专题：基本不等式与对勾函数
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一、对勾函数b
y ax x
=+)0,0(>>b a 的图像与性质
性质：
1. 定义域：),0()0,(+∞⋃-∞
2. 值域：),2()2,(+∞⋃--∞ab ab
3. 奇偶性：奇函数，函数图像整体呈两个“对勾”的形状，且函数图像关于原点呈中心对
称，即0)()(=-+x f x f 4. 图像在一、三象限
当0x >时，由基本不等式知b y ax x =+
≥ab 2（当且仅当x =，
即)(x f 在x=a
b
时，取最小值ab 2 由奇函数性质知： 当x<0时，)(x f 在x=a
b
-
时，取最大值ab 2- 5. 单调性：增区间为（
∞+,a b ）
，（a b
-∞-,） 减区间是（0，
a
b ），（a b
-,0）
二、对勾函数的变形形式 类型一：函数b
y ax x
=+
)0,0(<
b x a y )
()(-+-=关于原点对称，故函数图像为
性质：
类型二：斜勾函数b
y ax x
=+
)0( ①0,0<>b a 作图如下 性质： ②0,0> 类型三：函数)0()(2>++= ac x c bx ax x f 此类函数可变形为b x c ax x f ++ =)(，则)(x f 可由对勾函数x c ax y +=上下平移得到 例1作函数x x x x f 1 )(2++=的草图 解：11 )(1)(2++=⇒++= x x x f x x x x f 作图如下： 类型四：函数)0,0()(≠>++=k a k x a x x f 此类函数可变形为k k x a k x x f -+++=)()(，则)(x f 可由对勾函数x a x y +=左右平移，上下平移得到 例2作函数2 1 )(-+=x x x f 的草图 解：22 1 2)(21)(+-+-=⇒-+=x x x f x x x f 作图如下： 例3作函数x x x x f +++=23 )(的作图： 解：12 1 2211212)(23)(-+++=+++=++++=⇒+++= x x x x x x x x f x x x x f 练习： 1.求函数4 21 )(-+=x x x f 在),2(+∞上的最低点坐标 2. 求函数1 )(-+=x x x x f 的单调区间及对称中心 类型五：函数)0,0()(2>≠+= b a b x ax x f 此类函数定义域为R ，且可变形为x b x a x b x a x f + =+= 2 )( a.若0>a ，则)(x f 的单调性和对勾函数x b x y + =的单调性相反，图像如下： 性质： 1．定义域：),(+∞-∞ 2. 值域：)21,21(b a b a ⋅ ⋅ - 3. 奇偶性：奇函数，函数图像整体呈两个倒着的“对勾”的形状，且函数图像关于原点呈中心对称，即0)()(=-+x f x f 4. 图像在一、三象限 当0x >时，由基本不等式知b a x b x a x f 22)(= ⋅ ≤ （当且仅当b x =取等号） ， 即)(x f 在b x =时，取最大值 b a 2 由奇函数性质知： 当x<0时，)(x f 在x=b -时，取最小值b a 2- 5. 单调性：减区间为（∞+,b ），（b -∞-,） 增区间是],[b b - 例4作函数1 )(2 +=x x x f 的草图 解：x x x x x f x x x f 111 1)(1)(22+ =+=⇒+=