高三数学天天练1108j

天天练1108

1、已知,则( )

A. B. C. D.

答案：A

解析：.

2、已知为非零向量,且,则下列命题中与等价的个数有( )

①;②;③;④.

A.1个

B.2个

C.3个

D.4个

答案：D

解析：由数量积的定义得；②由两个向量垂直的充要条件得；③④都能转化到

.因此选D.

3、在等比数列中,公比,,,,求

的最小值.

答案：因为,所以,又因为

.且,所以.即

,解得或.(舍)

所以,所以.所以.所以的最小值为6.

4、在中,内角,,所对的边分别是,,,已知,.

1.若的面积等于,求,;

2.若,求的面积.

答案：1.由余弦定理及已知条件得,又因为的面积等于,所以,得.

联立方程组,解得.

2.由题意得,即

,

当时,,,,.

当时,得,由正弦定理得,联立方程组

,解得.

所以的面积.

5、设函数.

1.求的最小正周期.

2.若函数与的图象关于直线对称,求当

时,的最大值.

答案：

1.

.故的最小正周期为

.

2.方法一:在的图象上任取一点,它关于的对称点

.

由题设条件,点在的图象上,从而

.

当时,,

因此在区间上的最大值为.

方法二:因区间关于的对称区间为,

且与的图象关于直线对称,

故在区间上的最大值为在区间上的最大值.

由1知.当时, .因此在区间上的最大值为

6、设函数(为常数,是自然对数的底数).

1.当时,求函数的单调区间;

2.若函数在内存在两个极值点,求的取值范围.

答案：1.函数的定义域为,

.

由可得,

所以当时,,函数单调递减;

当时,,函数单调递增;

所以的单调递减区间为单调递增区间为.

2.由1知,时,函数在内单调递减,

故在内不存在极值点;

当时,设函数,,

因为,

当时,当时,,单调递增; 故在内不存在两个极值点;

当时,得时,,函数单调递减;

时,,函数单调递增;

所以函数的最小值为,

函数在内存在两个极值点,

当且仅当解得.

综上所述,函数在内存在两个极值点时,的取值范围为.

7、设函数的定义域均为,且是奇函数,是偶函

数,,其中为自然对数的底数.

1.求的解析式,并证明:当时,;

2.设,证明:当

时,.

答案：1..

证明:当时,,故,又由基本不等式,有

,即.

2.由第一题得

⑤

⑥

当时,等价于⑦

等价于⑧

于是设函数,由⑤⑥,有

. 当时,(1)若,由③④,得,故在上为增函数,从而

,即,故⑦成立.(2)若,由

③④,得,故在上为减函数,从而,即

,故⑧成立.综合⑦⑧,

得.

解析：1.由的奇偶性及,①

得:②

联立①②解得,.当

时,,故. ③

又由基本不等式,有,即④

2.由第一题得

⑤

⑥

当时,等价于⑦

等价于⑧

于是设函数,由⑤⑥,有

. 当时,(1)若,由③④,得,故在上为增函数,从而

,即,故⑦成立.(2)若,由

③④,得,故在上为减函数,从而,即

,故⑧成立.综合⑦⑧,

得.

8、已知向量,且.

1.求及;

2.若,求的最大值和最小值.

答案：

1.,

.

∵,∴,

∴.

2.由1知

∵,∴,

∴,

∴当即时.

当即时.

9、已知数列的前项和为,().

1.求;

2.求证:数列是等比数列.

答案：1.由,得,

∴.

又,即,∴.

2.当时,,得

,

∴是首项为,公比为的等比数列.

解析：利用等比数列的定义判定某数列是不是等比数列,是常用方法.

三、计算题

10、已知递增等比数列,满足,且.

1.求数列的通项公式;

2.设,求数列的前项和.

答案：1.∵是等比数列,∴,

又满足,

∴,即,

又∵是递增数列,

∴,又,

∴,∴(舍去)或.

∴,

∴.

2.∵,∴,

又,

∴,

∴,①

∴,②

①-②得:

,

∴.

11、已知数列是递增的等比数列,且.

1.求数列的通项公式;

2.若数列满足,求数列的前项和.

答案：1.设等比数列的公比为,

∵.

∴,解得;或.

∵数列是递增的等比数列,

∴舍去.

∴;

∴.

2.∵数列满足

∴当时,

,

可得,