圆轴扭转时的变形和刚度条件

第10讲教学方案

——圆轴扭转时的变形和刚度条件

非圆截面杆的扭转

基

本

内

容

圆轴扭转时的变形和刚度条件、矩形截面杆扭转时的应力与变形

教 学 目 的 1、掌握圆轴扭转时变形及变形程度的描述与计算。

2、掌握刚度条件的建立及利用刚度条件进行相关计算。

3、了解圆柱形密圈螺旋弹簧的应力和变形计算。

4、了解矩形截面杆扭转时的横截面上的应力分布与变形计算。

重 点 难 点 本节重点：圆轴扭转时变形及变形程度的描述与计算，刚度条件的建立及相关计算。

本节难点：对圆轴变形程度的理解。

§4-6 圆轴扭转时的变形和刚度条件

扭转角是指受扭构件上两个横截面绕轴线的相对转角。对于圆轴，由式（4-10） p

GI Tdx

d =φ 所以

p

l

0p l

GI Tl dx GI T d ===∫

∫φφ（rad ） （4-17） 式中称为圆轴的抗扭刚度，它为剪切模量p GI 与极惯性矩乘积。越大，则扭转角p GI φ越小。

让dx

d φ

ϕ=

，为单位长度相对扭角，则有p

GI T

=

ϕ（rad/m ） 扭转的刚度条件：

[]ϕϕ≤=

P

max GI T

（rad/m ） （4-18） 或

[]ϕπ

ϕ≤×=

180GI T P max （°/m ） （4-19） 例4-3 如图4-13的传动轴，500=n r/min ，5001=N 马力，2002=N 马力，马力，已知[]300

3=N 70=τMPa ，[]1=ϕ°/m ，GPa 。求：确定AB 和BC 段直径。

80=G 解： 1）计算外力偶矩

70247024

1

==n

N m A （N ·m ） 6.28097024

2

==n

N m B （N ·m ） 4.42147024

3

==n

N m C （N ·m ） 作扭矩T 图，如图4-13b 所示。 2）计算直径 d AB 段：由强度条件，

[]τπτ≤==

3

1max 16d T W T t

[]

8010

707024

16163

6

3

1≈×××=≥πτπT

d （mm ） 由刚度条件

[]ϕππϕ≤×=o

18032

d

G T 4

1

6.841

1080180

702432][G 180T 32d 4294

21=×××××=×≥πϕπ（mm ）

取 mm

6.841=d BC 段：同理，由扭转强度条件得 mm 672≥d 由扭转刚度条件得 mm 5.742≥d 取mm

5.742=d

例4-4 如图4-14所示等直圆杆，已知KN ·m ，试绘扭矩图。

10m 0=解：设两端约束扭转力偶为，

A m

B m （1）由静力平衡方程0=∑x m 得

000=−+−B A m m m m

（a ） B A m m = 此题属于一次超静定。

（2）由变形协调方程（可解除B 端约束），用变形叠加法有

03

2

1

B B B B =+−=φφφφ （b ）

（3）物理方程

p 0B GI a m 1

⋅−=

φ，p 0B GI a 2m 2⋅+=φ，p

B B GI a

3m 3⋅−=φ （c ） 由式（c ），（b ）得

0GI a 3m GI a 2m GI a m p

B p 0p 0=⋅−⋅+⋅−

即

0m 3m 2m B 00=−+−

并考虑到（a ），结果

3

m m m 0

B A =

= 假设的力偶转向正确，绘制扭矩图如图4-14c 所示。

§4-7 圆柱形密圈螺旋弹簧的应力和变形计算

螺旋弹簧如图4-15a 所示。当螺旋角时，可近似认为簧丝的横截面与弹簧轴线在同一平面内1．弹簧丝横截面上的应力

o

5<α

如图4-15b 以簧丝的任意横截面取出密圈弹簧的上部分为研究对象，根据平衡方程，横截面

上剪力由引起的剪应力Q 2

14d P A Q πτ==

，而且认为1

τ均匀分布于横截面上（图4-15c ）；若将簧丝的受力视为直杆的纯扭转，由T 引起的最大剪应力（图4-15d ）3

32816d PD

d T W T t ππτ=== ，扭矩P Q =PD T 。

，一般将这种弹簧称为密圈螺旋弹簧。2

1

=

所以在簧丝横截面内侧A 点有

3

321max 8218d

PD k D d d PD ππτττ=⎟⎠⎞⎜⎝⎛

+=

+= （4-20） 其中 D

2d

1k += （4-21） 当10

1

D

d

<，略去剪应力1τ所引起的误差005<τ，可用近似式

3

max d

PD

8πτ=

（4-22） 对某些工程实际问题，如机车车辆中的重弹簧，D

d

的值并不太小，此时不仅要考虑剪力，还要

考虑弹簧丝曲率的影响，进一步理论分析和修正系数k 的选取可见有关参考书。 密圈弹簧丝的强度条件是

[]ττ≤max （4-23） 式中：[]τ—弹簧丝材料的许用剪应力

2. 弹簧的变形

设弹簧在轴向压力（或拉力）作用下，轴线方向的总缩短（或伸长）量为λ，这是弹簧的整体的压缩（或拉伸）变形。如图4-16a 、b ，外力对弹簧做功λP 2

1

W =。簧丝横截面上，距圆心为ρ的任意点的扭转剪应力为