(完整版)高等数学(上)重要知识点归纳

高等数学（上)重要知识点归纳

第一章 函数、极限与连续

一、极限的定义与性质 1、定义（以数列为例）

,,0lim N a x n n ∃>∀⇔=∞

→ε当N n >时，ε<-||a x n

2、性质

(1） )()()(lim 0

x A x f A x f x

x α+=⇔=→,其中)(x α为某一个无穷小。 （2)（保号性）若0)(lim 0

>=→A x f x

x ,则,0>∃δ当),(0δx U x o

∈时，0)(>x f 。 （3)*无穷小乘以有界函数仍为无穷小。

二、求极限的主要方法与工具 1、＊两个重要极限公式 (1)1sin lim

=∆∆→∆ （2)e =◊

+װ

→◊)1

1(lim 2、两个准则 （1） ＊夹逼准则 （2)单调有界准则 3、＊等价无穷小替换法

常用替换：当0→∆时

（1)∆∆~sin (2)∆∆~tan

(3)∆∆~arcsin (4)∆∆~arctan

（5）∆∆+~)1ln( （6）∆-∆~1e （7）22

1

~cos 1∆∆- （8）n

n ∆-∆+~11

4、分子或分母有理化法

5、分解因式法 6用定积分定义 三、无穷小阶的比较＊ 高阶、同阶、等价

1、连续的定义＊

)(x f 在a 点连续

)()()()()(lim 0lim 0

a f a f a f a f x f y a

x x ==⇔=⇔=∆⇔-+→→∆

2、间断点的分类⎪⎪

⎪⎩

⎪⎪

⎪

⎨

⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧其他震荡型（来回波动）

）无穷型（极限为无穷大第二类但不相等）跳跃型（左右极限存在可去型（极限存在）第一类 3、曲线的渐近线*

a

x x f A y A x f a

x x =∞===→∞→则存在渐近线：铅直渐近线：若则存在渐近线：水平渐近线：若,)(lim )2(,)(lim )1(

五、闭区间连续函数性质 1、最大值与最小值定理 2、介值定理和零点定理

第二章 导数与微分

一、导数的概念 1、导数的定义＊

a f x f a f x a f y dy a f y a

x x x a x a x -=-∆+=∆==

'='→→∆→∆==)

()(lim )()(lim lim |)(|00

2、左右导数 左导数a

x a f x f x y a f a x x --=∆∆='-

-

→→∆-)

()(lim

lim

)(0 右导数a

x a f x f x y a f a x x --=∆∆='+

+

→→∆+)

()(lim

lim

)(0

3、导数的几何意义＊

k a f a x f y a x 处的切线斜率在点（曲线))(,)(|='=

4、导数的物理意义

加速度）速度）则若运动方程：()()()(,)(()()(t a t v t s t v t s t s s ='=''='= 5、可导与连续的关系： 连续，反之不然。可导→ 二、导数的运算

1、四则运算 v u v u '±'='±)( v u v u uv '+'=')( 2)(v

v u v u v u '

-'=' 2、复合函数求导 设)]([x f y ϕ=，一定条件下

x

u u y dx

du

du dy dx dy ''== 3、反函数求导 设)()(1y f x x f y -==和互为反函数,一定条件下：y

x x y '='1 4、求导基本公式*（要熟记)

5、隐函数求导* 方法：在0),(=y x F 两端同时对x 求导,其中要注意到:y 是

中间变量，然后再解出y '

6、参数方程确定函数的求导*

⎩⎨

⎧==)

()

(t y y t x x 设，一定条件下

3

)()(,t t t t t t t

t t x

x

t t x x x y x y x x y dx y d y x y dx dy y ''''-'''=''''

='=''''=='（可以不记）

7、常用的高阶导数公式

（1）...)2,1,0(),2

sin(sin )(=+=n n x x n π

（2）...)2,1,0(),2

cos(cos )

(=+=n n

x x n π

（3）...)12(,)

1()!

1()

1()1(ln 1

)

(=+--=+-n x n x n

n n （4）...)2,1,0(,)

1(!)1()11(1

=+-=++n x n x n n n （5）（莱布尼茨公式）∑=-=n

k k k n k n n v u C uv 0

)()()

()(

三、微分的概念与运算 1、微分定义 ＊

若)(x o x A y ∆+∆=∆，则)(x f y =可微，记Adx x A dy =∆=

2、公式：dx x f x x f dy )()('=∆'=

3、可微与可导的关系＊ 两者等价

4、近似计算 当较小时，

||x ∆dy y ≈∆，x x f x x f x f ∆'+∆+≈)()()(

第三章 导数的应用

一、微分中值定理＊

1、柯西中值定理＊

)

()()

()()()(),,,0)(3),()()()2(],[)()()1(a g b g a f b f g f b a x g b a x g x f b a x g x f --=

''∈∃≠ξξξ使得：（则：

）（内可导在、上连续在、

当取x x g =)(时，定理演变成: