第四章线性系统的可控性和可观性2

§4-5 线性定常连续系统的可观测性

一、可观测性的定义

定义4.4（可观测性定义）：

设线性定常连续系统的状态方程和输出方程为Bu Ax x += ，

cx y =，如果对于任

一给定的输入)(t u ，存在一有限观测时间0t t f >，使得在],[0f t t 期间测量到的)(t y ，能唯一地确定系统的初始状态)(0t x ，则称此状态是可观测的。若系统的每一个状态都是可观测的，则称系统是状态完全可观测的，简称系统是可观测的。

二、线性定常连续系统可观测性的判别准则

定理4.6：（可观测性判别准则Ⅰ）

线性定常连续系统Bu Ax x

+= ，cx y =，其状态完全可观测的充分必要条件是：

由A 、C 构成的可观测性判别矩阵

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎢⎣⎡=-1n o cA cA c Q 满秩，即

n rankQ o =

【例4.5.1】判别可观测性

（1）u x x ⎥

⎦

⎤

⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=110154 ，[]x y 11-= （2）u x x

⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=113112 ，x y ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡-=0101

（3）u x x

⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=111001 ，[]x y 11= 说明： 在定义中之所以把可观测性规定为对初始状态的确定，这是因为一旦确定了初始状态，便可根据给定输入，利用状态方程的解 ⎰

-+-=t

t d Bu t t x t t t x 0

)()()()()(00τττφφ 就可以求出各个瞬间状态。

解：（1）⎥

⎦

⎤

⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢

⎣⎡=5511cA c Q o ，21<=o rankQ ，故系统是不可观测的。 （2）⎥⎥⎥

⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=12120101cA c Q o ，22==o rankQ ，故系统是可观测的。

（3）⎥

⎦

⎤

⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢

⎣⎡=1111cA c Q o ，21<=o rankQ ，故系统是不可观测的。

定理4.7：（可观测性判别准则Ⅱ）

设线性定常连续系统Bu Ax x

+= ，cx y =，A 阵具有互不相同的特征值，则其状态完全可观测的充分必要条件是系统经非奇异变换后的对角标准型

u B x x n +⎥⎥

⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡=λλ001

， x c y =

中的矩阵c 中不含元素全为零的列。

【例4.5.2】判别可观测性

（1）u x x ⎥⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=100300020001 ，[]x y 235= 解：系统可观测。

（2）u x x ⎥⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=100300020001 ，[]x y 035= 解：系统不可观测。

定理4.8：（可观测性判别准则 Ⅲ）

设线性定常连续系统Bu Ax x

+= ，cx y =，A 阵具有重特征值，且每一个特征值只对

应一个独立特征向量，则系统状态完全可观测的充分必要条件是系统经非奇异变换后的约当标准型

u B x J J x K +⎥⎥

⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡=001

， x c y = 中的矩阵c 中与每个约当小块),,2,1(k i J i =首列相对应的那些列的元素不全为零。

【例4.5.3】判别可观测性

（1）x x ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡--=2012 ， []x y 01= 解：

（1）系统状态可观测。 （2）x x

⎥

⎦

⎤

⎢⎣⎡--=2012 ， []x y 10= 解：（2）系统状态不可观测。 （3）x x ⎥⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎣⎡--=500020012 ， x y ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡-=100002 解：（3）可观测。 （4）x x ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----=200001200001200000100001

1 ，[]x y 00205= 解：

（4）可观测。 三、可观测标准型

一个可观测系统，当A 、C 阵不具有可观测标准型时，可选择适当的变换化为可观测标准型。

动态方程中，A 、C 阵具有如下形式，称为可观测标准型。

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤⎢⎢⎢

⎢⎣

⎡---=-1101001

00n a a a A

，[]1000 =C

§4-6 线性定常离散系统的可观测性

一、离散系统可观测性定义

定义4.5（线性定常离散系统可观测性定义）：

对于线性定常离散系统

)()()1(k Hu k Gx k x +=+，)()(k Cx k y =

若能够根据输入向量)1(,),1(),0(-n u u u 及在有限采样周期内测量到的输出向量序列

)1(,),1(),0(-n y y y ，可以唯一地确定出系统的任意初始状态)0(x ，则称系统是状态完

全可观测的，简称系统是可观测的。

二、离散系统可观测性判据

定理4.9：（离散系统可观测性判据）

线性定常离散系统

)()()1(k Hu k Gx k x +=+，)()(k Cx k y = 其状态完全可观测的充分必要条件是：可观测性判别矩阵

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤⎢⎢⎢

⎢⎣⎡=-1n o CG CG C Q 满秩，即

n rankQ o =

【例4.6.1】设离散系统G 、C 为

⎥⎥

⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=210021302

G ， ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=010001C 试判别其可观测性。

解：可观测性判别矩阵为

⎥⎥⎥

⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎢⎣⎡---=⎥⎥

⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=34012340213020100012CG CG C Q o n rankQ o ==3，故系统是可观测的。

【例4.6.2】已知线性定常离散系统的动态方程为

)(112)(203120101)1(k u k x k x ⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=+ [])(010)(k x k y =

试判断系统的可观测性，并讨论可观测性的物理解释。

解：可观测性判别矩阵