2016年湖南省高中数学竞赛试题及答案
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
7.规定：对于 ，当且仅当 时， ．则不等式
的解集是．
答案：
提示：所求不等式为关于 的一元二次不等式．由 ，得 ，故 ，即
8.在三棱锥 - 中， 则三棱锥的体积的最大值为．
答案： ．
提示：设 ，根据余弦定理有 ，故 由于棱锥的高不超过它的侧棱，所以 事实上，取 ，且 面 时，可以满足已知条件，此时
9．一个均匀小正方体的六个面中，三个面上标以数字 ，两个面上标以数字 ，一个面上标以数字 。将这个正方体的抛掷两次，则向上的数之积的数学期望是
12．当一个非空数集 满足条件“如果 ，则 ，且当 时， ”时，我们称 就是一个数域。以下四个关于数域的命题：
① 是任何数域的元素；②若数域 有非零元素，则 ；③集合 是一个数域；④有理数集是一个数域。
其中真命题的代号是（写出所有真命题的代号）
答案：①②④．
提示：根据数域的定义判断，①②④均正确．取 ，则 ，但 ，即③错误．
14．（本小题满分16分）已知四边形 是正方形， 是边 上一点（点 不与顶点重合），延长 与 的延长线交于点 。设 ， ， 的内切圆半径分别是 。
（1）证明： ，并指出点 在什么位置时等号成立；
（2）若 试求证： 。
证明：（1）如图所示，因为△ ∽△ ∽△ ，所以
而 ，
故 ，即 当且仅当 ，即 为 的中点时，等号成立．
由 ，可知
要证 ，可转化为证明：
由 可得
由 可得
两式联立，得 进一步，得
设 ，则 ， 下面证只须证明：
，即证 当 时恒成立．
设函数 ，则
故函数 在 上为增函数，
所以， 当 时恒成立，即
16．已知互异的正实数 满足不等式 。
求证：从 可任取3个数作为边长，共可构成4个不同的三角形。
证明：由于 ，故从 中任取3个数作为边长，共可构成4个不同的三角形，即是任取3个数作为边长均可构成不同的三角形．下面用反证法给出证明：
三、简答题（本大题共4个小题，满分72分）
13．（本小题满分16分）已知椭圆 经过点 ，离心率为 ，经过椭圆 的右焦点 交椭圆于 两点，点 在直线 的射影依次是 。
（1）求椭圆的 的方程；
（2）连接 ，试探求当直线 的倾斜角变化时，直线 与 是否相交于定点？若是，请求出定点的坐标并给予证明；否则，说明理由。
2016年湖南省高中数学竞赛试题及答案
一、选择题（本大题共6个小题，每小题5分，满分30分．每小题所提供的四个选项中只有一项是符合题目要求的）
1.设集合 ，在 上定义运算“ ”为： ，其中 为 被 除的余数， 则满足关系 的 的个数为（）
A．1B．2C．3D．4
答案：B．
提示：因为 ，设 ，所以 即 ，故 或
解：（1）由经过点 ，得 由离心率为 ，得 ，得
故椭圆 的方程为
（2）当直线 的斜率不存在时，直线 轴，则 为矩形，由对称性知，直线 与 相交于 的中点 ，由此猜想直线 与 相交于定点
证明：设 直线 的方程为 ，联立椭圆 的方程消去 得 ，即 又因为 ，当 时，
，
即点 在直线 上．
同理可证，点 在直线 上，所以，当直线 的倾斜角变化时，直线 与 相交于定点
C．逆时针旋转 所得D．逆时针旋转 所得
答案：C．
提示：设两向量所成的角为 ，则 又
，所以 ．又 ，所以 正确．
6.在某次乒乓球单打比赛中，原计划每两名选手各比赛一场，但有3名选手各比赛了两场之后就退出了，这样全部比赛只进行了50场，那么上述3名选手之间比赛场数是（）
A．0B．1C．2D．3
答案：B．
若存在某三个数为边长的不能构成三角形，由对称性可知不妨设这三个数为 ，且满足 因为
由 ，知 ，并设 ，得
由条件，得 ，即 事实上，当 时，
这与上面所得结论矛盾．所以，原命题成立．
（2）由（1）得 ，所以有
记 ，则
令 ，则 ，且
故
它是关于 的单调递增函数，所以
即
15．已知函数
（1）当 时，求函数 的所有零点；
（2）若 有两个极值点 ，且 ，求证： 。
解：（1）当 时， 设 则 ，于是 在 上为增函数．
又 ，所以，当 时，函数 有唯一零点
（2）若 有两个极值点 ，则导函数 有两个零点
答案；
提示：由题意知，抛掷小正方体向上的数为 的概率为 ，向上的数为 的概率为 ，向上为 的概率为 ，如下表所示：
第一次抛掷
第二次抛掷
0
1
2
0
1
2
于是所得向上的数之积的分布列为：
0
1
2
4
10．观察下列等式：
；
；
；
。。。。。。
由以上等式推测出一般的结论：
对于
答案：
11．方程 的解的集合是
答案： ．
提示：当 时， ，当且仅当 时取“ ”．而 ，当且仅当 时取“ ”号．于是，当 时，方程只有一个解 由奇函数的性质可知， 是方程的另一个解．故方程的解集合为
提示：设这3名选手之间比赛的场数是 ，共 名选手参赛，依题意有
，即
因为 ，所以分4种情况讨论：
①当 时，有 ，即 ，但它没有正整数解，故 ；
②当 时，有 ，解得 ，故 符合题意；
③当 时，有 ，即 但它没有正整数解，故 ；
④当 时，有 ，即 ，但它没有正整数解，故
二、填空题（本大题共6个小题，每小题8分，满分48分，解题时只需将正确答案直接填在横线上．）
答案：A．
2.一个骰子由1-6六个数字组成，根据如图所示的三种状态显示的数字，可推得“？”的数字是（）
A．6B．3C．1D．2
3.设函数 是公差为 的等差数列， 则 Hale Waihona Puke Baidu）
A． B． C． D．
答案：D．
提示：因为 是公差为 的等差数列，且
即 ，所以
即
记 ，则
，
即 在 为增函数，有唯一零点 ，所以
所以
4.设 为非零实数， 为虚数单位， ，则方程 与方程 在同一复平面内的图形（其中 是焦点）是（）
答案：B．
提示： 表示以 为焦点的椭圆且 表示以 为焦点的双曲线的一支．由 ，知 故双曲线 的一支靠近点 ．
5.给定平面向量 ，那么，平面向量 是将向量 经过变换得到的，答案是（）
A．顺时针旋转 所得B．顺时针旋转 所得
的解集是．
答案：
提示：所求不等式为关于 的一元二次不等式．由 ，得 ，故 ，即
8.在三棱锥 - 中， 则三棱锥的体积的最大值为．
答案： ．
提示：设 ，根据余弦定理有 ，故 由于棱锥的高不超过它的侧棱，所以 事实上，取 ，且 面 时，可以满足已知条件，此时
9．一个均匀小正方体的六个面中，三个面上标以数字 ，两个面上标以数字 ，一个面上标以数字 。将这个正方体的抛掷两次，则向上的数之积的数学期望是
12．当一个非空数集 满足条件“如果 ，则 ，且当 时， ”时，我们称 就是一个数域。以下四个关于数域的命题：
① 是任何数域的元素；②若数域 有非零元素，则 ；③集合 是一个数域；④有理数集是一个数域。
其中真命题的代号是（写出所有真命题的代号）
答案：①②④．
提示：根据数域的定义判断，①②④均正确．取 ，则 ，但 ，即③错误．
14．（本小题满分16分）已知四边形 是正方形， 是边 上一点（点 不与顶点重合），延长 与 的延长线交于点 。设 ， ， 的内切圆半径分别是 。
（1）证明： ，并指出点 在什么位置时等号成立；
（2）若 试求证： 。
证明：（1）如图所示，因为△ ∽△ ∽△ ，所以
而 ，
故 ，即 当且仅当 ，即 为 的中点时，等号成立．
由 ，可知
要证 ，可转化为证明：
由 可得
由 可得
两式联立，得 进一步，得
设 ，则 ， 下面证只须证明：
，即证 当 时恒成立．
设函数 ，则
故函数 在 上为增函数，
所以， 当 时恒成立，即
16．已知互异的正实数 满足不等式 。
求证：从 可任取3个数作为边长，共可构成4个不同的三角形。
证明：由于 ，故从 中任取3个数作为边长，共可构成4个不同的三角形，即是任取3个数作为边长均可构成不同的三角形．下面用反证法给出证明：
三、简答题（本大题共4个小题，满分72分）
13．（本小题满分16分）已知椭圆 经过点 ，离心率为 ，经过椭圆 的右焦点 交椭圆于 两点，点 在直线 的射影依次是 。
（1）求椭圆的 的方程；
（2）连接 ，试探求当直线 的倾斜角变化时，直线 与 是否相交于定点？若是，请求出定点的坐标并给予证明；否则，说明理由。
2016年湖南省高中数学竞赛试题及答案
一、选择题（本大题共6个小题，每小题5分，满分30分．每小题所提供的四个选项中只有一项是符合题目要求的）
1.设集合 ，在 上定义运算“ ”为： ，其中 为 被 除的余数， 则满足关系 的 的个数为（）
A．1B．2C．3D．4
答案：B．
提示：因为 ，设 ，所以 即 ，故 或
解：（1）由经过点 ，得 由离心率为 ，得 ，得
故椭圆 的方程为
（2）当直线 的斜率不存在时，直线 轴，则 为矩形，由对称性知，直线 与 相交于 的中点 ，由此猜想直线 与 相交于定点
证明：设 直线 的方程为 ，联立椭圆 的方程消去 得 ，即 又因为 ，当 时，
，
即点 在直线 上．
同理可证，点 在直线 上，所以，当直线 的倾斜角变化时，直线 与 相交于定点
C．逆时针旋转 所得D．逆时针旋转 所得
答案：C．
提示：设两向量所成的角为 ，则 又
，所以 ．又 ，所以 正确．
6.在某次乒乓球单打比赛中，原计划每两名选手各比赛一场，但有3名选手各比赛了两场之后就退出了，这样全部比赛只进行了50场，那么上述3名选手之间比赛场数是（）
A．0B．1C．2D．3
答案：B．
若存在某三个数为边长的不能构成三角形，由对称性可知不妨设这三个数为 ，且满足 因为
由 ，知 ，并设 ，得
由条件，得 ，即 事实上，当 时，
这与上面所得结论矛盾．所以，原命题成立．
（2）由（1）得 ，所以有
记 ，则
令 ，则 ，且
故
它是关于 的单调递增函数，所以
即
15．已知函数
（1）当 时，求函数 的所有零点；
（2）若 有两个极值点 ，且 ，求证： 。
解：（1）当 时， 设 则 ，于是 在 上为增函数．
又 ，所以，当 时，函数 有唯一零点
（2）若 有两个极值点 ，则导函数 有两个零点
答案；
提示：由题意知，抛掷小正方体向上的数为 的概率为 ，向上的数为 的概率为 ，向上为 的概率为 ，如下表所示：
第一次抛掷
第二次抛掷
0
1
2
0
1
2
于是所得向上的数之积的分布列为：
0
1
2
4
10．观察下列等式：
；
；
；
。。。。。。
由以上等式推测出一般的结论：
对于
答案：
11．方程 的解的集合是
答案： ．
提示：当 时， ，当且仅当 时取“ ”．而 ，当且仅当 时取“ ”号．于是，当 时，方程只有一个解 由奇函数的性质可知， 是方程的另一个解．故方程的解集合为
提示：设这3名选手之间比赛的场数是 ，共 名选手参赛，依题意有
，即
因为 ，所以分4种情况讨论：
①当 时，有 ，即 ，但它没有正整数解，故 ；
②当 时，有 ，解得 ，故 符合题意；
③当 时，有 ，即 但它没有正整数解，故 ；
④当 时，有 ，即 ，但它没有正整数解，故
二、填空题（本大题共6个小题，每小题8分，满分48分，解题时只需将正确答案直接填在横线上．）
答案：A．
2.一个骰子由1-6六个数字组成，根据如图所示的三种状态显示的数字，可推得“？”的数字是（）
A．6B．3C．1D．2
3.设函数 是公差为 的等差数列， 则 Hale Waihona Puke Baidu）
A． B． C． D．
答案：D．
提示：因为 是公差为 的等差数列，且
即 ，所以
即
记 ，则
，
即 在 为增函数，有唯一零点 ，所以
所以
4.设 为非零实数， 为虚数单位， ，则方程 与方程 在同一复平面内的图形（其中 是焦点）是（）
答案：B．
提示： 表示以 为焦点的椭圆且 表示以 为焦点的双曲线的一支．由 ，知 故双曲线 的一支靠近点 ．
5.给定平面向量 ，那么，平面向量 是将向量 经过变换得到的，答案是（）
A．顺时针旋转 所得B．顺时针旋转 所得