错误概率与译码规则

所得译码函数为C： 平均错误概率为：
F (b1) a3
F
(b2
)
a3
F (b3 ) a3
P''' E
P(aibj ) (0.125 0.05) (0.075 0.075) (0.05 0.125) 0.5
Y , X a*
可进一步写出平均错误概率：
PE P(bj )P(e / bj ) {1 P[F (bj ) / bj ]}P(bj )
Y
Y
1 P[F (bj )bj ] p(aibj ) P[F(bj )bj ]
Y
X ,Y
Y
p(aibj ) P[a*bj ]
P(aibj )
X ,Y
P(bj )
P(bj )
1 错误概率与译码规则
即： P(bj / a*)P(a*) P(bj / ai )P(ai )
当信源等概分布时，上式为：
P(bj / a*) P(bj / ai )
这称为最大似然译码准则，方法是收到一个 后，在信道矩b阵j 的第j 列，选择最大的值所对应的输入符号作为译码输出。
Y
Y , X a*
1 错误概率与译码规则
或者写成：
PE
P(bj / ai )P(ai )
Y , X a*
上式也可写成对行求和：
PE P(ai ) P(bj / ai )
X
Y
F (bj ) a
P(ai )Pe(i)
X
如果先验概率相等，则：
PE
1 r
X
P(i) e
1 错误概率与译码规则
1
1
1/3
若收到“0”译作“0”，收到“1”译作“1”，则平均错误概率为：
PE
P(0)
P(0) e
P(1)
P(1) e
2 3
反之，若收到“0”译作“1”，收到“1”译作“0”，则平均错误概率为1/3，
可见错误概率与译码准则有关。
1 错误概率与译码规则
我们来定义译码准则：输入符号集： 输出符号集： 译码规则：
Pe
p(bj )P(e / bj )
p(bj )(1 P(ai / bj ))
j 1
j 1
它表示经过译码后平均收到一个符号所产生错误的大小，也称平均错误概 率。
1 错误概率与译码规则
下面的问题就是如何选择
小，就应选择 足条件：
P(e / b
j为) 最大，，经即过P(选a前i 择/边bj译)的码讨函论数可以看出P，(F为(b使j 并) / b使j )之满最
1 3 Y , X a*
P(b /
a)
1 4
(0.3 0.2)
1 4
(0.3
0.3)
1 2
(0.2
0.5)
0.6
1 错误概率与译码规则
若采用最小错误概率译码准则，则联合概率矩阵为：
0.125
P(aib j
)
0.05
0.15
0.075 0.075 0.15
0.05 0.125 0.2
A {ai}
F (bj ) ai
例：
设计译码准则：A：
0.5 0.3 0.2 P 0.2 0.3 0.5
0.3 0.3 0.4
F (b1) a1 F (b2 ) a2 F (b3 ) a3
和B：
F (b1) a1 F (b2 ) a3 F (b3 ) a2
1 错误概率与译码规则
译码规则的选择应该有一个依据，一个自然的依据就是使平均错误概率 最小。
有了译码规则以后，收到 的情况b下j ，译码的条件正确概率为： P(F (bj ) / bj ) P(ai / bj )
1 错误概率与译码规则
而错误译码的概率为收到 后，推测b发j 出除了 之外其它符号的ai概率：
P(e / bj ) 1 P(ai / bj )
可以得到平均错误译码概率为：
m
s
1 错误概率与译码规则
若采用前边讲到的译码函数A，则平均错误率为：
PE'
1 3 Y , X a*
P(b / a)
1 [(0.3 0.2) (0.3 0.3) (0.2 0.5)] 3
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0.6
若输入不等概分布，其概率分布为：
P(a1)
1 4
,
P(a2
)
1 4
,
P(a3 )
1 2
PE''
P(a* / bj ) P(ai / bj ) ai a*
F(bj ) a*
也就是说，收到一个符号以后译成具有最大后验概率的那个输入符号。
这种译码准则称为“最大后验概率准则”或“最小错误概率准则”。
根据贝叶斯定律，上式也可以写成
P(bj / a*)P(a*) P(bj / ai )P(ai )
例：
0.5 0.3 0.2 P 0.2 0.3 0.5
0.3 0.3 0.4
根据最大似然准则可选择译码函数为B：
F (b1) a1
F
(b2
)
a3
F (b3 ) a2
1
1
PE
3 Y , X a*
P(b / a)
[(0.2 0.3) (0.3 0.3) (0.2 0.4)] 3
0.567
1 错误概率与译码规则
为了减少错误，提高通信的可靠性，就必须分析错误概率与哪些因素有关， 有没有办法控制，能控制到什么程度。
前边已经讨论过，错误概率与信道的统计特性有关，但并不是唯一相关的因 素，译码方法的选择也会影响错误率。
1 错误概率与译码规则
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0
例：有一个BSC信道，如 图所示
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