单纯形法图解法及原理

有唯一最优解
2x1 x2 2
x2
z 3 x 1,4T
z 1.5
A2
z0
A1
D
0
x1 x2 5
x1 2 x2 2 A3
A4
x1
12
对于线性规划问题，我们定义： 可行解：满足全部约束条件的决策向量 XRn。 可行域：全部可行解构成的集合。（它是 n 维 欧
A1, A2
2x1 x2 2
s.t
.
x1 x1

2
x2 x2

2 5
A1
D
x1 0, x2 0
x1 x2 5
x1 2 x2 2 A3
0
有无穷多最优解
A4
x1
14
例4 解线性规划 x2
z 2x1 x2
min z 2 x1 x2
40 2x1+x2 50 x2 = Z/30-（5/3）x1
沿着其法线方向向右上方移
30
动。
20 可行域
10
4x1+3x2 120
10 20
30 40
x1 10
x2 50
当该直线移到Q2点时，Z（目标 40 2x1+x2 50 函数）值达到最大：
Max Z=50*15+30*20=1350
x1 x2 1 s.t. x1 3x2 3
x1 0, x2 0
x1 3x2 3
A
D
有无界解
0B
x1 x1 x2 1
15
例5： MaxZ=3X1-2X2
X1 + X2 <=1 2X1 + 2X2 >=8
X1,X2 >=0
x2
2x1 2x2 8
无可行解
x1 x2 1
0
x1
16
结论：
1、线性规划问题的可行域为凸集 2、若有最优解一定可以在其可行域的顶点上得到
线性规划问题解的几种情况：
1、有唯一最优解 2、有无穷多最优解 3、无可行解 4、无最优解
17
第三节 单纯形法 ----原理
单纯形法：单纯形法是求解线性规划的主要 算法，1947年由美国斯坦福大学教授丹捷格 （G.B.Danzig）提出。尽管在其后的几十年 中，又有一些算法问世，但单纯形法以其简 单实用的特色始终保持着绝对 的“市场” 占有率。
20
10 4x1+3x2 120
10 20
30 40
x1
5
x2 50
40 2x1+x2 50
30
20
10 4x1+3x2 120
10 20
30 40
x1 6
x2
50
同时满足：
40 2x1+x2 50
4x1+3x2 120 2x1+x2 50
30
x1 0 x2 0
的区域——可行域
30
此时最优解（x1，x2 ） =（15，20）
20
Q2（15，20）
可行域
有唯一最优解
10 4x1+3x2 120
10 20
30 40
x1
11
例2 解线性规划
max z x1 x2
2x1 x2 2
s.t
.
x1 x1

2
x2 x2

2 5
x1 0, x2 0
30 b= 60
24
B=(P3 P4 P5)=I 可逆 基 N=(P1 P2)
X3=30-( X1+2 X2)
X4=60-(3X1+2 X2)
21
定义2：基本解——对应于基B，X= B-1 b
为AX=b的一个解。
0
定义3：基本可行解——基B，基本解X= B-1 b
若B-1 b0，称基B为可行基。
0
最优解、最优基
※ 基本解中最多有m个非零分量。
※ 基本解的数目不超过Cnm =
n! 个。
m!(n-m)!
22
例1：
X1
X2
X= X3
X4
X5
只能用于求解两个变量的LP问题
2
图解法基本步骤：
1）作出可行域 2）作出一条目标函数的等值线 3）平行移动目标函数的等值线，求出最优解
3
例1.数学模型
max Z=50x1+30x2
Baidu Nhomakorabeas.t.
4x1+3x2 120
2x1+x2 50
x1,x2 0
4
x2 50
40
30
由 4x1+3x2 120 x1 0 x2 0 围成的区域
凸多边形
10
4x1+3x2 120
O（0，0） 10
Q1（25，0）
20
30 40
x1
8
x2 50
40 2x1+x2 50
30
20 可行域
10
目标函数是以Z作为 参数的一组平行线
x2 = Z/30-（5/3）x1
4x1+3x2 120
10 20
30 40
x1 9
x2
50
当Z值不断增加时，该直线
20 可行域
10
4x1+3x2 120
10 20
30 40
x1 7
50 x2
Q3（0，40） 40
2x1+x2 50 30
Q2（15，20） 20
可行域
可行域是由约束条件围成 的区域，该区域内的每一 点都是可行解，它的全体 组成问题的解集合。
该问题的可行域是由O， Q1，Q2，Q3作为顶点的
线性规划模型隐含的假设：
比例性： 决策变量变化引起目标的改变量与决策变量改变量成
正比。 可加性：
每个决策变量对目标和约束的影响独立于其它变量。 连续性：
每个决策变量取连续值。 确定性：
线性规划中的参数aij , bi , ci为确定值。
1
第二节 单纯形法原理 ----图解法
图解法：是用画图的方式求解线性规 划的一种方法。
氏空间Rn 中的点集，而且是一个“凸 多面体”) 最优解：使目标函数达到最优值（最大值或最 小 值，并且有界）的可行解。 无界解：若求极大化则目标函数在可行域中无
13
2x1 x2 2
例3 解线性规划
x2
mmaixn z z4x1x1 2xx22
A2
z 4 Z=-2 Z=0
3X1+2X2 +X4 =60
2X2 X1 … X5 0
+X5=24
12100
A= 3 2 0 1 0
02001
P1 P2 P3 P4 P5
20
AX=b的求解 A=(BN) X=(XB XN )T (BN) XB = b XN
BXB +NXN=b BXB =b-NXN XB = B-1 b - B-1N XN
18
线性规划问题解的概念
定义1：基(基阵) ——由A中一个子矩阵B是可 逆矩阵，则方阵B称为LP问题的一个基。
…
A= (P1 … Pm Pm+1 … Pn )=(BN) 基向量 非基向量
…
X= (X1 … Xm Xm+1 … Xn )T=(XB XN)T 基变量 非基变量
XB
XN
19
例1、 X1+2X2 +X3 =30