信号与系统傅里叶变换

实验四傅立叶变换和LTI系统的频域分析

4.1实验目的

1.熟悉信号的傅里叶变换及其逆变换；

2.掌握信号和系统频域分析方法；

3.了解快速傅里叶变换方法及其应用；

4.学会使用MATLAB分析信号和系统的频域特性，绘制信号的频谱图以及滤波

器的幅频、相频特性图。

4.2实验原理

傅里叶变换在众多领域都有着广泛的应用。在信号和系统中，通过傅里叶变换可将时域上的信号转换为频域上的频谱密度函数，还可将时域上的卷积运算转化为频域上较为简单的乘积运算。另外值得一提的是，离散形式的傅里叶变换（Discrete Fourier Transfer，简称DFT）可通过快速傅里叶变换算法（Fast Fourier Transfer，简称FFT）用计算机快速地实现。以FFT为基础的频域方法是现代数字信号和图像处理、通信、控制等众多领域的最基本的技术手段之一。

连续时间信号的傅里叶变换

连续时间信号的傅里叶变换（CFT）为

X(jω)=

∫∞

−∞

x(t)e−jωt dt,

其逆变换为

x(t)=1

2π

∫∞

−∞

X(jω)e jωt dω.

4.2实验原理实验四傅立叶变换和L TI系统的频域分析x(t)和X(jω)都是连续函数。

离散时间信号的傅里叶变换

离散时间信号的傅里叶变换（DTFT）为

X (

e jω

)

=

∞

∑

n=−∞

x[n]e−jωn,

其逆变换为

x[n]=1

2π

∫

2π

X

(

e jω

)

e jωn dω.

X(e jω)是周期为2π的连续函数。离散时间信号的傅里叶变换也是连续的。

离散傅里叶变换

由于数字系统一般都只能处理有限长的离散信号，所以必须将连续信号和它的频域变换函数都离散化，并且建立有限长离散序列间相对应的傅里叶变换关系，才能用数字系统（如用计算机）对信号进行处理。为达到这一目的，我们需要定义离散傅里叶变换。离散傅里叶变换的另一个好处是可用快速傅里叶变换算法来快速地计算。

对于一长度为N的有限长离散时间序列，其离散傅里叶变换（DFT）定义为

X[k]=

N

∑

n=1

x[n]W(n−1)(k−1)

N

,

逆变换为

x[n]=1

N

N

∑

k=1

X(k)W−(n−1)(k−1)

N

,

其中常数W N=e−j2πN。

从形式上来看，DFT处理的信号在时域和频域上都是有限长的离散序列，且长度相等。如果将其与DTFT做比较，可发现DFT实际上就是周期延拓的有限长离散时间序列的傅里叶级数，因此DFT变换前后的两组离散序列都应看作是离散周期信号的主值序列。DFT变换序列X[k]的值也可以理解为有限长离散序列的傅里

实验四傅立叶变换和L TI系统的频域分析 4.2实验原理叶变换

X (

e jω

)

=

N

∑

n=1

x[n]e−jω(n−1)

的频域采样，

X[k]=X (

e jω

)

ω=2π

N

(k−1)

.

而对于连续时间信号x(t)，DFT可以理解为先将信号在时域离散化得到x[n]，求得其傅里叶变换X(e jω)后，再在频域离散化的结果，即时域采样的傅立叶变换的频域采样。总之DFT可以看成是连续时间傅里叶变换的一种近似，但是要注意以下的问题：

1.连续信号必须是时限的；

2.连续信号的时域采样须满足采样定理；

3.DFT得到的频谱是N个频点上的离散频谱值，存在栅栏效应，即N个频点之

外频谱值是未知的。如需得到更多频点的信息，可对x[n]进行补零扩展，增大N的数量。

DFT在众多领域都有重要应用，而在实际应用中DFT及其逆变换都依赖于快速算法，即快速傅里叶变换FFT。按照DFT的定义计算一个长为n的序列的DFT的计算复杂度为O(n2)，而同样长度FFT的计算复杂度仅为O(n log n)。正是FFT算法的提出，使DFT在数字信号处理中得到了广泛的应用。MATLAB提供了fft和ifft函数，可分别实现DFT及其逆变换的快速算法。

连续时间信号的频谱分析

前面我们已经知道，DFT是连续傅里叶变换的近似。因此我们可以通过连续时间信号x(t)进行均匀采样并截断得到有限长离散序列x[n]，对序列作FFT，就可以得到x(t)频谱的采样值，分析其频谱的的性质。X(jω)一般为复函数，其模和相位

可表示为

X(jω)=

X(jω)

e jϕ(ω),

其中

X(jω)

反映信号各频率分量的幅度随频率ω的变化情况，称为信号的幅度频

谱；phi(ω)反映信号各频率分量的相位随频率ω的变化情况，称为信号的相位频谱。

4.2实验原理实验四傅立叶变换和L TI系统的频域分析连续时间系统的频域分析

根据傅里叶变换的卷积性质，某一LTI系统输出信号的频谱满足

Y(jω)=X(jω)H(jω),

式中X(jω)是输入信号x(t)的傅里叶变换，H(jω)是系统单位冲激响应h(t)的傅里叶变换。H(jω)称为系统的频率响应（也称为系统系统传递函数、系统函数等），反映了系统内在的固有的特性，是描述稳定LTI系统特性的一个重要参数，其模和

相位表示为

H(jω)=

H(jω)

e jϕ(ω),

其中

H(jω)

称为系统的幅频特性，ϕ(ω)称为系统的相频特性。

MATLAB应用示例

对于连续时间信号，在MATLAB中我们虽然可以根据傅里叶变换的定义式，用数值方法求出信号的傅里叶变换，但是如前所述，算法上的效率远远不及用FFT来求解。

例1求矩形脉冲x(t)=u (

t+1

2

)

−u

(

t−1

2

)

的傅里叶变换。

解：用FFT近似求解，脚本程序如下：

Fs=1000;%Sampling frequency

2T=1/Fs;%Sample time

L=50001;%Length of signal

4t=(-(L-1)/2:(L-1)/2)*T;%Time vector

x=+(t>=-0.5&t<0.5);%Signal-rectangular pulse

6NFFT=2^nextpow2(L);%Next power of2from length of y

time=cputime;

8y=fft(x,NFFT)*T;%FFT

y=fftshift(y);%Shift the spectrum

10cputime-time%Display the time used by the FFT operation f=((0:NFFT-1)/NFFT-0.5)*Fs;%The corresponding frequency vector

12subplot(2,1,1);plot(t,x);

xlabel('Time␣(s)');ylabel('Amplitude');

14axis([-1.5 1.5-0.1 1.1]);