高数第九章数项级数

1 而级数 发散, n 1 n 1

级数
n 1

1 发散. n( n 1)
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4.比较审敛法的极限形式:
un l, 设 un 与 v n 都是正项级数, 如果 lim n v n n 1 n 1




则(1) 当 0 l 时, 二级数有相同的敛散性;
而级数 r m 1uN 1收敛,
m 1
,
m 1
uN 1 ,
n
uN m
m 1
n N 1
u 收敛,
收敛
当 1时, 取 1, 使r 1,
当n N时, un1 run un , lim un 0.
n
vn发散. n 1

u
n 1

n 收敛(发散)
且v n kun ( n N )( kun v n ) , 则
v n 收敛(发散). n 1

比较审敛法的不便: 须有参考级数.
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例 1 讨论 P-级数
1 1 1 1 1 p p p p 的收敛性.( p 0) 2 3 4 n 1 1 设 p 1, p , 则P 级数发散. 解 n n
n n lim q lim sn 当q 1时, n n
发散
如果 q 1时
当q 1时,
sn na
发散
当q 1时, 级数变为a a a a
lim sn不存在
n

发散
综上
当 q 1时, 收敛 级数 aq ， n 0 当 q 1时, 发散
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级数的收敛与发散:
当 n 无限增大时, 如果级数 un 的部分和
n 1

数列 sn 有极限 s , 即 lim sn s 则称无穷级数
n
un 收敛,这时极限 s 叫做级数 un 的和.并 n 1 n 1
写成 s u1 u2 u3
注意：与p无关.
柯西收敛原理(等价描述):
n 1
由数列的Cauchy收敛准则
级数 un收敛 0, N ,当m, n N时(不妨设n m),
都成立: Sm Sn un1 un2 um
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例 应用级数收敛的柯西准则证明级数
(2) 当 l 0 时，若
v n 收敛, 则 un 收敛; n 1
n 1


(3) 当 l 时, 若
v n 发散,则 un 发散;
n 1 n 1


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un 证明 (1) 由lim l n v n
l 对于 0, 2
l un l N , 当n N时, l l 2 vn 2
1 级数收敛, 和为 . 2
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二、基本性质
性质 1 如果级数
u
n 1

n
收敛,则 kun 亦收敛.
n 1

结论: 级数的每一项同乘一个不为零的常数, 敛散性不变.
性质 2 设两收敛级数s

un , v n , n 1 n 1
则级数
( un v n ) 收敛,其和为s . n 1
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1 (1) sin ; n n 1


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5.比值审敛法(达朗贝尔 D’Alembert 判别法)：
设
n 1

un 1 (常数或 ) n u un 是正项级数,如果 lim n
则 1时级数收敛; 1 时级数发散; 1 时失效.
证明 当为有限数时, 对 0,
1 1 1 m m p m
即证.
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II 正项级数
1.定义: 如果级数 un中各项均有un 0，
这种级数称为正项级数. 2.正项级数收敛的充要条件: s1 s2 sn 部分和数列 { sn } 为单调增加数列. 定理
n 1
正项级数收敛 部分和所成的数列 sn 有界.
类似地可以证明在级数前面加上有限项不 影响级数的敛散性.
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性质 4 收敛级数加括弧后所成的级数仍然收 敛于原来的和.
注意
收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛.
例如 (1 1) (1 1)
1111
收敛 发散
推论 如果加括弧后所成的级数发散,则原来级 数也发散.
1 1 1 1 1 1 1 1 (1 ) ( ) ( ) 2 3 2 3 5 2 2n 1 2n 1
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1 1 (1 ), 2 2n 1
1 1 1 lim sn lim (1 ) , n n 2 2n 1 2
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三、收敛的必要条件
级数收敛的必要条件:
当n无限增大时 , 它的一般项un趋于零, 即
级数收敛 lim un 0.
证明
s un
n 1
n
则 un sn sn1 ,
lim un lim sn lim sn1 s s 0. n n n
l 3l 即 vn un vn 2 2
(n N )
由比较审敛法的推论, 得证.
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例 3 判定下列级数的敛散性:
1 (2) n ; n 1 3 n 1 sin n 1, 原级数发散. 解 (1) lim n sin 1 lim n n n 1 1 n n 1 3 n 1, lim ( 2) lim n 1 n n 1 n n 3 3 1 n收敛 , 故原级数收敛. n 1 3
如果sn 没有极限,则称无穷级数
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u
n 1

n 发散.
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级数的余和:
rn s sn un1 un 2 un i
i 1

例 1 讨论等比级数(几何级数)
aq
n 0

n
a aq aq aq (a 0)
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注意
1.如果级数的一般项不趋于零,则级数发散;
1 2 3 n n1 例如 ( 1) 发散 2 3 4 n1
2.必要条件不充分.
1 1 1 例如调和级数 1 2 3 n
有 lim un 0, 但级数是否收敛? 级数发散
n
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例 2 判别无穷级数
1 1 1 的收敛性. 1 3 3 5 ( 2n 1) ( 2n 1)
1 1 1 1 ( ), 解 un ( 2n 1)(2n 1) 2 2n 1 2n 1
1 1 1 sn 1 3 3 5 ( 2n 1) ( 2n 1)
2 n
的收敛性.
2 n1 s a aq aq aq 解 如果q 1时 n n a aq a aqn , 1 q 1 q 1 q
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a sn 当q 1时, lim q 0 lim n 1 q 收敛 n
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第九章 级数
数项级数
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I 级数的收敛性及其基本性质
一、定义

一般项
一系列无穷多个数的和式：无穷级数 级数的部分和 n
un u1 u2 u3 un n1 sn u1 u2 un ui
i 1
部分和数列
s1 u1 , s2 u1 u2 , s3 u1 u2 u3 ,, sn u1 u2 un ,
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结论: 收敛级数可以逐项相加与逐项相减.
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性质 3
若级数
u
n 1

n
收敛,则
n k 1
u

n 也收敛
( k 1) .且其逆亦真.
证明
uk 1 uk 2 uk n n uk 1 uk 2 uk n sn k sk , 则 lim n lim sn k lim sk s sk . n n n
级数发散 .
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讨论：方法二
2项 4项 8项
2项
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 (1 ) ( ) ( ) ( ) 2 3 4 5 6 7 8 9 10 16 1 1 1 ( m m m 1 ) 2 1 2 2 2
1 n2
收敛。
证 0, N [ 1 ], 使得当 m N 及对任意正整数 p ，有
1 1 1 | um1 um2 um p | 2 2 2 (m 1) (m 2) (m p) 1 1 1 m(m 1) (m 1)(m 2) (m p 1)(m p)
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3.比较审敛法
设 un和 vn均为正项级数，
n 1



n 1
且 un vn ( n 1, 2,) ,若 vn 收敛,则 un 收敛； 反之，若 un 发散，则 vn 发散.

n 1 n 1

大收小收,
小发大发.
证明 (1) 设 vn un vn ,
un1 N , 当n N时, 有 , un
un1 即 un
(n N )
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当 1时, 取 1 ,
使r 1,
uN 2 ruN 1 ,
uN m r

uN 3 ruN 2 r 2 uN 1 ,
n
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讨论：方法一
n 1 1 1 1 , s2 n sn n1 n 2 2n 2 n 2
假设调和级数收敛 , 其和为s.
于是 lim( s2 n sn ) s s 0,
n
1 便有 0 (n ) 2
这是不可能的.
n 1
n 1

n 1
且 sn u1 u2 un v1 v2 vn ,
即部分和数列有界

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un收敛. n 1
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(2) 设 sn (n ) 且 un vn ,
则 n sn

推论: 若
不是有界数列 定理证毕.
n dx 1 设 p 1, 由图可知 p n1 p n x 1 1 1 sn 1 p p p 2 3 n 2 dx n dx o 1 1 p n1 p x x
y
y
1 ( p 1) xp
1
2
3
4
x
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1 1
1 每项均大于 2
2 m项
1 即前m 1项大于( m 1) 2
由性质4推论,调和级数发散.
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级数发散 .
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三、收敛的充要条件
柯西收敛原理:
级数 un收敛 0, N ,当n N时, 对p 1,2,3,
n 1
都成立 : un 1 un 2 u n p
n
dx 1 1 1 (1 p1 ) 1 p 1 x p1 n p1
即sn有界,
则P 级数收敛.
当p 1时, 收敛 P 级数 当p 1时, 发散
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例 2 证明级数

n 1

1 是发散的. n( n 1)
证明
1 1 , n( n 1) n 1
发散
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比值审敛法的优点: 不必找参考级数.