自动控制 第九章 传递函数的状态空间实现共12页word资料

第九章 传递函数的状态空间实现

§9.1实现与最小实现

一、实现问题的提法

我们知道，对于一个线性定常系统，可以用传递函数矩阵进行输入输出描述

)(ˆ)(ˆ)(ˆs s s u G y = (9.1.1)

如果系统还是集中的，则还可以用状态空间方程来描述 Du Cx y Bu Ax x

+=+=

(9.1.2)

如果已知状态空间方程(9.1.2)，则相应的传递矩阵可由

D B A I C G +-=-1)()(ˆs s (9.1.3)

求出，且求出的矩阵是唯一的。现在，我们来研究它的反问题，即由给定的传递矩阵来

求状态空间方程，这就是所谓的实现问题。

事实上，对于时变系统也有实现问题，只是它的输入输出描述不再是传递矩阵。 定义9.1：实现

传递矩阵)(ˆs G 称为是能实现的是指存在一个有限的维状态方程（9.1.2）或简记为{ A , B , C , D }，使得

且{ A , B , C , D }称作)(ˆs G

的实现。 注意：一个线性定常系统的分布系统可以用传递矩阵来描述，但不能描述为有限维的状

态方程。所以说并非所有的)(ˆs G

都是能实现的。 二、实现的不唯一性

仔细回忆一下我们在状态变换和规范分解时得到的结论可知：尽管对于给定系统{ A , B , C , D }，它的传递函数矩阵)(ˆs G

是唯一的；但反过来，对于给定系统的传递函数矩阵)(ˆs G

，求它的状态空间实现{ A , B , C , D }，结论便不唯一。 因为我们知道，状态变换前后，系统的状态空间方程可能大相径庭，但其传递函数矩阵却是相同的；同样，不能控或不能观系统，经规范分解后的整个系统与其中的既能控又能观的子系统均是其传递函数的一个实现。

所以，如果)(ˆs G

是能实现的则其有无穷多各个实现，且不一定具有相同的维数。 三、最小实现

尽管每一个传递函数阵，可以有无限多个实现。我们感兴趣的是这些实现中维数最

小的实现，即所谓最小实现，也叫不可约实现、最小维实现、最小阶实现。因为在实用中，最小实现阶数最低，在进行运放模拟和系统仿真时，所用到的元件和积分器最少，从经济性和可靠性等角度来看也是必要的。

最后，我们还不证明地给出一个关于最小实现的定理：

定理9.1：实现

状态空间方程{ A, B, C, D }是传递函数矩阵)

G的最小实现的充要条件是{ A, B, C,

(ˆs

D }既能控又能观。

传递函数矩阵)

G的所有最小实现，互相间是代数等价的。

(ˆs

§9.2 传递函数的实现

本节主要讨论正则有理分式传递函数的实现问题。设传递函数为

n

n n n n

n n n n n n s s s s b s b s b s b s b s u s y s g αααα++++++++++==-------12

211012211)(ˆ)(ˆ)(ˆ (9.2.1)

作一简单的代数变换，便可得：

)

()

()(ˆ012211012211s p s q b s s s s s s s b s g n

n n n n n n n n n n +=++++++++++=--------ααααββββ (9.2.2)

设系统{ A , b , c , d }是)(ˆs g

的一个实现，则有

)

()

()()(ˆ1s p s q b d s s g

n +=+-=-b A I c (9.2.3)

上式应对任意的s 都成立，令∞→s 则可得到

这就是说：对一般正则有理分式的传递函数，其实现的d 阵（标量）是唯一的，且

)(ˆlim s g

d s ∞

→= (9.2.4)

于是，本节的以下内容仅讨论传递函数)(ˆs g

为严格正则有理分式的情况。 §9.2.1 能控标准型实现

一、基本形式

回忆第七章第二节，在那里，我们以一个四阶传递函数为例，给出了由传递函数出发建立系统的状态空间方程的一般方法。不难证明：状态空间方程

[]x

x x 12

10

121

010

00

10

0001000010--=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎢⎢

⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=n n y u ββββαααα

(9.2.5)

是传递函数

12

2110

12211)(ˆααααββββ+++++++++=--------s s s s s s s s g n n n n n n n n n (9.2.6)

的一个实现。不难发现该实现的系统矩阵与控制矩阵的二元组(,)A b 合在一起正好构成能控标准型，故称上述实现是能控标准型实现。

例7-5 设线性定常单输入－单输出系统的传递函数为 试求该系统的状态空间方程。

解：引入一个新变量)(t v ，它的拉氏变换式定义为 即

)(ˆ)(ˆ)(0122334s u s v

s s s s =++++αααα (2.3)

于是，我们有

)(ˆ)(ˆ)()(ˆ012233s u s v s s s s y

λββββ++++= (2.4)

定义状态变量为

⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=)()()()(:)()()()(:)(4321t v t v t v t v t x t x t x t x t x 即 )(ˆ1)(ˆ)(ˆ)(ˆ)(ˆ)(ˆ)(ˆ)(ˆ)(ˆ:)(ˆ32324321s v s s s s v s s v s s v s s v s x

s x s x s x

s ⎥

⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=x (2.5)

显然

433221,,x x

x x

x x

=== (2.6)

它们与（2.1）无关，而直接由（2.5）中定义得到。为导出关于4x

的等式，我们把（2.5）代入至（2.3），即可得

在时域中，此即

)(1)(][)(32

1

04t u t t x

⋅+----=x αααα

(2.7)

而将（2.5）代入至（2.4）又可得到

在时域中，此即

)()(][)(3210

t u t t y λββββ+=x

(2.8)

把（2.6）、（2.7）、（2.8）结合在一起即

u

t u d y u t u ][)(][1000)(1

0000100

0010

32

10

32

1

λββββαααα+=+=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=+=x x c x b Ax x

(2.9)

这就是所要求的状态空间方程。

二、能控标准型实现的变型

要指出的是：在上例中，若状态变量为

⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢

⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=)()()()(:)()()()(:)(4321t v t v t v t v t x t x t x t x t x 即 )(ˆ1:)(ˆ)(ˆ)(ˆ)(ˆ:)(ˆ234321s s s s s x s x

s x s x

s v x ⎥⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡= (2.10)

则可导出系统的状态空间方程是