等比数列知识点总结

等比数列

知识梳理：

1、等比数列的定义：()()*1

2,n

n a q q n n N a -=≠≥∈0且，q 称为公比 2、通项公式：

()11110,0n n

n n a a a q q A B a q A B q

-==

=⋅⋅≠⋅≠，首项：1a ；公比：q

推广：n m

n m n n n m m a a a q q q a --=⇔=

⇔=3、等比中项：

（1）如果,,a A b 成等比数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项，即：

2

A ab =

或A =注意：同号的两个数才有等比中项，并且它们的等比中项有两个（两个等比中项

互为相反数）

（2）数列{}n a 是等比数列2

11n n n a a a -+⇔=⋅

4、等比数列的前n 项和n S 公式：

（1）当1q =时，1n S na =

（2）当1q ≠时，()11111n n n a q a a q

S q

q

--=

=

--

11''11n n n a a

q A A B A B A q q

=

-=-⋅=---（,,','A B A B 为常数） 5、等比数列的判定方法：

（1）用定义：对任意的n ，都有1

1(0){}n n n n n n

a a qa q q a a a ++==≠⇔或为常数，为等比数列

（2）等比中项：2

1111(0){}n n n n n n a a a a a a +-+-=≠⇔为等比数列

（3）通项公式：()0{}n

n n a A B A B a =⋅⋅≠⇔为等比数列

6、等比数列的证明方法：

依据定义：若

()()*1

2,n

n a q q n n N a -=≠≥∈0且或1{}n n n a qa a +=⇔为等比数列 7、等比数列的性质：

（1）当1q ≠时

①等比数列通项公式()1

110n n

n n a a a q q A B A B q

-==

=⋅⋅≠是关于n 的带有系数的类指数函数，底数为公比q ；

②前n 项和()111111''1111n n n n n n a q a a q a a S q A A B A B A q

q q q

--=

=-=-⋅=-----，系

数和常数项是互为相反数的类指数函数，底数为公比q 。

（2）对任何*

,m n N ∈，在等比数列{}n a 中，有n m n m a a q -=，特别的，当1m =时，便得

到等比数列的通项公式。因此，此公式比等比数列的通项公式更具有一般性。

（3）若*

(,,,)m n s t m n s t N +=+∈，则n m s t a a a a ⋅=⋅。特别的，当2m n k +=时，得

2n m k a a a ⋅= 注：12132n n n a a a a a a --⋅=⋅=⋅⋅⋅

（4）数列{}n a ，{}n b 为等比数列，则数列{}n

k

a ，{}n k a ⋅，{}k n a ，{}n n k a

b ⋅⋅，{}n n a b （k

为非零常数）均为等比数列。

（5）数列{}n a 为等比数列，每隔*

()k k N ∈项取出一项23(,,,,)m m k m k m k a a a a +++⋅⋅⋅仍为等比数列

（6）如果{}n a 是各项均为正数的等比数列，则数列{log }a n a 是等差数列 （7）若{}n a 为等比数列，则数列n S ，2n n S S -，32,n n S S -⋅⋅⋅，成等比数列

（8）若{}n a 为等比数列，则数列12n a a a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅，122n n n a a a ++⋅⋅⋅⋅⋅⋅，21223n n n a a a ++⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅成等比数列

（9）①当1q >时，110{}0{}{

n n a a a a ><，则为递增数列

，则为递减数列

②当1q <0<时，110{}0{}{n n a a a a ><，则为递减数列，则为递增数列

③当1q =时，该数列为常数列（此时数列也为等差数列）； ④当0q <时,该数列为摆动数列.

（10）在等比数列{}n a 中，当项数为*

2()n n N ∈时，

1

S S q

=奇偶

二 例题解析

【例1】 已知S n 是数列{a n }的前n 项和，S n ＝p n (p ∈R ，n ∈N*)，那么数列{a n }．（ ）

A ．是等比数列

B ．当p ≠0时是等比数列

B ．

C ．当p ≠0，p ≠1时是等比数列

D ．不是等比数列

【例2】 已知等比数列1，x 1，x 2，…，x 2n ，2，求x 1·x 2·x 3·…·x 2n ．

【例3】 {a }(1)a =4a n 25等比数列中，已知，＝－，求通项公1

2

式；(2)已知a 3·a 4·a 5＝8，求a 2a 3a 4a 5a 6的值．

【例4】 设a 、b 、c 、d 成等比数列，求证：(b －c)2＋(c －a)2＋(d －b)2＝(a －d)2． 【例5】 求数列的通项公式：

(1){a n }中，a 1＝2，a n+1＝3a n ＋2

(2){a n }中，a 1=2，a 2＝5，且a n+2－3a n+1＋2a n ＝0

三 考点分析

考点一：等比数列定义的应用

1、数列{}n a 满足()1123

n n a a n -=-≥，14

3a =，则4a =_________．

2、在数列{}n a 中，若11a =，()1211n n a a n +=+≥，则该数列的通项n a =______________．

考点二：等比中项的应用

1、已知等差数列{}n a 的公差为2，若1a ，3a ，4a 成等比数列，则2a =（ ） A ．4- B ．6- C ．8- D ．10-

2、若a 、b 、c 成等比数列，则函数2

y ax bx c =++的图象与x 轴交点的个数为（ ） A ．0

B ．1

C ．2

D ．不确定

3、已知数列{}n a 为等比数列，32a =，2420

3

a a +=

，求{}n a 的通项公式． 考点三：等比数列及其前n 项和的基本运算

1、若公比为23的等比数列的首项为98，末项为1

3

，则这个数列的项数是（ ）

A ．3

B ．4

C ．5

D ．6

2、已知等比数列{}n a 中，33a =，10384a =，则该数列的通项n a =_________________．

3、若{}n a 为等比数列，且4652a a a =-，则公比q =________．

4、设1a ，2a ，3a ，4a 成等比数列，其公比为2，则

12

34

22a a a a ++的值为（ ）