圆过定点M ，则MF =______．【来源】金科大联考2020届高三5月质量检测数学（理科）试题 【答案】3【解析】点F 的坐标为()2,0，双曲线的方程可化为2233x y -=，①当直线l 的斜率不存在时，点P 、Q 的坐标分别为()2,3、()2,3-， 此时以线段PQ 为直径的圆的方程为()2229x y -+=；②当直线l 的斜率存在时，设点P 、Q 的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ， 记双曲线C 的左顶点的坐标为()1,0A -，直线l 的方程为()2y k x =-，联立方程()22332x y y k x ⎧-=⎪⎨=-⎪⎩，消去y 后整理为()()222234340kxk x k -+-+=，2422230164(3)(34)36(1)0k k k k k ⎧-≠⎨∆=+-+=+>⎩,即k ≠ 有2122212243343k x x k k x x k ⎧+=⎪⎪-⎨+⎪=⎪-⎩，()()()22121212122224y y k x x k x x x x =--=-++⎡⎤⎣⎦，222222234894333k k k k k k k ⎛⎫+=-+- ⎪---⎝⎭，()111,AP x y =+，()221,AQ x y =+，()()()1212121212111AP AQ x x y y x x x x y y ⋅=+++=+++⎡⎤⎣⎦ 22222222344931103333k k k k k k k k +-=+-+=+=----． 故以线段PQ 为直径的圆过定点()1,0M -，3MF =．28．双曲线22:143x y C -=的左右顶点为,A B ，以AB 为直径作圆O ，P 为双曲线右支上不同于顶点B 的任一点，连接PA 交圆O 于点Q ，设直线,PB QB 的斜率分别为12,k k ，若12k k λ=，则λ=_____. 【答案】34-【解析】设()()()00,,2,02,0P x y A B - 2200143x y -=，()222000331444x y x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭2000200032424PA PBy y y x x k k x =⋅=+--= PA 交圆O 于点Q ，所以PA QB ⊥ 易知:33441PA PB PB QBPA QB k k k k k k λ⎧=⎪⇒==-⎨⎪⋅=-⎩即1234k k λ==-. 故答案为：34-29．过双曲线22221x y a b-=的右焦点(,0)F c 的直线交双曲线于M 、N 两点，交y 轴于P 点，若1PM MF λ=，2PN NF λ=，规定12λλ+=PM PN MF NF +，则PM PNMF NF +的定值为222a b .类比双曲线这一结论，在椭圆22221(0)x y a b a b +=>>中，PM PN MF NF+的定值为________. 【来源】贵州省铜仁市思南中学2020-2021学年高三上学期期末考试数学（理）试题【答案】222a b-【解析】如图，设椭圆()222210x y a b a b+=>>的右焦点为(),0F c ，过点(),0F c 的直线为()y k x c =-，代入椭圆的方程得：()2222222222220b a kxa k cx a k c ab +-+-=，设()11,M x y ，()22,N x y ，则22122222a k c x x b a k +=-+，2222212222a k c ab x x b a k-⋅=+， 过点,M N 分别作x 轴的垂线，垂足为,D E ，则111x PM x c MF λ==--，222=x PNx c NFλ=--，所以()()()()()1221121212122212121212122x x c x x c x x c x x x x x c x c x x c x x c x x c x x c λλ-+--+⎛⎫+=-+=-=-⎪---++-++⎝⎭将22122222a k c x x b a k +=-+，2222212222a k c ab x x b a k -⋅=+代入化简得：21222a b λλ+=-. 故答案为：222a b-.30．若M ，P 是椭圆2214x y +=两动点，点M 关于x 轴的对称点为N ，若直线PM ，PN 分别与x 轴相交于不同的两点A (m ，0)，B (n ，0)，则mn =_________.【来源】四川省资阳市2020-2021学年高三上学期期末数学文科试题 【答案】4 【解析】设(),M a b ，则(),N a b -，(),P c d ，则2214a b +=，2214c d +=所以PM d bk c a-=- 直线PM 的方程为()d b y b x a c a --=--，令0y =可得ad bcm d b-=- 同理有PM d b k c a+=- 直线PN 的方程为()d b y b x a c a ++=--，令0y =可得ad bcn d b+=+ 则222222ad bc ad bc a d b c mn d b d b d b -+-⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪-+-⎝⎭⎝⎭222222111144111144a c c a c a ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⎛⎫--- ⎪⎝⎭()2222414a c a c -==- 31．椭圆E ：22143x y +=的左顶点为A ，点,B C 是椭圆E 上的两个动点，若直线,AB AC 的斜率乘积为定值14-，则动直线BC 恒过定点的坐标为__________． 【答案】(1,0)【解析】当直线BC 的斜率存在时，设直线BC 的方程为y=kx+m ，由22143x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y 得：（3+4k 2）x 2+8kmx+4m 2﹣12=0， 设B （x 1，y 1），C （x 2，y 2），则x 1+x 2=28km 34k -+，x 1x 2=2241234m k -+， 又A （﹣2，0），由题知k AB •k AC =121222y y x x ++=﹣14， 则（x 1+2）（x 2+2）+4y 1y 2=0，且x 1，x 2≠﹣2， 则x 1•x 2+2（x 1+x 2）+4+4（kx 1+m ）（kx 2+m ） =（1+4k 2）x 1x 2+（2+4km ）（x 1+x 2）+4m2+4=()()2221441234k m k +-++（2+4km ）28km 34k -++4m2+4=0则m 2﹣km ﹣2k 2=0， ∴（m ﹣2k ）（m+k ）=0， ∴m=2k 或m=﹣k ．当m=2k 时，直线BC 的方程为y=kx+2k=k （x+2）． 此时直线BC 过定点（﹣2，0），显然不适合题意．当m=﹣k 时，直线BC 的方程为y=kx ﹣k=k （x ﹣1），此时直线BC 过定点（1，0）． 当直线BC 的斜率不存在时，若直线BC 过定点（1，0），B 、C 点的坐标分别为（1，32），（1，﹣32），满足k AB •k AC =﹣14． 综上，直线BC 过定点（1，0）． 故答案为（1，0）．。
直线恒过定点问题例题
直线恒过定点问题例题直线恒过定点问题是数学中常见的几何问题之一。
它通过给定点和直线的条件，探讨直线是否恒过这个点。
本文将通过例题来详细说明直线恒过定点问题的解决方法。
问题描述例题：已知点A(1,2)和B(3,4)，求直线y = mx + 1是否恒过点C(-1,0)。
解题步骤解决直线恒过定点问题可以按照以下步骤进行：1.求直线的方程；2.将点的坐标代入方程，判断是否满足。
步骤一：求直线的方程两点确定一条直线的方程，可以使用点斜式或两点式。
在本例中，我们选择使用点斜式。
点斜式的一般形式为y - y1 = m(x - x1)，其中m为直线的斜率，(x1, y1)是直线上的一点。
通过已知点A(1,2)，我们可以计算斜率m。
根据点斜式的给定条件，我们可以得到直线方程为：y - 2 = m(x - 1)步骤二：将点的坐标代入方程我们需要将点C(-1,0)的坐标代入直线方程，判断是否满足。
将C的坐标代入方程，得到：0 - 2 = m(-1 - 1)化简得到：-2 = -2m整理后得到：m = 1因此，当直线方程为y = x + 1时，直线恒过点C(-1,0)。
结论根据上述计算和推导，我们得出结论：直线y = x + 1恒过点C(-1,0)。
总结直线恒过定点问题是数学中的基础几何问题之一。
通过已知点和直线的条件，我们可以求解直线是否恒过这个点。
解决这类问题可以遵循求直线方程和代入点的坐标两个步骤，通过计算和推导得出结论。
希望通过本文的例题分析，能够帮助读者更好地理解直线恒过定点问题的解决方法。
“动中求定”的八大策略——探索解析几何中求解定点、定值、定向、定线等问题的策略
“动中求定”的八大策略——探索解析几何中求解定点、定值、定向、定线等问题的策略注意到A∈[÷,2],可得所求为[2,÷].JJ点评:求参数的取值范围,一直是数学中的经典问题.解题的关键是如何构造出关于参数的表达式或不等式,转化为求函数的值域或解不等式问题.本例是直接利用题设的A的范围,求出值域,属简单题.而一些较复杂的题,往往要用以下一些条件和方法:圆锥曲线的范围,几何图形的性质,变量的取值范围(如sinO,cosO●徐素琴舒林军''的范围),判别式法,基本不等式法,分离参数法等.以上五类问题是解析几何中的重点题型,一定要掌握求解的通法,在解题实践中不断对各种解法加以比较,总结,提高自己择优解题的能力,使解析几何解答题成为你的得分点,从而在高考中获得数学卷的高分0-动中求定"的八大策略探索解析几何中求解定点,定值,定向,定线等问题的策略在解析几何中常常出现求定点,定值,定向,定线等问题,它已经成为当前各省高考试题中的热点.本文对此类问题加以探究,得出一些行之有效的方法策略,供以参考.策略一:提取参数对于某些含参数的曲线方程,如果可以把参数与x,y分离,则提出参数后,再根据恒等式的性质,即可以解得x,y的值,得到定点的坐标.例?1已知动直线(2+k)x一(1+k)一2(3+2k)=0,求证:点P(一2,2)到该动直线的距离d≤4.证明:把直线方程化为.i}(一),一4)+(2x—Y一6)=0,知J.一),一4=o,L2x一),一6=0.解得=2,Y=一2,即动直线过定点(2,一2).连,则点P(一2,2)到该动直线的距离d≤lPI=~/(一2—2)+(2+2)=4.'策略二:观察巧代?2O?充分利用已知式的结构特征,经过观察分析,只要找出满足条件的,y的值,就是定点的坐标.例2(1)已知实数17/.,n满足三+=l,则动直线羔+上:l必过定点的坐标为——;(2)已知实数p,g满足p+2q—l=0,则动直线+3y+q=0恒过定点M的坐标为略解:(1)只要令=2,,,=l,即得定点(2,1);(2)已知式化为号一下1+q=0,只要令=寺一IM(1,一吉).策略三:设参分离根据题意,设立参数,建立方程,分离参数,即可以求得定点.例3已知抛物线C:y=8x,焦点为F,定点P(2,4),动点A,B是抛物线C上的两个点, 且满足后?keB=8,试问AB所在的直线是否过定点,若是,求出该定点的坐标;否则说明理由.解:设A(8t;,8t1),B(8t,8t2)(t1≠t2),则】.1PA,kpB'fl+一2f2+一2因为J}?后雎=8,所以8t1t2=一1—4(tl+t2).①因为Ij}仙,所以A曰的方程:),一8tt:(一8￡;)?再利用①化简即得(一1)一(t1+t2)(),+4)=0.可见直线AB过定点(1,一4).策略四:巧"特"结论有两种情形:一种利用特殊值探求结论,再验证其充分性;另一种是也先用特殊值探求结论,后作一般性探求...2.2.例4已知椭圆等+=1,过左焦点作不垂直于轴的弦交椭圆于A,两点,AB的垂直平分线交轴于点,则IFI:IABl的值为()(A1(B1(c了2(D)}解:本题为选择题,即知此比值为定值,故可用特殊值法.设AB与轴重合时,就是原点,则AB长为6,MF的长为2,故IMFl:IABI =1,答案为(B).如果不用特殊法解,本题就是一个较难的解答题,同学们不妨一试.若用极坐标方程解较方便一些.可见在解选择题时,用特殊值法来判断和寻找答案尤为重要.2例5已知椭圆方程+=1,过点s(o,一÷)的动直线f交该椭圆于A,B两点,试问:在坐标平面内是否存在一个定点,使得以AB为直径的圆恒过定点,若存在求出T的坐标;若不存在,请说明理由.解:假设满足条件的定点存在.当直线Z与轴平行时,以AB为直径的圆方程为2+-y')=;当直线Z与),轴重合时,以AB为直径的圆方程为+),=1.以上两圆方程联立解得』=o,即r(0,1)ty=1,是满足条件的必要条件.下面证明其充分性: 若存在v(o,1),对过点S不与坐标轴平行的直线设为y=kx一÷(Il}≠0),把它代人椭圆方程得到(1+2)2一一=o.设A(,y.),B(,y),则有『+=吾_,116【la;:一'因为H=(l,y1—1),TB=(2,y2一1),7?TB=X12+(),1—1)(,,2—1)=(1):一争(+一16(1+)4,12k16——18k9一一一3—}8k9+一9++=0.所以上船,即以AB为直径的圆恒过定点其定点的坐标为(O,1).例6已知椭圆+:1(n>b>o)上任意一点,B,B:是椭圆短轴的两个端点,作直线MB1,MB2分别交轴于P,()两点,求证: lOP1.IDQI为定值,并求出定值.分析:当动点在长轴的端点时,则P,Q重合于长轴的端点,因此IOPI?loQI=a.?2l?再作一般证明即可得IOP1.IOQI为定值为0.策略五:设参消参为了求得定值,往往需要设立一个或两个参数,如直线的斜率,动点的坐标等,然后根据条件,寻找所求的定值,最后经过消参得到所求的定值.例6已知A(1,1)是椭圆x+=1(口>b>0)上的一点,F,F2是椭圆的两个焦点, 且满足lAFI+IAF,I=4.(1)求椭圆的方程;(2)设点B,C是椭圆上的两个动点,且直线AB,AC的倾斜角互补,试判断直线BC的斜率是否为定值?并说明理由.解:(1)易知口=2.再把点A坐标代人椭圆方程得b.=÷,所以椭圆方程为等2+等(2)由条件可以得到直线AB,AC的斜率存在且不为0,故设直线AB的方程为Y=(一1)+1,代人椭圆方程得(1+3k)+6(1一k)kx+3一6k一1=0.因为XA=1,XAXB=所以.①又设直线AC的方程为Y=一k(一1)+1,同理得到.②因此得到,口一YcJ}(B+Xc)一2k%c■'把①②代人得k.=下1,所以直线BC的斜率为定值.策略六:巧用定义结合圆锥曲线的定义,在运动变化中寻求?22?符合定义的不变量.'2,2例7已知P是双曲线一号=1(口>0,b>0)右支上不同于顶点的任意一点,,是双曲线的左右两个焦点,试问:三角形PFF2 的内心,是否在一定直线上,若存在,求出直线方程;若不存在,请说明理由.解:设三角形PFF2的内切圆与轴的切点为,则由双曲线的定义及切线长定理可知: IPF1I—IPF2l=IMF1I-IMF2I=2a,所以也在双曲线上,即M为双曲线右顶点.又IM上轴,所以三角形PF的内心,在一定直线=口上.例8以抛物线(Y+1)=g(一2)上任意一点P为圆心,作与Y轴相切的圆,则这些动圆必经过定点的坐标为一解:不难求得Y轴是抛物线的准线.由抛物线的定义可知,这些圆必经过抛物线的焦点可以求得F(4,一1),所以这些动圆必经过定点的坐标为(4,一1).策略七:结合平面几何有些求定值问题往往可以与平面几何的一些性质相结合,可以达到事半功倍的效果,如上面的例7就是运用了切线长定理.例9已知圆(一3)+(Y+4)=4,过原点0的动直线2:y=kx交圆于P,Q两点,则IoPIlOQl的值为一解:设OB切圆于点,则JOPIIOQI=IDBl=10I一r2:25—4=21.,22例10已知是双曲线一各=1(口>0,b>0)过焦点F1的任意一条弦,以AB为直径的圆被与相应的准线截得圆,求证:MN的度数为定值.解:设AB的中点为P,P,A,B到相应的准线距离分别为d,d,d,则.:,',d1+d2IF1AI+IF1BIlABId—一——■～=(r为以AB为直径的圆的半径),所以c.sPⅣ::,二,e即删的度数为定值,其定值为2arccos.策略八:极坐标法关于长度计算的某些问题,用极坐标法会来得很方便.先要根据条件建立恰当的极坐标系,然后给动点设出极坐标,极角之间的关系往往是解决问题的关键.例11椭圆x+=1(口>b>o)上有aD两个动点A,B满足OA上OB(0为坐标原点), 求证:+广为定值?解:设以原点为极点,轴为极轴,建立极坐标系.则有lpcosO,代人椭圆方程得到椭ty:psin0.圆的极坐标方程●赵小龙r+r?设椭圆上动点A(p,),因为上OB,则动点B(p:,0+),因此1COS0sin—丁十—一,PlnD1c.s(+詈).sin2(+詈)2一口2.bP2口sin20cos0r+.两式相加得P+=+,l111ap2D即击+=1+古为定值.以上的八大策略,提供同学们在解决此类问题的方法.对求定点,定值等问题往往先用特殊值法探求出结论,这样解题的方向就明确了, 然后在运算过程中心中有数,达到事半功倍的效果.1l.洙高毒中的五粪热燕题型思维能力是数学能力的核心,新课标的高考是通过数学基本能力与数学综合能力来考查数学思维的.针对高考对能力的考查,笔者认为临近高考时要努力达到下述目标:如果一个问题有多种数学思维方法,那么通过自身的思维应尽力发现其中大多数通法,并能靠自己丰富的解题实践择其优者实施.为此,只有平时对如下五类热点题型有思维模式的积淀,才能在应试中形成灵活的解题思维一,立体几何中的条件探索题此类题型是高考命题改革的先进成果,已被各省市的高考命题所大量采用,对考查新课标规定的数学基本能力中的空间想象能力,推理论证能力均大有裨益.抓住结论采到逆向探索,灵活转移,直观想象等思维方式,常可发现或猜出条件,进而给出充分性的证明.这是此类题型的一般思维模式.例1如图1,四棱锥P—ABCD中,M是棱船的中点;在底面四边形ABCD中,AB//CD, AB=4DC.在棱PC上找一点Ⅳ,使DⅣ∥平面?23?。
直线系方程及其巧妙应用
直线系方程及其巧妙应用江苏 韩文美1．命题的给出命题：设点00()P x y ，在直线0Ax By C ++=（其中A B ，不全为零）上，则这条直线的方程可以写成00()()0A x x B y y -+-=．这一结论的证明比较简单，但值得我们注意的是直线00()()0A x x B y y -+-=表示的是过点00()P x y ，的所有直线（即直线系），应用这种直线方程可以不受直线的斜率、截距等因素的限制，在实际解答问题时可以避免分类讨论，有效地防止解题出现漏解或错解的现象．2．命题的应用（1）斜率问题的应用在求过圆外一点的圆的切线方程，或直线与圆锥曲线的位置关系及两直线的位置关系时，一般要分直线有无斜率两种情况进行讨论．而应用直线系方程，可以避免对斜率的讨论，确保求解的完整性和正确性．例１ 过点(14)P -，作圆22(2)(3)1x y -+-=的切线l ，求切线l 的方程． 解：设所求直线l 的方程为(1)(4)0A x B y ++-=（其中A B ，不全为零）， 则整理有40Ax By A B ++-=， ∵直线l 与圆相切，∴圆心(23)C ，到直线l 的距离等于半径1，1=，整理，得(43)0A A B -=，即0A =（这时0B ≠），或304A B =≠． 故所求直线l 的方程为4y =或34130x y +-=． （2）截距问题的应用当题目中出现直线在两坐标轴上的“截距相等”、“截距互为相反数”、“在一坐标轴上的截距是另一坐标轴上的截距的m 倍（0m >）”等条件时，采用截距式就会漏掉“零截距”的情况，从而丢解．而应用直线系方程，可以避免对直线的截距的分类讨论，确保求解的完整性和正确性．例2 求过点(34)M -，，且在两坐标轴上截距相等的直线方程． 解：设所求直线方程为(3)(4)0A x B y -++=（其中A B ，不全为零）．显然，当0A =或0B =时，所得直线方程不满足题意．故AB ，均不为零． 当0x =时，34A y B =-；当0y =时，43B x A=-+．根据题意，直线在两坐标轴上的截距相等，则3443A B B A-=-+， 令A z B =，则13443z z -=-+， 整理，得23740z z -+=， 解得1z =，或43z =， 则0A B =≠，或403A B =≠， 故所求直线方程为10x y ++=，或430x y +=．编者的话：利用过点00()P x y ，的直线系方程00()()0A x x B y y -+-=（其中A B ，不全为零）确定直线方程，弥补了直线方程中几种常见的特殊直线方程形式的限制条件的不足，避免了分类讨论，解法具有通用性和简洁性．下面我们用这个方法来做两道相关的题目．练习：1．求过原点且与直线110l y -+=成30°角的直线方程l ．2．在过点(35)P ，的所有直线中，求到原点的距离最远的直线方程．答案：1．0x =，或0x -= 2． 35340x y +-=．。
高考数学解析几何专题讲义第16讲--定点问题
3 3
x2
ty2
1
②
由①②知 AB 的方程为 3 x ty 1 ，即 x 3(1 ty)
③
3
易知右焦点 F ( 3, 0) 满足③ 故直线 AB 恒过定点 F ( 3, 0)
（2）略
【例 2-2】（2019 全国Ⅲ文 21）已知曲线 C ： y x2 ，D 为直线 y = - 1 上的动点，过 D 作 C 的两条切线， 切
【解法一】 F (1, 0), k (a2 , 0) ，先探索，当 m 0 时，直线 l ox 轴，则 ABED 为矩形，由对称性知，AE 与
BD 交于定点 N ( a2 1, 0) ， 2
证明：设 A(x1, y1)B(x2 , y2 )E(a2 , y1) ，当 m 变化时首先 AE 过定点 N
2 2
+ +
(y + y2 =
1)2 3 1
=
(4)2 3Þ
ìïx = 0 ïî y = 1
即两圆的公共点为(0，1)
因此所求点 T 如果存在，只能是(0，1)，事实上.点(0，1)就是所求点，证明如下 当 l 与 x 轴垂直时，以 AB 为直径的圆过 T(0，1)
当 l 与 x 轴不垂直时，设直线 l ： y = kx - 1 3
且以 AB 为直径的圆过椭圆 C 的右顶点。求证：直线 l 过定点，并求出该定点坐标．
y kx m
【解析】设
A(x1,
y1), B(x2 ,
y2 ) ，由 3x2
4y2
得 12
(3 4k 2 )x2 8mkx 4(m2 3) 0
64m2k 2 16(3 4k 2 )(m2 3) 0
2
2
点分别为 A，B.
解析几何直线过定点问题
解析几何定点问题一、曲线过定点1、（2016广州一模）已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，左顶点为A ，左焦点为()120F -，，点(B 在椭圆C 上，直线()0y kx k =≠与椭圆C 交于E ，F 两点，直线AE ，AF 分别与y 轴交于点M ，N ．（Ⅰ）求椭圆C 的方程； （Ⅱ）以MN 为直径的圆是否经过定点？若经过，求出定点的坐标；若不经过，请说明理由．（Ⅰ）解法一：设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>，因为椭圆的左焦点为()120F -，，所以224a b -=．……………………………1分 设椭圆的右焦点为()220F ，，已知点(2B 在椭圆C 上， 由椭圆的定义知122BF BF a +=，所以2a ==2分所以a =2b =．………………………………………………………3分所以椭圆C 的方程为22184x y +=．………………………………………………4分 解法二：设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>，因为椭圆的左焦点为()120F -，，所以224a b -=． ①…………………1分因为点(2B 在椭圆C 上，所以22421a b +=． ②…………………2分由①②解得，a =2b =．…………………………………………………3分所以椭圆C 的方程为22184x y +=．………………………………………………4分 （Ⅱ）解法一：因为椭圆C 的左顶点为A ，则点A的坐标为()-．…………5分因为直线(0)y kx k =≠与椭圆22184x y +=交于两点E ，F ， 设点()00,E x y （不妨设00x >），则点()00,F x y --．联立方程组22,184y kx x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得22812x k =+．所以0x =0y =．所以直线AE的方程为y x =+．……………………………6分因为直线AE ，AF 分别与y 轴交于点M ，N ，令0x =得y =M ⎛⎫⎝．……………………7分同理可得点N ⎛⎫ ⎝．…………………………………………………8分所以MN ==．…………………9分设MN的中点为P ，则点P 的坐标为0,P ⎛ ⎝⎭． (10)分 则以MN 为直径的圆的方程为22x y k ⎛⎫++= ⎪ ⎪⎝⎭2，即224x y y k++=．…………………………………………………………11分 令0y =，得24x =，即2x =或2x =-．故以MN 为直径的圆经过两定点()12,0P ，()22,0P -．………………………12分 解法二：因为椭圆C 的左端点为A ，则点A 的坐标为()-．……………5分因为直线(0)y kx k =≠与椭圆22184x y +=交于两点E ，F ， 设点00(,)E x y ，则点00(,)F x y --．所以直线AE的方程为y x =+．………………………………6分因为直线AE 与y 轴交于点M ，令0x =得y =M ⎛⎫⎝．……………………………7分同理可得点N ⎛⎫⎝．……………………………………………………8分所以020168yMN x ==-．因为点00(,)E x y 在椭圆C 上，所以2200184x y +=． 所以08MN y =．……………………………………………………………………9分 设MN 的中点为P ，则点P的坐标为000,P y ⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭．………………………10分 则以MN为直径的圆的方程为2200x y y ⎛⎫++= ⎪⎪⎝⎭2016y ．即220+x y y y +=4．………………………………………………………11分 令0y =，得24x =，即2x =或2x =-．故以MN 为直径的圆经过两定点()12,0P ，()22,0P -．………………………12分 解法三：因为椭圆C 的左顶点为A ，则点A的坐标为()-．……………5分因为直线(0)y kx k =≠与椭圆22184x y +=交于两点E ，F ，设点(),2sin E θθ（0θ<<π），则点(),2sin F θθ--． 所以直线AE的方程为y x =+．………………………6分因为直线AE 与y 轴交于点M ，令0x =得2sin cos 1y θθ=+，即点2sin 0,cos 1M θθ⎛⎫⎪+⎝⎭．………………………………7分同理可得点2sin 0,cos 1N θθ⎛⎫⎪-⎝⎭．………………………………………………………8分所以2sin 2sin 4cos 1cos 1sin MN θθθθθ=-=+-．………………………………………9分设MN 的中点为P ，则点P 的坐标为2cos 0,sin P θθ⎛⎫-⎪⎝⎭．………………………10分则以MN 为直径的圆的方程为222cos sin x y θθ⎛⎫++= ⎪⎝⎭24sin θ， 即224cos 4sin x y y θθ++=．………………………………………………………11分 令0y =，得24x =，即2x =或2x =-．故以MN 为直径的圆经过两定点()12,0P ，()22,0P -．………………………12分.)0(111.22标恒过定点，求定点的坐取何值的图象无论已知函数≠+++++=m m m m x m m m x y二、直线过定点)2()1(.,232面积的最小值求必经过定点；求证直线两点弦交抛物线于顶点作两条互相垂直的、过抛物线AOB AB B A x y ∆=)2()1()0(232面积的最求必经过定点；求证直线顶点作两条互相垂直、过抛物线AOB AB p px y ∆>=4、已知椭圆x 24＋y 22＝1上的两个动点P ，Q ，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)且x 1＋x 2＝2.求证：线段PQ 的垂直平分线经过一个定点A ； 证明 ∵P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，且x 1＋x 2＝2.当x 1≠x 2时，由⎩⎪⎨⎪⎧x 21＋2y 21＝4，x 22＋2y 22＝4，得y 1－y 2x 1－x 2＝－12·x 1＋x 2y 1＋y 2. 设线段PQ 的中点N (1，n )，∴k PQ ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－12n ，∴线段PQ 的垂直平分线方程为y －n ＝2n (x －1)， ∴(2x －1)n －y ＝0，该直线恒过一个定点A ⎝⎛⎭⎫12，0. 当x 1＝x 2时，线段PQ 的中垂线也过定点A ⎝⎛⎭⎫12，0. 综上，线段PQ 的垂直平分线恒过定点A ⎝⎛⎭⎫12，0.5、（2013陕西）已知动圆过定点A (4,0), 且在y 轴上截得的弦MN 的长为8.(Ⅰ) 求动圆圆心的轨迹C 的方程;(Ⅱ) 已知点B (-1,0), 设不垂直于x 轴的直线l 与轨迹C 交于不同的两点P , Q , 若x 轴是PBQ ∠的角平分线, 证明直线l 过定点.解:(Ⅰ) A (4,0),设圆心C 2222,2),,(EC ME CM CA MNME E MN y x +===，由几何图像知线段的中点为 x y x y x 84)422222=⇒+=+-⇒（(Ⅱ) 点B (-1,0),222121212122118,8,00),,(),,(x y x y y y y y y x Q y x P ==<≠+，由题知设.080)()(88811211221212222112211=+⇒=+++⇒+-=+⇒+-=+⇒y y y y y y y y y yy y x y x y 直线PQ 方程为:)8(1)(21121112121y x y y y y x x x x y y y y -+=-⇒---=-1,088)(8)()(122112112==⇒=++⇒-=+-+⇒x y x y y y y x y y y y y y所以,直线PQ 过定点(1,0)6、已知抛物线C ：)0(22>=p px y 过点)2,(m M ，其焦点为F ，且2||=MF . （Ⅰ）求抛物线C 的方程；（Ⅱ）设E 为y 轴上异于原点的任意一点，过点E 作不经过原点的两条直线分别与抛物线C 和圆F ：1)1(22=+-y x 相切，切点分别为B A ,，求证：直线AB 过定点.解：（1）抛物线C 的准线方程为：2p x =-，||22p MF m ∴=+=，又42pm =，即42(2)2pp =- 2440,2p p p ∴-+=∴=，抛物线C 的方程为24y x =.（2）设点E (0,)(0)t t ≠，由已知切线不为y 轴，设:EA y kx t =+联立24y kx t y x=+⎧⎨=⎩，消去y ，可得222(24)0k x kt x t +-+=直线EA 与抛物线C 相切，222(24)40kt k t ∴∆=--=，即1kt = 代入222120x x t t-+=，2x t ∴=，即2(,2)A t t 设切点00(,)B x y ，则由几何性质可以判断点,O B 关于直线:EF y tx t =-+对称，则0000010122y t x y x t t -⎧⨯=-⎪-⎪⎨⎪=-⋅+⎪⎩，解得：202022121t x t ty t ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，即22222(,)11t t B t t ++ 思路1：直线AB 的斜率为22(1)1AB tk t t =≠±- 直线AB 的方程为222()21t y x t t t =-+-，整理22(1)1t y x t =--∴直线AB 过定点恒过定点(1,0)F当1t =±时，(1,2),(1,1)A B ±±，此时直线AB 为1x =，过点(1,0)F .综上，直线AB 过定点恒过定点(1,0)F思路2：直线AF 的斜率为22(1)1AF tk t t =≠±-，直线BF 的斜率为22222021(1)2111BFttt k t t t t -+==≠±--+，AF BF k k ∴=，即,,A B F 三点共线当1t =±时，(1,2),(1,1)A B ±±，此时,,A B F 共线. ∴直线AB 过定点F .5、已知椭圆C :222210x y (a b )a b+=>>的离心率为2，直线0l :x y -=与以原点为圆心，以椭圆C 的短半轴长为半径的圆相切． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设M 是椭圆的上顶点，过点M 分别作直线MA,MB 交椭圆于A ，B 两点，设两直线的斜率分别为1k ,2k ，且124k k +=， 证明:直线AB 过定点(12-，-l )． 解:（Ⅰ）椭圆C的离心率e = 222222221,2.2c a b e a b a a -∴===∴=由0x y -+=与圆222x y b +=相切，得21, 2.b a =∴=∴椭圆C 的方程为：2212x y +=． （Ⅱ）①若直线AB 的斜率不存在，设方程为0x x =，则点00(,)A x y ，00(,)B x y -．由已知0000114,y y x x ---+=得012x =-．此时AB 方程为12x =-，显然过点(12-，-l)．②若直线AB 的斜率存在，设AB 方程为y kx m =+，依题意1m ≠±．设11(,)A x y ，22(,)B x y ，由2212y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()222124220.k x kmx m +++-=则122412kmx x k +=-+，212222.12m x x k -=+由已知124k k +=, 1212114,y y x x --+= 1212114kx m kx m x x +-+-∴+=即12122(1)4x x k m x x ++-=将1212,x x x x +代入得21kmk m -=+，∴2(1)k m =+， 1.2k m ∴=-故直线AB 的方程为12k y kx =+-，即1()12y k x =+-． ∴直线过定点 (12-，-l )．（Ⅱ）法二：由已知MA 方程为11y k x =+，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，由122112y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()22111240.k x k x ++= 121412A k x k ∴=-+2112112112A A k y k x k -∴=+=+， 2112211412(,)1212k k A k k -∴-++，同理可得2222222412(,)1212k k B k k --++ 设1(,1)2N --，下面只要证,,A B N 三点共线即可．2121211121121122,41142122ANk k K k k k k -++==-++-++同理2222,142BN K k k =-++ 124,k k +=()222112222222.11144(4)44222AN BN K K k k k k k k ∴====-++--++--++∴,,A B N 三点共线 ∴直线过定点(12-，-l )．。
直线系过定点问题的一般解法
直线系过定点问题的一般解法
陈志新
【期刊名称】《中学语数外：高中版》
【年(卷),期】2003(000)008
【总页数】2页(P29-30)
【作者】陈志新
【作者单位】无
【正文语种】中文
【中图分类】G633.603
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——以与直线斜率相关的定点问题为例 [J], 王治伟
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直线系的问题
直线系〔1〕平行直线系：与Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线为：Ax ＋By ＋C 1＝0(C 1≠C )． 〔2〕垂直直线系：与Ax ＋By ＋C ＝0垂直的直线为：Bx －Ay ＋C 1＝0．〔3〕定点直线系：假设l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0和l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0相交，则过交点的直线为A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0，交点为方程组⎩⎨⎧=++=++00222111C y B x A C y B x A 的解．直线系问题一、过定点的直线系 设定点P(x 0,y 0)1、用斜率k 作参数的直线系方程y-y 0=k(x-x 0)(不包括无斜率的直线)2、用A 、B 作参数的直线系方程A(x-x 0)+B(y-y 0)=0(A 、B 不全为0)例：求经过P(1,2)的直线L,使点A(3,3)和B(5,2)到它的距离相等. 思路一:①设斜率k,用点斜式, ②再由点距公式列方程, ③求k 出即可. 思路二:分类讨论 ①设斜率k,用点斜式,②当L ∥AB 时,由斜率相等可得k;当L 过AB 的中点时,把AB 中点坐标代入L 方程,可解得k.二、平行线系1、斜率是k 的直线系方程y=kx+b (b 为参数)2、平行于Ax+By+C=0的直线系方程为 Ax+By+λ=0 (λ为参数)3、垂直于Ax+By+C=0的直线系方程为 Bx-Ay+λ=0 (λ为参数)三、过两直线交点的直线系 设L 1: A 1x+B 1y+C 1=0L 2: A 2x+B 2y+C 2=0①m(A 1x+B 1y+C 1)+n(A 2x+B 2y+C 2)=0 (m 、n 是参数)②A 1x+B 1y+C 1+λ(A 2x+B 2y+C 2)=0 (λ是参数但不包括L 2)例：已知3a+2b=1,求证：直线ax+by+2(x-y)-1=0过定点,并求该定点坐标. 思路一：由3a+2b=1得:b= 12 (1-3a)代入直线系方程ax+by+2(x-y)-1=0 整理得(2x – 3 2 y-1)+a(x - 32y)=0由32102302x y x y ⎧--=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩, 得交点(1, 23)∴直线过定点(1, 23 ).思路二：赋值法 令a=0得b= 12得L 1: 2x -32y-1=0 令b=0得a= 13得L 2: x –3 2y=0 由32102302x y x y ⎧--=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩, 得交点(1, 23)把交点坐标代入原直线方程左边得: 左边= 13 (3a+2b-1)∵3a+2b-1=0 ∴左边=0这说明只要3a+2b-1=0 原直线过定点(1, 23 ).例:求证:无论λ为何值,直线(2+λ)x-(1+λ)y-2(3+2λ)=0与点P(-2,2)的距离d 都小于4 2 . 证明：将直线方程按参数λ整理得 (2x-y-6)+λ(x-y-4)=0故该直线系恒过二直线2x-y-6=0和x-y-4=0的交点M 易解得M(2,-2)求得|PM|=4 2 所以d ≤4 2而过点M 垂直PM 的直线方程为x-y-4=0,又无论λ为何值,题设直线系方程都不可能表示直线x-y-4=0∴d<4 2【注】此题假设按常规思路,运用点距公式求解,则运算量很大,难算结果,运用直线系过定点巧妙获解. 例题：例、已知直线：l kx y k k R -++=∈120()〔1〕证明直线l 过定点；〔2〕假设直线l 交x 轴负半轴于A ，交y 轴正半轴于B ，△AOB 的面积为S ，求S 的最小值，并求此时直线l 的方程；〔3〕假设直线不经过第四象限，求k 的取值范围。
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圆的方程解方程组, 然后考查判别式 ∃ > 0 是 否恒成立, 或者求出圆心到直线的距离 d , 再 证 d < r, 这两种方法理论上都可行, 但运算 量大, 很难得到正确的结论, 若注意到所给直 线为直线系, 再考虑到它过定点的话, 此题便 可迅捷获解.
证明 (1) 将直线 l 的方程按参数 m 整 理得 (x + y - 4) + m (2x + y - 7) = 0 该直线系恒过二直线 x + y - 4 = 0 及 2x + y - 7 = 0 的交点M (3, 1) , 将点M (3, 1) 代入 圆 C 的方程的左边得
y=
3 5
∴ 直线 (a - 2) y = (3a - 1) x - 1 恒
过第一象限内一点
(
1 5
,
3 5
)
,
故无论
a
为何值,
该直线恒过第一象限.
例 2 已知直线 l: ax + y + 2 = 0, 点
A (- 2, 1)、B (3, 2) , 当直线 l 与线段A B 相交
时, 求实数 a 的取值范围.
这样在 △O Z 2Z 4 中, Z 4O + O Z 2 = 2 为不变量, 在条件 0 < k < 2 及 z 1 + z 2 + z 3 = 0 下, 如果固定 O Z 1 则 z 4 的轨迹为以 O、Z 1 为 焦点, 2a = 2 的椭圆, Η的最大值为 60°(当 z 2
=
z 3 时) , Η的最小值为 0°(当 z 2
=
1 或3 22
时, 此时 Z 1、Z 2、Z 3 共线) , 因为 Χ- Β= 180°-
Η, 所以当 k = 1 时 co s (Β- Χ) 取最大值 -
1 2
,
(Χ- Β = 120°) ;
当k =
1 2
或3 2
时, co s (Β -
Χ) 取最小值
- 1, (Χ- Β = 180°).
8 运用“点与曲线的位置关系不变”突破解 题难点
为4
5 , 此时 m = -
3 4
.
(收稿日期: 1999—04—14)
解析几何中设而不求的若干途径
102601 北京美亚学校 王芝平
平面解析几何是在平面坐标系的基础
上, 借助代数方法来研究几何问题的一门数
学学科, 因此代数运算便不可避免地出现在
解析几何的解题过程之中, 若方法不当, 就会
使解题过程繁琐冗长, 直接影响解题速度和
例 2 已知直线 l: y = ax + 2 和两点 A (1, 4)、B (3, 1) , 若直线 l 与线段A B 相交, 求 实数 a 的取值范围.
分析 通常的解法是先求出直线 l 与 A B 的交点坐标, 然后, 根据其坐标的范围解 不等式组求出 a 的取值范围. 若换个角度思考 问题, 利用交点 P 在线段A B 上来确定 a 的取 值范围会更简捷.
18
中学数学 1999 年第 9 期
O Z 1、O Z 2 和O Z 3 应构成首尾顺次相接的三角 形O Z 1Z 4, 再仔细观察 z 1 = 1, z 2 = k , z 3 = 2 - k , 由 k ∈ (0, 2) 是变量知 z 2 = k , z 3 = 2 - k 也是变量, 但是 z 2 + z 3 = 2 却是 不变量, 这是问题的关键.
例 10 双曲线 x 2 -
y2 3
=
1 的右焦点为
F , 右准线为 l, 以 F、l 为对应焦点和准线的椭
圆截直线 y = k x + 2 所得的弦恰好被 x 轴平
分, 求 k 的取值范围.
分析 按常规, 本题应选用椭圆的离心
率为参数, 先由椭圆第二定义求出椭圆方程,
再利用隐含条件: 直线 y = k x + 2 过椭圆中
解 设交点 P (x 0, y 0) 分A B 的比为 Κ, 则
x0 =
1+ 1+
3ΚΚ,
y0 =
4+ 1+
ΚΚ.
∵ 点 P (x 0, y 0) 在直线 l 上,
∴ 4 + 1+
ΚΚ=
a
×1+ 1+
3ΚΚ+
2,
解得 Κ=
21+
3aa.
而点 P 内分A B , 故 Κ≥ 0,
∴ 2 1+
结果的准确性. 如何避免非必要的运算, 简化
解题过程呢? 在解析几何中用设而不求的方
法可简化运算.
1 应用曲线和方程的关系
例 1 求经过两条曲线 x 2 + y 2 + 3x - y
= 0 和 3x 2 + 3y 2 + 2x + y = 0 交点的直线的
方程.
分析 一般的解法是求出两曲线的交点
1999 年第 9 期 中学数学
19
分析 此题若按常规思路, 运用点到直 线的距离求解, 则运算量很大, 且很难算出结 果, 若将已知直线的方程理解为直线系方程, 考虑到直线系过定点, 则可使此题巧妙获解.
证明 将直线方程按参数 Κ整理得 (2x - y - 6) + Κ(x - y - 4) = 0. 故该直线系恒过二直线 2x - y - 6= 0 和 x - y - 4 = 0 的交点M , 易解得M (2, - 2) ,
(收稿日期: 1999—03—11)
运用直线系过定点巧解几何问题
637103 四川省南充龙门中学 朱 鑫
若直线 l1: A 1x + B 1y + C 1 = 0, l2: A 2x + B 2y + C 2 = 0 相交于点 A , 则方程 (A 1x + B 1y + C 1) + Κ(A 2x + B 2y + C 2) = 0 (Κ为任 意实数) 是通过 l1 和 l2 的交点的直线系方程 (除去 l2 本身). 在解析几何问题中, 有一类问 题, 如果用直线系过定点来解, 则可使问题轻 松地得以解决.
可求得 PM = 4 2 . 所以 d ≤ 4 2 (如 图 2).
而过点M 垂直 PM 的直线的方程为 x y - 4 = 0, 但无论 Κ为何值, 题设直线系方程 都不能表示直线 x - y - 4 = 0, 所以
d < 4 2. 例 4 已知圆 C: (x - 1) 2 + (y - 2) 2 = 25, 直线 l: (2m + 1) x + (m + 1) y = 7m + 4 (m 为任意实数). (1) 求证: 不论m 取什么实 数, 直线 l 与圆 C 恒相交. (2) 求直线 l 被圆 C 截得的线段的最短长度及此时 m 的值. 分析 此题若按常规方法, 联立直线和
分析 此题若按常规思路, 应先求出线 段 A B 的方程, 再和直线 l 的方程联立解方程 组, 得出交点的横坐标, 再考虑到横坐标应在 - 2 与 3 之间, 这样, 即可求出 a 的范围. 但这 种 解法过程复杂, 且易算错. 若考虑到直线 l 过定点, 运用数形结合, 可简化运算过程.
解 如图 1, 由题意知直线 l: ax + y + 2 = 0 恒过定点 P (0, - 2) , 则
这说明两条曲线的交点坐标满足二元一
次方程 7x - 4y = 0, 因此, 过已知两条曲线交
点的直线方程为 7x - 4y = 0.
设出点的坐标, 但并不求它们, 而是利用
曲线与方程的关系达到解题之目的. 这就是
所谓的“设而不求”.
2 应用定点分比 Κ
当 问题与直线或线段上的点有关时, 可 用定点分比 Κ的意义设而不求, 简化运算.
k PA =
1-
(2-
2) 0
=
-
3 2
,
k PB =
2 - (- 2) 3- 0
=
4 3
.
由图 1 可知, 要使直线 l 与线段A B 相交,
则直线 l 的斜率必须满足
-
a≥
4 3
或-
a ≤-
ห้องสมุดไป่ตู้3 2
]
a ≥
3 2
或 a ≤-
4 3
.
3x - y = 0
x= ]
1 5
- x + 2y - 1 = 0
a 3a
≥
0,
即
-
1 3
<
a ≤ 2.
又 当a = -
1 3
时, 直线 l 与线段A B
交
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图 1 图 2 例 3 求证: 无论 Κ为何值, 直线 (2 + Κ) x - (1 + Κ) y - 2 (3 + 2Κ) = 0 与点 P (- 2, 2)
的距离 d 都不大于或等于 4 2 .
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例 1 求证: 无论 a 为何值, 直线 (a - 2) y = (3a - 1) x - 1 都过第一象限.
分析 此题从表面看, 觉得很难下手, 但 若将 a 看作参数, 则该直线即为直线系, 若该 直线系过的定点就在第一象限, 那么问题就 迎刃而解了.
证明 将直线方程按参数 a 进行整理 得: a (3x - y ) + (- x + 2y - 1) = 0, 这是过二直线 3x - y = 0 与 - x + 2y - 1 = 0 之交点的直线系方程. 联立: