第三章 多维随机变量及其分布

P{Y y j} p•j pij , j 1, 2,,
i1
设p i•
0,
p •j
0, 有 : P{X
xi
|
Y
y j}
P{X xi , Y P{Y y j}
y j}
pij , i 1, 2, (3.1) p•j
11
由于P{X xi | Y y j} 0, 且
P{X xi | Y y j}
fZ(z)
-
f X (x)
fY (z - x)dx
- f X (z - y) fY (y)dy
称为卷积公式, 记为f X * fY .
19
例1. 设X和Y相互独立, 且都服从N(0, 1), 求: Z=X+Y的 分布密度.
注结论:( ) x 1e xdx 0
设X k
~
N
(
k
,
2 k
)
注 度函数f(x, y)在G上的积分, 这就将概率的计算转
化为一个二重积分的计算了.
例2. 设二维r.v.(X, Y)具有概率密度
Ae-( 2 x y), x 0, y 0,
f ( x, y)
0,
其它,
求 : (1)常数A; (2)分布函数F ( x,y);
(3)概率P{Y X}. 6
§2. 边缘分布
Δ
F(x, y) P{(X x) (Y y)} P{X x,Y y} 称为二维r.v.(X, Y)的分布函数, 或称为r.v.X 和Y的联合分布函数 .
1
若将(X, Y)看成平面上随机点的坐标, 则分布函数F(x,y)的 值为(X,Y)落在阴影部分的概率(如图1)
源自文库
图1
图2
则随机点落在矩形域 (图2)[x1 X x2;y1 Y y2 ] 的概率为
18
§5. 两个r.v.的函数的分布
(一) 和(Z=X+Y)的分布:
已知(X,Y)的联合密度是f(x, y), 求Z=X+Y的分布密度.
结
Z的密度函数f Z(z)
f(z - y, y)dy.
-
论
或 fZ (z)
f ( x,z-x)dx.
-
当X与Y相互独立时, f(x, y) fX (x) fY (y) 有
当X, Y为连续型随机变量时 ,有 f(x, y) fX(x) fY(y)
17
例: 设X和Y都服从参数=1的指数分布且相互独立, 试求P{X+Y≤1}.
3.命题：设(X, Y)服从二维正态分布, 则X, Y相互独立的充 要条件是 =0.
4. 一个重要定理: 设(X1, X2, …, Xm)和(Y1, Y2, … Yn)相互独立, 则Xi (i=1,2, m)和Yj(j=1,2, n)相互独立,又若h, g是连续函数, 则h(x)和 g(y)相互独立.
f (x, y)dx,
-
分别称为(X, Y)关于Y的边缘概率密度.
连续型二维r.v.的均匀分布 :
设G是平面上的有界区域 其面积为A , 若(X, Y)的概率
密度为
1 / A, ( x,y) G,
f (x, y)
0, 其它,
则称( X ,Y )在G上服从均匀分布 .
9
例2. 设( X, Y )的概率密度为
16
§4. 相互独立的随机变量
1.定义:
设X, Y 为二维随机变量, 若对于所有的 x, y有
P{X x,Y y} P{X x} P{Y y} 即 F(x, y) FX (x) FY (y), 则称随机变量X和Y相互独立.
2.等价定义:
当X, Y为离散型随机变量时 ,有
P{X xi , Y y j} P{X xi}P{Y y j}, i, j 1,2,
XY 5
7
13
1
0.08 0.01 0
2
0.11 0.10 0.09
3
0.03 0.07 0.15
求在X=2时Y的条件分布律.
18
20
0.02 0.14
0.01 0.04
0.06 0.09
例2 一射击手进行射击, 击中目标的概率为p(0<p<1), 射 击到击中目标两次为止, 设以X表示首次击中目标进行 的射击次数,以Y表示总共进行的射击次数,试求X和Y的 联合分布律和条件分布律.
一、边缘分布函数：
对于二维r.v.(X, Y), 它作为一个整体 ,具有分布函数
F(x, y), 而X和Y都是r.v., 分别也有分布函数 , 记为FX (x),
FY (y), 称为二维r.v.(X, Y)关于X和关于Y的边缘分布函
数. FX(x) P{X x} P{X x, Y } F(x, ) (2.1)
4
(二) 二维连续型r.v.
(1) 定义 : 若F(x, y) y x f(u, v)dudv, 则称(X, Y) 为 - -
连续型的二维r. v. , 其中非负函数f (x, y)称为( X ,Y )的 概率密度, 或称为X和Y的联合概率密度.
( 2 ) f(x, y)的性质 :
10 f(x, y) 0;
同理, Y的分布律为 : P{Y y j} pij ˆ p•j , j 1,2,, i1
分别称pi• (i 1, 2, ), 和p•j , (j 1, 2, )为(X, Y)关于 X和关于Y的边缘分布律
例1(续)
YX 1
1 1/4
2
0
3
0
4
0
pi• 1/4
2
3
1/8 1/12
4
p•j
1/16
数为 FM(z)=F1(z)·F2(z)…Fn(z)
N=min(X1,X2,…,Xn)的分布函数为
FN(z)=1-(1-F1(z))·(1-F2(z))…(1-Fn(z)).
注 当X1,X2,…,Xni.i.d.时, 设分布函数为F(x), 则
FM(z)=(F(z))n, FN(z)=1-(1-F(z))n.
FX|Y (x | y)或PX x | Y y
14
进一步可以化为:
F(x,y ) F(x,y ) 2
FX|Y (x
|
y)
lim
0
FY (y ) FY (y )
2
x
F(x,y) y d
dy FY (y)
f (u, y)du
-
fY (y)
x f (u, y) du
- fY (y)
f(x,
y)
6, x 2
0,
其它
,
y
x,
求 : 边缘密度f X ( x), f Y ( y).
例3. 二维正态分布 :
(X,
Y)
~
N(1 , 2
,
2 1
,
2
2
, ),
1 f (x, y)
2 1 2 1 2
exp
1
2(1
2
)
(
x
1
2
1
)
2
2
(x
1 )(y 1 2
2 )
(y
2 )2
同理
FY(y) F( , y)
(2.2)
二、边缘分布律：
设(X, Y)为二维离散型r.v. ,由 (2.1)有
FX(x) F(x,)
p ij ,
xi x j1
又r.v.X的分布函数为FX(x) P{X xi },
xi x
7
可知X的分布律为 : P{X xi} pij ˆ pi• , i 1,2,, j1
P{x1 X x2 ;y1 Y y 2}
F(x2 , y 2)-F(x1 , y 2)-F(x2 , y1) F(x1 , y1)
二维r.v.的分布函数的基本性质与一维r.v.的分布函
数F(x)的性质类似, 此处从略.
2
3. 下面分别讨论二维离散型和连续型r.v.
(一) 二维离散型r.v.
3
例1. 设r.v. X在1, 2, 3, 4四个整数中等可能地取值, r.v. Y 则在1~X中等可能地取一整数, 试求(X, Y)的分布律.
结 若已知(X, Y)的分布律 ,则分布函数可
论
表示为 : F(x, y) pij ,
xi x
y j y
即对一切满足xi x, y j y的i, j 求和.
1/8 1/12 1/16
0
1/12 1/16
0
0
1/16
1/4
1/4
1/4
25/48 13/48
7/48
3/48
1
8
三、边缘概率密度:
设二维连续型r.v.(X, Y), 概率密度为f(x, y),由
x
FX(x) F(x,)
[
- -
f ( x, y)dy]dx
则
fX (x)
- f (x, y)dy, 同理 fY ( y)
13
二、二维连续型r.v.
首先引入条件分布函数,然后得到条件概率密度.
(1)条件分布函数的定义 :
给定y, 0, P{y - Y y } 0, 若
lim PX x | y - Y y
ε 0
lim
ε 0
PX x, y - Y y Py - Y y
存在,
称此极限为在条件 Y y下X的条件分布函数.记作
则fX|Y ( x|y)
f (x,y) 为在条件Y fY (y)
y下X的条件概率密度 ,
类似地有
FY |X
(y
|
x)和fY |X
(y
|
x)
f(x, y) fX (x)
15
例2. 设X, Y 在圆域x2 y2 1上服从均匀分布 , 求
条件概率密度f X|Y (x | y)和fY|X (y | x). 例3. 设数X在区间(0, 1)上随机地取值, 当观察到X=x (0<x<1)时, 数Y在区间(x, 1)上随机地取值, 求Y的概 率密度.
2 2
,
x,y , 求 X ,Y的边缘分布.
10
§3. 条件分布
一、二维离散型r.v.的情况:
设(X, Y)具有分布律
P{X xi , Y y j} pij , i 1, 2, ,
X和Y的边缘分布律分别为 P{X xi } p i• pij , i 1, 2,, j1
20
f(x, y)dxdy F (,) 1;
- -
30 若F(x, y)在点(x, y)点连续, 则有
2F (x,y) f(x,y);
xy 5
40 设G是xoy平面上的一个区域 ,点(x, y)落 在G内的概率为 :
P{(X, Y) G} f(x, y)dxdy.
G
二维连续型r.v. (X, Y)落在平面G上概率, 就等于密
第三章 多维随机变量及其分布
§1 二维随机变量
1. 二维r.v.定义: 设E是一个随机试验, 样本空间是 S={e}, 设X=X(e)和Y=Y(e)是定义在S上的r.v., 由它们构成的一 个向量(X, Y), 叫做二维r.v.
2. 二维r.v.(联合)分布函数:
对于任意的实数 x, y, 二元函数
i1
p ij
p i1 •j
1
故称P{X
xi |Y
yj
}
p ij p• j
,i
1,2,为在Y
y
条件下
j
r.v.X的条件分布律 .
同样把
P{Y
yj
|
X
xi
}
P{X xi,Y y j } P{X xi }
pij pi•
,
j
1,2,
(3.2)
称为在X xi条件下r.v.Y的条件分布律 .
12
例1. 设(X, Y)的分布律为:
(k
1,2,n)且X1 , X2 ,, Xn相互独立,
则它们的和
X1
Xn
~
N (1
2
n
,
2 1
2 2
2 n
)
.
进一步 , 有限个相互独立的正态 r.v.的线性组合仍服从正
态分布.
20
(二) M=max(X,Y)及m=min(X, Y)的分布:
设X,Y相互独立, 分布函数分别为FX(x)和FY(y).
求M=max(X,Y)的分布: FM (z) FX (z) FY (z). 求N min(X,Y)的分布 : FN (z) 1-( 1-FX (z))(1-FY (z)).
推 设X1, X2, … , Xn相互独立, 分布函数分别为F1(x), 广 F(x), … , Fn(x), 则M=max(X1,X2,…,Xn)的分布函
若二维r.v.(X,Y)的所有可能取值是有限 对或可列多对
则称(X, Y)为离散型r.v.
记P{X xi ,Y y j } pij , i, j 1, 2, 3,
则有pij 0,
pij 1,
ij
则称P{X xi , Y y j} pij , i, j 1, 2, 3,
为离散型r.v.(X, Y)的分布, 或r.v.X和Y的联合分布律.
21
(三) 利用“分布函数法”导出两r.v. 和的分布函数或密度 函数的公式, 其要点为:
(1) 为求r.v.函数g(X,Y)的密度函数 先求它的分布,即
FZ(z) Pg(X,Y) z
( 2 ) 在求P g(X,Y) z的过程中, 用到下列等式 :
Pg(X,Y) z f ( x,y)dxdy g(x,y) z
其中f(x, y)为(X,Y)的联合密度函数 .
( 3 ) 利用密度函数与分布函 数的关系求出 Z g(X,Y)的分布密度.
22
例. 设X和Y相互独立, X服从N(, 2 ), Y服从[-b,b]上
的均匀分布， 求Z X Y的概率密度.
(四) 对于离散型r.v. 的函数的分布: