11因式分解 完全平方公式
完全平方公式法因式分解
1.
7.(1)已知a－b＝3，求a(a－2b)＋b2的值； (2)已知ab＝2，a＋b＝5，求a3b＋2a2b2＋ab3的值．
8.(1)已知a－b＝3，求a(a－2b)＋b2的值； (2)已知ab＝2，a＋b＝5，求a3b＋2a2b2＋ab3的值． 解：(1)原式＝a2－2ab＋b2＝(a－b)2. 当a－b＝3时，原式＝32＝9. (2)原式＝ab(a2＋2ab＋b2)＝ab(a＋b)2.
利用公式把某些具有特殊形式（如平方差式， 完全平方式等）的多项式分解因式，这种分解因式 的方法叫做公式法.
因式分解的平方差公式： a2-b2=(a+b)(a-b)
因式分解的完全平方公式：
a2+2ab+b2= (a+b) 2
a2－2ab+b2= (a－b) 2
例3：因式分解： (1)－3a2x2＋24a2x－48a2；
3. 完全平方公式： (a+b) 2 =a2+2ab+b2.
(a－b) 2 =a2-2ab+b2
完全平方公式： (a+b) 2=a2±2ab+b2.
1.整式的乘法 (1). (p+1) 2 = ______ (2). (m+2) 2 =______ (3). (p-1) 2 =______ (4). (m-2) 2 =______ (5). (a+b) 2 =_______ (6). (a-b) 2 =_______
(1).两个数的平方和加上这两个数的积的2倍， 等于这两个数的和的平方;
(2).两个数的平方和减去这两个数的积的2倍， 等于这两个数的差的平方.
特点:1.共有三项、2.有两个平方项、 3.另一项两个数乘积的正或负2倍。
因式分解-完全平方公式
a +2ab+b =3a(x+y)2
2
2
(3)-x +4xy-4y 解:原式=-(x2_4xy+4y2) 2_ 2 =-[x 2x2y+(2y) ] a 2 a b + b 2 =-(x-2y)
2_ 2
注意： 用完全平方公式分解因式： 首先要考虑能不能提取 公因式。然后观察是否 符合完全平方公式。当 平方项系数为负数时，应 先将负号提出来。
一 号 题
二 号 题
三 号 题
1号题： 对下列式子因式分解并填空： (a+3)2 ① a2+6a+9 = ________________ -s2-t2+2st=_____________ -(s-t)2 (m+n)2+4m(m+n)+4m2=___________ (3m+n)2
2号题 因式分解下列各题：
(1)-x2+2xy-y2
(2)x2-6xyz+9y2z2
(3)(x+y)2+6(x+y)+9
3号题 用简便算法计算： 20052-4010×2003+20032 的值。
用完全平方公式分解获？
1、完全平方式 a
2
2ab b
2
及特征；
2、用完全平方公式分解因式。
用完全平方公式分解因式
a 2ab b
2
2
之辨析篇
例1.判别下列各式是不是完全平方式． x2+y2 不是 x2-2xy-y2 不是
2 2 - 2 是
x2 2xy y 2 是
讨论：完全平方式有什么特点？
因式分解--公式法(2)完全平方公式
注意结 构特征
( 4x 3)2
(a + b )2
a2 ± 2 . a . b + b2 =（ a ± b)²
例5 分解因式： 首 2 2 首 尾 尾 2 (首 尾 )2
(2)x24x y4y2. 分析：原式= (x24xy4y2 )
注意符号
[x 2 2 x (2 y ) (2 y )2 ]
黄金中学 程珊
问题：通过这个图形我们可以联想到哪个乘法公式？
(ab)2 a22ab b2
整式乘法
(a b)2 a22ab b2 (ab)2 a22ab b2
因式分解
这两个公式叫做(因式分解的)完全平方公式.
两个数的平方和加上（或减去）这两个数的 积的2倍,等于这两数的和（或差）的平方．
利用公式法因式分解的一般步骤：
1.一提：先观察要分解的多项式有无公因 式， 首先考虑：提公因式 2.二套：即套公式。提完公因式后或没有 公因式，就看项数.
若两项，考虑能否用 平方差公式 若三项，考虑能否用 完全平方公式 ３.三查：检查。分解因式，必须进行到 每一个多项式因式都不能 再分解为止.
注意：公式中的字母既可以表示单项式，也可以表示
多项式 .
为更好方便交通管理，准备将原正方形区域位置扩大成 更大区域，位置扩大后仍为正方形，面积达到 (a2b)2，请 你画出扩大后图形并用因式分解的方法验证其面积大小．
解：验扩证大方后法的1区：域如图所示：
(ab)22(ab)bb2
a 2 2 a b b 2 2 a 2 b 2 b 2 a24a b4b2 a+b
因式分解 的方法
数学思 想方法
整体思想 逆向思维
因式分解中的完全平方公式
对于简单题型，首先要识别出多项式是否符合完 全平方公式的形式，然后确定$a$和$b$的值， 最后按照公式进行因式分解。
复杂题型解析及思路点拨
例题
$4x^2 + 12xy + 9y^2 - 25$
解析
思路点拨
观察该多项式，可以发现前三项 符合完全平方公式$a^2 + 2ab + b^2$的形式，其中$a = 2x, b = 3y$，而最后一项是常数项。因此， 可以将前三项因式分解为$(2x + 3y)^2$，然后与常数项组合进行 进一步的因式分解。
提取公因式法应用
01
在多项式中识别公因式，并将其 提取出来。这有助于简化多项式 ，并使其更容易识别出完全平方 项。
02
对提取公因式后的多项式进行观 察，判断是否可以通过完全平方 公式进行因式分解。
分组分解法应用
将多项式中的项进行分组，使 得每组内部能应用完全平方公 式。分组的方式可以根据多项 式的特点灵活选择。
对每个分组应用完全平方公式 进行因式分解，得到分组内的 因式。
将各分组的因式相乘，得到整 个多项式的因式分解结果。
04 典型例题解析与技巧指导
简单题型解析及思路点拨
1 2 3
例题
$x^2 + 2x + 1$
解析
观察该多项式，可以发现它符合完全平方公式 $a^2 + 2ab + b^2$的形式，其中$a = x, b = 1$。
教师点评和总结归纳
针对学生完成情况，教师给予及时的点评和反馈，指出学生在解题过程中的优点和 不足。
教师总结完全平方公式在因式分解中的应用及注意事项，强调公式运用的灵活性和 多样性。
教师可结合学生实际情况，对部分难题进行详细讲解和示范，帮助学生更好地理解 和掌握完全平方公式。
公式法之完全平方公式
公式法之完全平方公式完全平方公式是解一元二次方程的重要工具，它的形式可以表示为：\[a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2\]其中，\(a\)和\(b\)都是实数。
完全平方公式的应用很广泛，特别是在解二次方程和因式分解中起着重要的作用。
下面我们将详细介绍完全平方公式的推导和应用。
一、完全平方公式的推导：假设我们要解方程\(x^2+6x+9=0\)。
这个方程左边的三个项\(x^2\)、\(6x\)和\(9\)构成了一个完全平方，可以写成\[(x+3)^2=0\]。
通过观察可以发现，\(x+3\)是一个完全平方的形式。
现在我们来验证一下。
将\((x+3)\)展开进行乘法运算，得到的结果为\[x^2+3x+3x+9=x^2+6x+9\]。
可以看出，它们的确是相等的。
由此我们可以得到，当一个二次方程 \(x^2 + bx + c = 0\) 可以写成 \((x + \frac{b}{2})^2 = 0\) 的形式时，就可以应用完全平方公式来求解它。
进一步来推导完全平方公式的一般形式。
我们假设一个一元二次方程 \(ax^2 + bx + c = 0\)，其中 \(a\neq 0\)。
首先，我们将方程两边同时除以 \(a\)，得到：\[x^2 +\frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = 0\]。
然后，我们观察到 \(\frac{b}{a}x\) 这一项和 \(\frac{c}{a}\) 是关于 \(x\) 的一个完全平方，即：\[(x + \frac{b}{2a})^2 -\frac{b^2}{4a^2} + \frac{c}{a} = 0\]。
整理一下，得到：\[(x + \frac{b}{2a})^2 = \frac{b^2 -4ac}{4a^2}\]。
再将等式两边同时开方，我们可以得到：\[x + \frac{b}{2a} = \pm \frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\]。
完全平方公式因式分解
灵活应用: 灵活应用:
(1)2006 − 6
2 2 2 2
2
(2)13 − 2 ×13 × 3 + 9 (3)11 + 39 + 66 ×13
小结
应用范围: 二次三项式. 应用范围 二次三项式 注意:(1)正确选取 正确选取a,b. 注意 正确选取 (2)公式分清 公式分清. 公式分清 (3)在因式分解中 (3)在因式分解中，通常先观察 在因式分解中， 所给多项式是否有公因式， 所给多项式是否有公因式， 然后在考虑用公式。 然后在考虑用公式。 （4）二项式若有负号，要提出符号 ）二项式若有负号， (5)对于部分题目需要整理变形 对于部分题目需要整理变形
注意: 注意
(1)正确选取 正确选取a,b. 正确选取 (2)公式分清 公式分清. 公式分清
分解因式
(1)3am + 3an + 6amn
2 2
(2) − a
2
− 4b + 4ab
2
2
(3) -8a(2a+b)-b
应用范围: 二次三项式. 应用范围 二次三项式 注意:(1)正确选取 注意 正确选取a,b. 正确选取 (2)公式分清 公式分清. 公式分清 (3)在因式分解中，通常先观察 在因式分解中， 在因式分解中 所给多项式是否有公因式， 所给多项式是否有公因式， 然后在考虑用公式。 然后在考虑用公式。 （4）二项式若有负号，要提出符号 ）二项式若有负号， (5)对于部分题目需要整理变形 对于部分题目需要整理变形
2 就得到
a + 2ab + b = (a + b) 2 2 2 a − 2ab + b = (a − b )
a + 2ab+ b = (a+ b) 2 2 2 a − 2ab+ b = (a − b )
完全平方公式因式分解
完全平方公式因式分解
完全平方公式即(a+b)²=a²+2ab+b²、(a-b)²=a²-2ab+b²。
该公式是进行代数运算与变形的重要的知识基础，是因式分解中常用到的公式。
该知识点重点是对完全平方公式的熟记及应用，难点是对公式特征的理解(如对公式中积的一次项系数的理解等）。
完全平方公式：
两数和的平方，等于它们的平方和加上它们的的积的2倍。
（a+b）²=a²﹢2ab+b²
两数差的平方，等于它们的平方和减去它们的积的二倍。
﹙a－b﹚²=a²﹣2ab+b²
扩展：
掌握用完全平方公式因式分解的特征.
(1)完全平方式：形如的多项式称为完全平方式.
(2)完全平方公式：公式中的a，b不仅可以表示数字、_____, 也可以是_____.
(3)公式的特征：左边由三项组成，其中有两项分别是某两个数（或式）的平方，另一项是上述两数（或式）的_____，符号可正可负；右边是两项和（或差）的平方.
【解析】
完全平方公式：.公式中的a,b，不仅可以表示数字、单项式，也可以是多项式.
(公式的特征：左边由三项组成，其中有两项分别是某两个数（或式）的平方，另一项是上述两数（或式）的乘积的倍，符号可正可负；右边是两项和（或差）的平方. 【答案】
(2)单项式，多项式.(3)乘积的倍.。
冀教版七年级下册数学第11章 因式分解 用完全平方公式分解因式
2
知3－讲
总结
知2－讲
因式分解时，要注意综合运用所学的分解方法， 常用的分析思路是：①提公因式法；②公式法．有 时，需要反复利用公式法因式分解，直至每一个因式 都不能分解为止．注意综合利用乘法公式，既用到平 方差公式又用到完全平方公式．
知2－练
1 把下列各式分解因式： (1)6xy－x2－9y2；(2)－m3＋2m2－m； (3)3x2－6x＋3； (4)4xy2＋4x2y＋y3.
知2－练
2 把下列各式分解因式： (1)x2－6x(y－z)＋9(y－z)2； (2)(a＋b)2－4(a＋b)c＋4c2.
解：(1)x2－6x(y－z)＋9(y－z)2＝x2－2·x·3(y－z)＋[3(y －z)]2＝[x－3(y－z)]2＝(x－3y＋3z)2.
(2)(a＋b)2－4(a＋b)c＋4c2＝(a＋b－2c)2.
知2－练
6 把2xy－x2－y2分解因式，结果正确的是( C ) A．(x－y)2B．(－x－y)2 C．－(x－y)2D．－(x＋y)2
7 把多项式(a＋b)2－4(a2－b2)＋4(a－b)2因式分解的 结果为C( ) A．(3a－b)2B．(3b＋a)2 C．(3b－a)2D．(3a＋b)2
解：(1) ax2＋2a2x＋a3；
＝a(x2＋2ax＋a2)
＝a(x＋a)2.
(2) (x＋y)2－4(x＋y)＋4.
＝ (x＋y)2－2·(x＋y)·2＋22
＝ (x＋y－2)2.
(3) (3m－1)2＋(3m－1)＋1
4 ＝ (3m－1)2－2·(3m－1)·
＝
3m
1 2
2
.
1 2
1 2
例1 判断下列多项式是否为完全平方式．
完全平方公式分解因式
完全平方公式分解因式在代数学中，完全平方公式是一种因式分解方法，用于将一个二次三项式分解为两个二次项的乘积。
它由以下公式给出：a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2其中a和b是任意实数。
在这篇文章中，我们将详细介绍完全平方公式的应用和证明，并提供一些例子来帮助读者理解。
首先，让我们来看看为什么这个公式成立。
我们将用代数的方法来证明它。
首先，考虑一个二次三项式(a+b)^2、根据乘法法则，我们可以将其展开为：(a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a(a + b) + b(a + b) = a^2 + ab + ab + b^2 = a^2 + 2ab + b^2我们可以看到，展开后得到的结果是一个完全平方公式。
因此，我们证明了完全平方公式的正确性。
现在，让我们用完全平方公式来分解一些二次三项式。
考虑以下的二次三项式：x^2+6x+9我们注意到，这个三项式是一个完全平方公式。
具体来说，它可以分解为：x^2+6x+9=(x+3)^2通过使用完全平方公式，我们可以将一个二次三项式化简为一个更简单的二次项表达式。
这在解决数学问题和方程时非常有用。
接下来，我们将提供一些例子，以帮助读者更好地理解完全平方公式的应用。
例子1：将二次三项式x^2+10x+25分解为两个二次项的乘积。
根据完全平方公式，我们可以将其分解为：x^2+10x+25=(x+5)^2因此，x^2+10x+25可以写成(x+5)^2的形式。
例子2：将二次三项式4x^2-12x+9分解为两个二次项的乘积。
首先，我们要注意到这个三项式不是一个完全平方公式。
因此，我们需要找到适当的因式分解方法。
我们可以使用因式分解法将其分解为两个一次项的乘积：4x^2-12x+9=(2x-3)(2x-3)通过展开右边的表达式，我们可以验证等式的正确性。
因此，4x^2-12x+9可以写成(2x-3)^2的形式。
总结起来，完全平方公式是一种因式分解方法，用于将二次三项式分解为两个二次项的乘积。
111111完全平方公式进行因式分解一ppt课件
2 2
2
(2) 49b a 14ab (3) a 10a 25
2 3 2 2 3
(4) 4 x y 4 x y xy
例2：因式分解
(1) x 18 x 81
4 2
(2)
(2 x y ) 6(2 x y ) 9
2
（３）
1 2 2 x 3xy 9 y 4
2 2
(x 7)
2
(2)
(m n) 6(m n) 9
2
原式 (m n) 2 2 (m n) 3 32 解：
(m n 3) 2
请运用完全平方公式把下 列各式分解因式： 2 2 1 x 4 x 4 原式 x 2 2 2 2 a 6a 9 原式 x 3 2 2 3 4a 4a 1 原式 2a 1 2 2 2 4 9m 6mn n 原式 3m n
2
a表示：2x+y b表示：3
(2 x y) 2 2 (2 x y) 3 32
( 2 x y 3) 2
填一填
多项式
x2 6x 9
是否是完全 平方式
是
是
4 y 4 y 1
2
a、b各表 表示（a+b）2 示什么 或（a－b）2 a表示x， ( x 3) 2 b表示3 a表示2y， ( 2 y 1) 2 b表示1
9a b 3ab 1
2 2
是否是完全 平方式
a、b各表 示什么
表示（a+b）2 或（a－b）2
是 否
a表示x， b表示1/2
1 2 (x ) 2
因式分解(完全平方公式)
完全平方公式的形式
1 一般形式
对于平方三项式\(ax^2 + bx + c\)，完全平方公式的形式为\((mx + n)^2\)。
2 m和n的计算
通过比较系数，我们可以确定m和n的值。具体计算步骤在下个部分介绍。
完全平方公式的用途
1 求解方程
通过因式分解和完全平方公式，我们可以解决一些复杂的二次方程。
因式分解(完全平方公式)
因式分解是将一个多项式拆分成两个或多个全新的多项式的过程。完全平方 公式是因式分解中的一种重要工具，用于拆分平方三项式。
因式分解概述
因式分解是一种数学方法，用于将多项式拆分成简化形式。它有助于解决复杂的数学问题，并提 供更深入的理解。
完全平方公式 (简介)
完全平方公式是因式分解中的一种特殊形式。它适用于拆分平方三项式，并 帮助我们轻松地进行因式分解。
金融问题
在金融领域，完全平方公式可以帮助我们计算和分析复杂的财务模型。
结论和要点
完全平方公式是因式分解中一种重要的工具，它适用于拆分平方三项式。它 可以用于解决方程，简化表达式，并应用于几何学、物理学和金融学等领域。
2 简化表达式
将多项式使用完全平方公式进行因式分解可以简化表达式，使其更易处理和计算。
完全平方公式示例
示例一
将\(x^2 + 6x + 9\)使用完全平方公式进行因式 分解。
示例二
将\(4x^2 - 4x + 1\)使用完全平方公式进行因式 分解。
完全平方公式计算步骤
1
Step 1
将多项式按照平方三项式的形式排列。
2
Step 2
确定m和n的值，使得(mx + n)^2等于原始多项式。
冀教版初中数学七年级下册教学课件 第十一章 因式分解 公式法(第2课时)
A.4
B.-4
C. 9
D.- 9
4
4
解析:因为|3x+4|+y2-6x+9=0,所以|3x+4|+(y3)2=0,所以x=- 4 ,y=3,所以xy=-4.故选B.
3
3.因式分解:-2x2y+12xy-18y= -2y(x-3)2 .
解析:先提取公因式,再根据完全平方公式进行 二次分解即可解答.-2x2y+12xy-18y=-2y(x26x+9)=-2y(x-3)2.故填-2y(x-3)2.
4.分解因式. (1)4-4a+a2; (2)16x2y2+24xy+9; (3)x3y+2x2y2+xy3.
解:(1)4-4a+a2=(2-a)2. (2)16x2y2+24xy+9=(4xy+3)2. (3)x3y+2x2y2+xy3=xy(x2+2xy+y2)=xy(x+y)2.
(2)(x+y)2-4(x+y)+4=(x+y)2-2·(x+y)·2+22=(x+y-2)2.
1
(3)(3m-1)2+(3m-1)+ 4 =(3m-1)2+2·(3m-1)·
1 2
1 2
2
3m
1
1 2
2
3m
1 2
2
.
知识小结
运用完全平方公式把一个多项式分解因式的主要思路与 方法: (1)首先要观察、分析和判断所给出的多项式是否为一个 完全平方式,如果这个多项式是一个完全平方式,再运用 完全平方公式把它进行因式分解,有时需要先把多项式经 过适当变形,得到一个完全平方式,然后再把它因式分解.
因式分解完全平方公式课件
将一个多项式化为几个整式的积的形式。
平方差公式
$a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$
因式分解完全平方公式的难点解析
如何识别和应用完全平方公式
在解决数学问题时，需要观察和识别出符合完全平方公式结 构的特点，然后正确应用公式进行因式分解。
如何处理复杂的多项式
在因式分解过程中，需要正确处理多项式的各项，确保每项 都符合因式分解的规则，同时保持等式的平衡。
因式分解完全平方公式的应用前景展望
在数学教育中的应用
因式分解完全平方公式是中学数学的重 要内容，对于培养学生的逻辑思维和数 学能力具有重要意义。随着教育改革的 深入，因式分解完全平方公式的应用将 更加广泛。
VS
在其他领域的应用
因式分解完全平方公式不仅在数学领域有 广泛应用，还在物理学、工程学等领域中 有所应用。例如，在解决物理问题时，可 以利用因式分解完全平方公式简化复杂的 物理表达式；在计算机科学中，因式分解 完全平方公式也可以用于算法优化和数据 结构的设计。
完全平方公式的特点
完全平方公式展开后，各项的次数均 为2，且常数项是首项和末项系数之积 的二倍。
因式分解的定义
因式分解
将一个多项式表示为几个整式的积的形式，称为因式分解。因式分解是代数式 的一种重要恒等变形，通过因式分解可以将复杂的表达式简化。
因式分解的方法
提取公因式法、分组分解法、十字相乘法、公式法等。
04
因式分解完全平方公式的 练习题及解析
基础练习题及解析
总结词：掌握基础
解析：这些题目考察了完全平方公式的 基础应用，需要掌握公式结构，理解每 一项的含义。
练习题3：(a+b)^2=多少
练习题1：x^2+4x+4=多少 练习题2：a^2+2ab+b^2=多少
因式分解(完全平方公式)
因式分解——完全平方式翠英中学蔡妙璇教学目标：1．知识与技能：领会运用完全平方公式进行因式分解的方法，发展推理能力．2．过程与方法：经历探索利用完全平方公式进行因式分解的过程，感受逆向思维的意义，掌握因式分解的基本步骤．3．情感、态度与价值观：培养良好的推理能力，体会“化归”与“换元”的思想方法，形成灵活的应用能力．教学重、难点与关键：1．教学重点：理解完全平方公式因式分解，并学会应用．2．教学难点：灵活地应用公式法进行因式分解．3．教学关键：应用“化归”、“换元”的思想方法，把问题进行形式上的转化，•达到能应用公式法分解因式的目的．教学方法：采用自主探究教学方法，在教师适当指导下完成本节课内容．教学过程：一、回顾交流，巩固知识．（设计意图：承前启后，为本节内容的引入作铺垫，让学生进一步了解因式分解和乘法公式的关系．）1、什么是分解因式（把一个多项式化成几个整式的乘积的形式的式子变形）2、你能回答已学过的因式分解法吗（提公因式法和平方差公式法）3、计算下列各式：2a+=)(b2)a-=(b2x+=(y4)2x-=2(y3)二、创设情境，引入新课．（设计意图：通过具体问题的解决，让学生在观察、思考和操作的过程中认识因式分解的本质属性——将完全平方式化为乘积的式子变形．）问题：灰太狼总没抓到羊，为了表示惩罚，红太狼要求它站在门外口算出992 +198+ 1的值才可进家门，可怜的灰太狼在门口冻了半天，你能帮助它吗此处运用了什么公式 2222)(b ab a b a +±=±这个公式反过来222)(2b a b ab a ±=+±就像平方差公式一样，逆用完全平方公式可以把一些多项式因式分解，从而应用它可以进行一些简便计算等．三、分析讨论，探究新知．（设计意图：通过教学，引导学生掌握找完全平方式的方法，提出“口诀”．） 我们可以利用完全平方公式来分解因式，这种方法称为“完全平方公式法”．1．公式 222)(2b a b ab a ±=+±2．文字 两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方．形如222b ab a ++和222b ab a +-的式子叫做完全平方式．3.特点：（教师引导学生说出它的特点）（1）必须是三项式（或可以看成三项式的）（2）有两个是同号的平方项（3）另一项是这两项的乘积的2倍或-2倍口诀： “首” 平方, “尾” 平方, “首” “尾”两倍在中间.4.师生辨认：下列多项式是不是完全平方式（1）962++x x ；（2）2244y x x ++；（3）229124y xy x +-随堂练习1：找出完全平方式（1）222y xy x +-；（2）ab b a 222++；（3）2244y xy x ++；（4）226b ab a +-；（5） ；（6）222y x xy --. 四、范例点击，应用所学（设计意图：通过具有一定典型性、代表性和层次性的例题与练习，提高学生对因式分解的完全平方公式法的认识，积累经验．）例1 分解因式：92416)1(2++xy x ；2244)2(y xy x -+-．思路：（1）直接用公式；（2）添括号后直接用公式.强调：因式分解过程就是把一个多项式化成几个整式的乘积的形式.随堂练习2:分解因式：12)1(2++a a ；3612)2(2++x x ；144)3(2+-x x ；222)4(y x xy ---．例2 分解因式：22363)1(ay axy ax ++ ；36)(12))(2(2++-+b a b a（1）步骤：一提（提公因式）；二套（用公式）；三查（是否彻底）；（2）教学思想方法：整体代入思想.随堂练习3:分解因式：242)1(2++x x ；3222)2(a x a ax ++；412++x x22363)3(y xy x -+-；9)(6))(4(2++++y x y x五、课堂延伸，拓展提高（设计意图：进一步让学生巩固运用完全平方公式进行因式分解，感受因式分解给计算带来的便捷，体会此方法的教学价值．）随堂练习4：选择题（1）如果224y kxy x ++可以分解为2)2(y x -，则k 的值是（ ）A 、4B 、－4C 、2D 、－2（2）如果92++mx x 是一个完全平方式，则m 的值是（ ）A 、6B 、6±C 、3D 、3±（3）多项式25)(10)(2++-+b a b a 分解因式的结果是（ ）A 、2)10(++b aB 、2)25(-+b aC 、2)5(++b aD 、2)5(-+b a随堂练习5：现在你能快速口答出119989992++的值吗六、课堂总结，发展潜能．（设计意图：通过小结，帮助学生梳理本节课所学内容．）1、到目前为止我们学习了几种因式分解的方法（1）提公因式法；（2）公式法（平方差公式、完全平方公式）.2、什么是完全平方式（1）必须是三项式（或可以看成三项的）；（2）有两个同号的平方项；（3）另一项是这两项的乘积的2倍或-2倍.简记口诀：“首” 平方, “尾” 平方, “首” “尾”两倍在中间.3、因式分解基本步骤一提（提公因式）；二套（用公式）；三查（是否彻底）.七、布置作业，专题突破．（设计意图：考查学生运用完全平方公式进行因式分解的应用情况.）暗线本作业：课本P119习题14．3复习巩固第3题．《南方新课堂》P77-78八、教学反思，不断提高．（略）。
因式分解-完全平方式
2
简化表达式
完全平方差公式可以帮助我们简化一些复杂的数学表达式，使其更易于计算。
3
证明等式Βιβλιοθήκη 在数学证明中，我们常常需要使用完全平方差公式来推导出等式的正确形式。
练习题
练习1 练习2
将以下多项式进行因式分解： $x^ 2 + 6x + 9$
计算以下表达式的值： $(3+ 2)^ 2 - (3-2)^ 2$
完全平方公式的应用
解二次方程
通过将二次方程转化为完全平 方的形式，我们可以更轻松地 找到它的根。
几何形状
对于一些常见的几何形状，我 们可以利用完全平方公式来计 算其面积和边长。
物理实验
在一些物理实验中，我们可以 使用完全平方公式来推导出一 些重要的关系。
完全平方差公式的应用
1
因式分解
通过应用完全平方差公式，我们可以将复杂的多项式因式分解为简单的乘积。
因式分解-完全平方式
因式分解是解开一个多项式的秘密的一种方法。了解完全平方数的定义和公 式，以及应用完全平方公式和完全平方差公式进行因式分解。
完全平方数的定义
完全平方数是一个整数的平方，例如4、9、16。它们可以用来方便地进行因式分解，并且在数学中经 常出现。
完全平方公式
完全平方公式
$(a+ b)^ 2 = a^ 2 + 2ab + b^ 2$
推导公式
我们可以通过展开$(a+ b)^ 2$来得到完全平方 公式，它在因式分解中起到重要的作用。
完全平方差公式
1
完全平方差公式
$a^ 2 - b^ 2 = (a+ b)(a-b)$
2
使用方法
通过将一个多项式表示为两个平方差的乘积，我们可以更容易地进行因式分解和 简化。
因式分解——完全平方公式
因式分解——完全平方公式
完全平方公式（Quadratic Formula），是一类中学数学问题，它用来求解格式为ax2+bx+c=0，a≠0 的二次方程的根（即x）的一种方法。
它的公式是：
x1 = [-b+√(b2-4ac)]/2a；
x2 = [-b-√(b2-4ac)]/2a。
二、完全平方分解
完全平方分解是一种方法对一个数进行因式分解，以求得它最原始的因式。
它让我们将一个数分解到最简单的形式，比如n²或者n²+2n+1、常见的完全平方分解公式如下：
a² +2ab +b² = (a+b)²；
a² -2ab +b² = (a-b)²；
a² +2ma + m²= (a+m)²。
它可以用于分解多项式，因为它可以有效地将多个项分解成一个项并求得它们的乘积；如果需要相减，完全平方分解也可以将一个含有两个负号的多项式分解成两部分，使其易于求和。
完全平方分解的步骤如下：
步骤一：将原式拆分成平方项的和；
步骤二：比较、选择两个数，使其和等于未被拆分的系数；
步骤三：选出两个数的积，使其和等于已被拆分的平方项；
步骤四：将拆分的平方项的和写成完全平方式；
步骤五：最后，将原式分解为完全平方式形式。
示例：
令x²-4x+4=0。
步骤一：将原式拆分成平方项的和，即x²=4x-4；
步骤二：比较、选择两个数，使其和等于未被拆分的系数;x可以选择2，4；。
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例4 利用因式分解进行计算：
(1)1×3.72 - 3.7×2.7 + 1×2.72
2
2
(2) 9.92+9.9×0.2+0.01
相信你能行
1.如果多项式x2+2mx+4是完全平方 式，求m的值.
2.已知：x
+
1 x
=
-3, 求x 4
+
1 x4
的值.
相信你能行
3.已知：a2 + b2 - 4a + 6b +13 = 0 求 a + b 的值.
复习
(2) (a-b)2= a2-2ab+b2
(3) (3-m)2= 9-6m+m2
(4) (-2x+5)2= 4x2-20x+25
(5)
1
x2-x+_4__=( X-
1)2
2
(6) 25x2+ (_-1_0_x_y_) +y2=(5x-y)2
上述问题从左到右分别是什么变形？
下列各式是不是完全平方式？
9.6 乘法公式的再认识—— 完全平方公式 因式分解(3)
1.因式分解的意义:
复习
多项式→几个整式的积的形式
2.因式分解的方法: 先考虑提公因式法. ①提公因式法:
ma+mb+mc=m(a＋b+c)
②公式法
分解到不能分解为止.
1)平方差公式: a2-b2=(a+b)(a-b)
填空 (1)（a+b)2= a2+2ab+b2
直接用公式
例2.分解因式：
(1) (a＋b)2＋2(a＋b)＋1 (2) (m+n)2-4(m+n)+4 (3) 9(m+n)2-6(m+n)+1 (4) -25(x+y)2+10(x+y)-1
直接用公式
练习：
把 (x+y)2-10(x+y)+25分解因
式
例3. 分解因式 (1) x4-2x2+1 (2) 16-8x2+x4 (3) 81x4-72x2y2+16y4 (4) -1+2x4-x8
1.你能将多项式x2+8x+16分解因式吗？
2.把乘法公式
(a+b)2=a2+2ab+b2 (a-b)2=a2-2ab+b2 反过来，就得到
整式乘法的 完全平方公式
a2+2ab+b2=(a+b)2 a2-2ab+b2=(a-b)2
因式分解的 完全平方公式源自因式分解的完全平方公式a2+2ab+b2=(a+b)2 a2-2ab+b2= (a-b)2
(4)2x2 2x 1 2
(5) 27 18a2 1 a4 3
提公因式、完全平方
例6. 分解因式
(1) (x-y)a2+2a(x-y)+(x-y) (2) 2(m+n)+8x(m+n)+8x2(m+n)
( 3) 2x3 4x2(y z) 2x(y z)2
(4) (a+b)3+2a(a+b)2+a2(a+b)
这个公式有什么特征？
左边是完全平方式,有3项,其中有 两项同号,是两数的平方和,另一项 是这两数乘积的2倍.右边是这两数 的和或差的平方
例1.分解因式： （1）x2+4x+4 （2）a2-6ab+9b2
(3) 4x2-12xy＋9y2. (4) 1+25a2b2-10ab (5) -1 -36a4-12a2
（1）a2-4a+4 (2) a2+4a+16 (3) a2-8a+16 (4) a2-6a+9 (5）9a2-3a+1 (6)a2+ab+b2 (7) 4a2+4a-1 (8) a2+ 1 ab 1 b2
24
9 m2 2m 1
请补上一项，使下列多项式成 为完全平方式
1 x2 __2_x__y__ y2
直接用公式
1.下列多项式能否分解因式？如果能，请 你将它分解因式：
（1)a2-4a+4 (3)4a2+4a-1
(2) 9a2-3a+1 (4)a2+ab+b2
练：分解因式： (1) a2-8ab+16b2 (2) 20a-25a2-4 (3) -25x4+30x2-9 (4) -9 -16a2b2-24ab
完全平方、平方差、积的乘方
例4.分解因式：
(1) (y2-1)2-6(y2-1)+9 (2) 36+(x2-3)2-12(x2-3) (3) (2-a2)2-4(a2-2)+4
完全平方、平方差、积的乘方
例5. 分解因式
(1) 3x2＋6xy＋3y2
(2) 2x2y－8xy+8y
(3) - 4a3b+24a2b-36ab
4.求证：无论a,b为何值时，代数式
a2b2 2ab 3 的值均为正值.
小结
（1）如何用完全平方公式分解因式；
（2）学会检查每一个多项式的因式都 不能分解为止
再见
2 4a2 9b2 __1_2_a_b__
3 x2 _4__x_y__ 4 y2
4 a2 __a_b____ 1 b2
4
5 x4 2x2 y2 ___y_4__
做一做
a2+8a+16=a2+2×( a )×( 4 )+( 4 )2=(a+4)2 a2-8a+16=a2- 2×(a )×(4 )+( 4 )2=(a-4 )2 9a2+12ab+4b2 =( 3a )2+2×( 3a ) ×(2b)+(2b)2=(3a+2b)2