广义函数的运算

Example
• 正规函数：在任意有限区间上积分总存在
– 其对应的广义函数定义如下：

T ( f ) T , f : T ( x) f ( x)dx

• 类似于正规函数，对任意广义函数，都用记号：
T ( f ) T , f : T ( x) f ( x)dx




– 类似地，可得对称、放缩操作后的分布 – 将其推广到一般的广义函数上
运算：导数
• 对正规函数求导
T ( x )
其对应的分布如何变化？

T , f T ( x) f ( x)dx T ( x) f ( x)dx T , f

• 库伦势的Laplacian
1 / rf (r )dV

f (r )(1 / r ) 1 / r( ຫໍສະໝຸດ Baidu (r )) dS


1 / rf (r )dV 1 / r , ( f (r )) 1 d 2 df (r ) 2 r dr dr 1 / r , f (r ) 4f (0) 4 , f ( f (r )) 1 / r 4
进一步应用
• 定义函数间断点导数：用分布描述场
• 卷积代数：微分方程的格林函数法 • ……
References
• Walter.Appel,Mathematics for physics and physicists,Princeton University Press

– 将其推广到一般的广义函数上 – 经典例子：
H , f H , f H ( x) f ( x)dx f (0)
0

H
经典例子
1 / r , f (r ) (1 / r ) f (r )dV (1 / r ) f (r ) dS (1 / r ) ( f (r ))dV
但对一般的广义函数， 义上的函数。
T ( x)
仅是一个记号，并非经典意
运算：对变量操作
• 对正规函数变量操作：平移、对称、放缩
T ( x a)、T ( x)、T (ax)
其对应的分布如何变化？
Ta , f T ( x a) f ( x)dx T ( x) f ( x a)dx T , f a
• 被作用的函数一般在有限区域取值：场是定域的
Definition
• 广义函数是定义在测试函数空间 ( R n )上的连续线
性函数： T : ( Rn ) R / C
• 测试函数：光滑、在有限区域上定义的函数 • 广义函数通过积分作用在测试函数上，更近似于一种 算符 • 其集合构成 测试函数空间 的对偶空间
广义函数的运算
by 徐影
Outline
• 背景：点源电荷
• 问题抽象
• 广义函数的引入
• 广义函数的运算：变量操作，导数
• 经典例子：阶跃函数导数
1 / r 的Laplacian
背景
• 对于点源电荷，其电荷密度：
• 仅在一点上有值，且为无穷大 • 积分为有限值
问题抽象
• 非经典意义函数
• 通过积分与函数作用：函数空间上的线性函数