数学数学期望

例4.1.2 假设某人有 10 万元，如果投资于一项目将有 30%的可能获利 5 万，60% 的可能不赔不赚，但有 10%的可能损失全部 10 万元；同期银行的利率为 2% ，问他应该如何决策？
解. 以 X 记这个项目 的投资利润。
利润 5 0 – 10 概率 0.3 0.6 0.1
平均利润为：
E X = 5×0.3 + 0×0.6 + (– 10)×0.1 = 0.5，
例如， 1. 假定发生意外的概率是 0.001，则在购买保险的 15,000 人中，平均起来有多少个人需要赔偿？ 2. 统计资料表明强烈地震的间隔服从参数 430 (天) 的指数分布，则平均多长时间发生一次强震？
1.离散型随机变量的数学期望
数学期望——描述随机变量取值的平均特征 引例 1 设某班40名学生的概率统计成绩及得 分人数如下表所示： 分数 40 60 70 80 90 100 人数 1 6 9 15 7 2 则学生的平均成绩是总分÷总人数(分)。即 1 40 660 970 1580 790 2100 76.5(分) 1 6 9 15 7 2
随机变量某一方面的概率特性
都可用数字来描写
本 r.v.的平均取值 —— 数学期望
章 r.v.取值平均偏离均值的情况
内
—— 方差
容 描述两 r.v.间的某种关系的数
—— 协方差与相关系数
或者是：两个随机变量相依的程度。
第一节 数学期望
一. 数学期望(均值) 的定义
直观理解，数学期望就是一个随机变量所有可能 取值的加权平均值，权就是这些可能值相应的概率。
例2 按规定，某公交车每天8点至9点和9点至10点都恰有一辆
到站，各车到站的时刻是随机的，且各车到站的时间是相互独立
的，其规律为
到站时刻 8:10/9:10 8:30/9:30 8:50/9:50
概率
0.2
0.4
0.4
某乘客8:20到站，求他候车时间的数学期望． 解 设乘客的候车时间为X,若该乘客8:20到车站,而8点到9点的
应随可能值的排列次序而改变.
(3) 数学期望 E(完X )全由随机变量 的概X 率分布所确 定.若 服从某X一分布也称 是这一E(分X布) 的数学期
望.
例1 设随机变量X的分布列为 X
P
求 E(X )
－1 3 0.4 0.6
解 易知 E(X ) 1 0.4 3 0.6 1.4
若将此例视为甲、乙两队“比赛”，甲队赢的概率为 0.6，输的概率为0.4，并且甲队每赢一次得3分，每输一 次扣1分，则 E(X) = 1.4 是指甲队平均每次可得分．
此要求 xk pk k 1
否则，称随机变量的数学期望不存在．
关于定义的几点说明
(1) E(X)是一个实数,而非变量,它是一种加权平 均,与一般的平均值不同 , 它从本质上体现了随机变
量 X 取可能值的真正的平均值, 也称均值.
(2) 级数的绝对收敛性保证了级数和不随级数中 各项次序的改变而改变 , 之所以这样要求是因为数 学期望是反映随机变量X 取可能值的平均值,它不
引例2 有甲、乙两射手，他们的射击技术用下表给
出
甲射手
击中环数 X甲
8
9
10
概率
0.3 0.1
0.6
乙射手
击中环数 X乙
8
9
10
概率
0.2 0.5
0.3
问甲和乙谁的射击水平较高？
解 “射击水平”一般用平均击中环数来反映。所以， 只要对他们的平均击中环数进行比较即可。
问题：已知随机变量的概率分布, 如何计算其平均值？
击中环数 X甲
8
9Leabharlann Baidu
10
概率
0.3
0.1
0.6
击中环数 X乙
8
9
10
概率
0.2
0.5
0.3
分析：若甲射击N次, 设击中8环, 9环和10环的次数分
别为 N1、N2和N3 次，则甲在N次射击中，平均每次击中 的环数为
8 N1 9 N2 10 N3 8 N1 9 N2 10 N3 8 f1 9 f2 10 f3
又要看 纤维长度与平均长度的偏离程度 平均长度越长,偏离程度越小, 质量就越好;
考察一射手的水平, 既要看他的 平均环数是否高, 还要看他弹着点的 范围是否小, 即数据的波动是否小.
由上面例子看到，与 r.v. 有关的 某些数值，虽不能完整地描述 r.v.但 能清晰地描述 r.v.在某些方面的重要 特征 , 这些数字特征在理论和实践上 都具有重要意义.
第四章 随机变量的数字特征
本章内容： 4.1 随机变量的数学期望； 4.2 随机变量的方差 ； 4.3 协方差和相关系数 ; 4.4 矩与协方差矩阵 .
分布函数能完整地描述 r.v.的统 计特性, 但实际应用中并不都需要知 道分布函数，而只需知道 r.v.的某些 特征.
例如： 判断棉花质量时, 既看纤维的平均长度
N
NN
N
由于概率是频率的稳定中心，以E( X甲）表示甲的平均击
中环数, 则 E（X甲） 8 0.3 9 0.110 0.6 9.3
E（X乙） 8 0２. 9 0５. 10 0３. 9.1,
由于 E（X甲）>E（X乙）, 故认为甲射手的水平较高。
可以看出：平均值是以分布概率为权重的加权平均。
定义 设离散型随机变量X的概率分布为
P{X = xk }= pk ， k =1,2,3…
若级数 xk pk ，则称级数和 xk pk
k 1
k 1
为随机变量 X 的数学期望（或均值），记作E（X）
E( X ) xk pk k 1
随机变量 X 的数学期望完全是由它的概率分布确定
的，而不应受 X 的可能取值的排列次序的影响，因
一趟车已于8:10开走,第二趟车9:10开,则他候车的时间为50 min，
对应的概率为事件“第一趟车8:10开走，且第二趟9:10开”发生
的概率, 即 P{X 50} 0.2 0.2 0.04
该乘客其余候车时间对应的概率可类似得到，于是候车时间
X的分布列为
X 10 30 50 70 90 P 0.4 0.4 0.04 0.08 0.08
而同期银行的利息是 10×0.02 = 0.2 ，
因此从期望收益的角度应该投资这个项目。
□
例3 设X~P(), 求 E(X). E(X)=
解 X的分布律为
P{X k} k e , k 0,1,2, , 0.
k!
E(X)
k k e
k!
e
k0
k 1
k 1
(k 1)!
e e