时域数学模型

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分析和设计控制系统时，常用的数学模型有 微分方程、差分方程、传递函数、结构图、信号 流图、频率特性等。本章着重讨论微分方程、传 递函数、结构图、信号流图等数学模型的建立及 应用。
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数学模型建立方法
a.解析法 解析法是根据支配系统的内在运动规律以及系统的结
构和参数，推导出输入量和输出量之间的数学表达式，从 而建立数学模型——适用于简单的系统。 b. 实验法 实验法是利用系统的输入--输出信号来建立数学模型的方 法。通常在对系统一无所知的情况下，采用这种建模方法。
输入
黑盒
输出
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无论是用解析法还是用实验法建立数学模型， 都存在着模型精度和复杂性之间的矛盾，即控制 系统的数学模型越精确，它的复杂性越大，对控 制系统进行分析和设计也越困难。因此，在工程 上，总是在满足一定精度要求的前提下，尽量使 数学模型简单。为此，在建立数学模型时，常做 许多假设和简化，最后得到的是具有一定精度的 近似的数学模型。
)

ui
(t
)
i(t) C duo (t) dt
图2-1
LC
d
2uo (t) dt 2

RC
duo (t) dt

uo (t)

ui (t)
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【例2-2】 图2-2是弹簧-质量-阻尼器组成的机械位移系统。 其中，k为弹簧的弹性系数，f为阻尼器的阻尼系数。试列 写以外力F(t)为输入，以位移x(t)为输出的系统微分方程。
牛顿定律 F ma
加速度a

d 2 x( t dt 2
)
1.外力F( t ),方向见图
2.弹簧恢复力与位移成正比kx( t ),方向与x( t )相反
3.阻尼器阻力与位移速度成正比f dx( t ) ,方向与x( t )相反 dt
F(t) kx(t)
f
dx(t) dt

m
ห้องสมุดไป่ตู้
d
2 x(t dt 2
程的右侧，与输出有关的各项放在方程的左侧，方程两边 各阶导数按降幂排列，最后将系数整理规范为具有一定物 理意义的形式。
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【例2-1】 试列写如图2-1所示的RLC无源网络的 微分方程。ui(t)为输入变量，uo(t)为输出变量。
L di(t) Ri(t) dt
L
di(t dt
)

Ri(t
)

uo
(t
dt 2
dt
不同类型的系统也可以有相同形式的数学模型，揭示了不 同物理现象之间的相似关系。便于用简单系统去研究相似 的复杂系统。
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2.1.2 控制系统微分方程的建立
用解析法列写控制系统微分方程的一般步骤如下： (1) 确定系统的输入、输出变量。 (2)从输入端开始，按照信号的传递顺序，依据各变量 所遵循的物理或化学定律，依次列写出系统中各元件的动 态方程，一般为微分方程组。 (3)消去中间变量，得到只含有系统输入变量和输出变 量的微分方程。 (4)标准化。
t
)

La
dia ( t dt
)

Raia ( t
)
Ea
+
电枢反电势：Ea C em ( t )
Ce——电动机电势常数
-
电磁转矩方程：Mm ( t ) Cmia ( t )
Cm——电动机转矩常数
电机轴上转矩平衡方程：
Jm fm
电机轴上总的转动惯量
电机轴上总的粘性摩擦系数Jm
dm (t)
若电枢回路电阻和电动机的转动惯量都很小，可忽略 不计，则上式可进一步简化
m
(t)

1 Ce
ua
(t)
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比较: R-L-C电路运动方程与 M-S-D机械系统 运动方程
LC
d
2uo (t) dt 2

RC
duo (t) dt

uo
(t)

ui
(t)
d 2 x(t) dx(t)
m
f Kx(t) F(t)
本章主要采用解析法建立系统的数学模型， 关于实验法将在后续章节和课程中进行介绍。
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2.1 控制系统的时域数学模型 ——微分方程
微分方程是描述各种控制系统动态特性的最 基本的数学工具，也是后面讨论的各种数学模 型的基础。因此，本节将着重介绍描述线性定 常控制系统的微分方程的建立和求解方法，以 及非线性微分方程的线性化问题。
)
m
d
2 x(t dt 2
)

f
dx(t) dt
kx(t)
F (t)
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【例2-3】 试列写如图所示的电枢控制直流电动机的
微分方程。电枢电压ua为输入量，电动机转速ωm为输出量。 Ra和La分别是电枢电路的电阻和电感，Mc为折合到电动机 轴上的总负载转矩。
+
-
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电枢回路电压平衡方程：
ua (
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2.1.1 线性元件微分方程的建立 用解析法列写线性元件微分方程的一般步骤如下： (1)根据元件的工作原理，确定元件的输入、输出变量。 (2) 依据各变量所遵循的物理或化学定律，列写出系
统中元件的动态方程，一般为微分方程组。 (3)消去中间变量，得到只含有输入变量和输出变量的
微分方程。 (4)将微分方程标准化： 即将与输入有关的各项放在方
Tm
dm (t)
dt
m (t)

K1ua (t)

K2M c (t)
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当电枢回路的电感可以忽略不计
Tm
dm (t)
dt
m (t)

K1ua (t)

K2MC
(t)
Tm Ra J m (Ra fm CmCe ) , K2 Ra (Ra fm CmCe )
K1 Cm (Ra fm CmCe )
dt

fmm (t)
M c (t)

M m (t)
La J m
d 2m ( t dt 2
)

(
La
fm

Ra J m
)
dm ( dt
t
)

(
Ra
fm

CmCe
)m ( t
)

Cmua ( t
)
La
dMc ( t dt
)

Ra Mc ( t
)
忽略La可得下式：
Tm
K1
电机的时间常数
电机的传递系数
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引言 1.定义：描述系统的输入、输出变量以及系统内 部各个变量之间关系的数学表达式就称为控制系 统的数学模型。 2.为什么要建立数学模型：对于控制系统的性能， 只是定性地了解系统的工作原理和大致的运动过 程是不够的，希望能够从理论上对系统的性能进 行定量的分析和计算。要做到这一点，首先要建 立系统的数学模型。它是分析和设计系统的依据。
自动控制原理
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自动控制原理
山东科技大学信息与电气工程学院 高宏岩
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第二章 控制系统的数学模型
引言 2.1 控制系统的时域数学模型 2.2 控制系统的复数域数学模型 2.3 结构图及其等效变换 2.4 信号流图与梅森公式 2.5 闭环系统的传递函数 2.6 数学模型的MATLAB实现 2.7 控制系统建模实例