信号与系统(刘树棠译)第三章

∞ ∞ ∞ ∗ ∗ x∗ (t ) = ∑ ak e jkω0t = ∑ ak e− jkω0t = ∑ a−k e jkω0t = ∑ ak e jkω0t k =−∞ k =−∞ k =−∞ k =−∞ ∞ *
∗
∴ak = a
∗ −k
或
a = a− k
* k
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jθ 若令 ak = Ak e k 则 a0 为实数
2
3.0 引言 Introduction
• 时域分析方法的基础 ： 1)信号在时域的分解。 1)信号在时域的分解。 信号在时域的分解 2)LTI系统满足线性、时不变性。 系统满足线性、时不变性。 系统满足线性
•
从分解信号的角度出发， 从分解信号的角度出发，基本信号单元必 须满足两个要求： 须满足两个要求：
任何科学理论, 科学方法的建立都是经过许 任何科学理论, 多人不懈的努力而来的, 其中有争论, 多人不懈的努力而来的, 其中有争论, 还有人为 之献出了生命。 历史的经验告诉我们, 之献出了生命。 历史的经验告诉我们, 要想在 科学的领域有所建树，必须倾心尽力为之奋斗。 科学的领域有所建树，必须倾心尽力为之奋斗。 今天我们将要学习的傅立叶分析法， 今天我们将要学习的傅立叶分析法，也经历了曲 折漫长的发展过程，刚刚发布这一理论时， 折漫长的发展过程，刚刚发布这一理论时，有人 反对，也有人认为不可思议。但在今天， 反对，也有人认为不可思议。但在今天，这一分 析方法在许多领域已发挥了巨大的作用。 析方法在许多领域已发挥了巨大的作用。
{
0
0
0, T0 ,
k≠n k=n
− jnω0 t
1 dt =anT0 即 a n = T0
∫
T0
0
x (t ) e − jnω 0 t dt
在确定此积分时，只要积分区间是一个周期即可， 在确定此积分时，只要积分区间是一个周期即可， 对积分区间的起止并无特别要求，因此可表示为 对积分区间的起止并无特别要求， 分析公式
17
四.连续时间傅里叶级数的系数确定 如果周期信号 x(t )可以表示为傅里叶级数 综合公式
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x(t ) =
k =−∞
∑ae
k
k =−∞
∞
jkω0t
2π ω0 = 则有 T
x (t )e − jnω0t =
∑
∞
a k e j ( k − n ) ω0 t
对两边同时在一个周期内积分， 对两边同时在一个周期内积分，有
Signals and Systems
A.V. OPPENHEIM, et al.
第3章 周期信号的 傅里叶级数表示
Fourier Series Representation of Periodic Signals
1
本章内容： 本章内容：
Ⅰ. 周期信号的频域分析 Ⅱ. LTI系统的频域分析 系统的频域分析 Ⅲ. 傅立叶级数的性质
4
傅里叶生平
1768—1830
• 1768年生于法国 1768年生于法国 • 1807年提出“任何周 1807年提出“ 年提出 期信号都可以用正弦 函数的级数来表示” 函数的级数来表示” • 拉格朗日反对发表 • 1822年首次发表“热 1822年首次发表 年首次发表“ 的分析理论” 的分析理论” • 1829年狄里赫利第一 1829年狄里赫利第一 个给出收敛条件
1 ak = T
∫
T
x (t )e
− jk ω 0 t
dt
1 a0 = T
∫
T
x ( t ) dt
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a0 是信号在一个周期的平均值，通常称直流分量。 是信号在一个周期的平均值，通常称直流分量。
Page135： 3.3、 Page135：例3.3、3.4 五.周期性矩形脉冲信号的频谱
x(t )
⋅⋅⋅⋅
其中
sin x Sa( x ) = x
1 jω0t 1 − jω0t x(t) = cosω0t = e + e 2 2
10
显然该信号中，有两个谐波分量， 显然该信号中，有两个谐波分量， ±1 = 1 为相应 a 2 分量的加权因子。 分量的加权因子。 例2： x(t) = cosω0t + 2cos3ω0t
1 jω0t − jω0t j 3ω0t − j 3ω0t = [e + e ] + e +e 2 在该信号中，有四个谐波分量， 在该信号中，有四个谐波分量，即 k = ±1 ± 3, ,
时对应的谐波分量。 时对应的谐波分量。 傅里叶级数表明： 傅里叶级数表明：连续时间周期信号可以按傅立叶 级数被分解成无数多个复指数谐波分量的线性组合。 级数被分解成无数多个复指数谐波分量的线性组合。
11
频谱（ 二.频谱（Spectral）的概念 ） 中的每一个信号， 信号集 Φk (t ) 中的每一个信号，除了成谐波关系 的变化规律都是一样的， 外，每个信号随时间 t 的变化规律都是一样的， 差别仅仅是频率不同。 差别仅仅是频率不同。 在傅里叶级数中，各个信号分量（谐波分量） 在傅里叶级数中，各个信号分量（谐波分量） 间的区别也仅仅是幅度（可以是复数） 间的区别也仅仅是幅度（可以是复数）和频率不 因此， 同。因此，可以用一根线段来表示某个分量的幅 度，用线段的位置表示相应的频率。 用线段的位置表示相应的频率。
k =−∞
h( n ) z − n ∑
∞
只有复指数函数才能成为一切LTI系统的特征函数。 系统的特征函数。 只有复指数函数才能成为一切 系统的特征函数 对时域的任何一个信号 x(t ) 或者 x( n) ,若能将其 表示为下列形式： 表示为下列形式：
x(t) = a1e + a2e + a3e
s1t s2t
Fourier Series Representation of Continuous-Time Periodic Signals 一. 连续时间傅里叶级数 成谐波关系的复指数信号集: 成谐波关系的复指数信号集: Φ (t ) = {e jkω0t } k 2π 为周期的， 其中每个信号都是以 为周期的，它们的公 kω 0 共周期为 2 π ，且该集合中所有的信号都是彼 此独立的。 此独立的。
]
= a0 + 2∑ Ak cos(kω0t + θ k )
k =1
——傅里叶级数的三角函数表示式 傅里叶级数的三角函数表示式 若令 ak = Bk + jCk 则
x(t ) = a0 +
k =−∞
∞
( Bk + jCk )e jkω0t + ∑ ( Bk + jCk )e jkω0t ∑
k =1
−1
6
结论： 结论： • 复指数函数
是一切LTI系统的特征函 e st、 z n是一切 系统的特征函
数。 H (s) 、 H ( z) 分别是LTI系统与复指数信号 分别是 系统与复指数信号 相对应的特征值。 相对应的特征值。
H ( s ) = ∫ h(t )e dt
−∞ ∞ − st
H ( z) =
x(t ) =
k =−∞
∑
∞
Ak e e
∞
jθk
jkω0t
=a0 +
− jkω0t
k =−∞
∑
−1
Ak e
j ( kω0t +θk )
+ ∑ Ak e j ( kω0t +θk )
k =1
∞
= a0 + ∑ [ A− k e
k =1
e
jθ − k
+ Ak e
jkω0t
e ]
jθ − k
jθ k
Q a = a− k
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gggg a−3
a−2
a−1
a0
a1
a2
−ω0 ω0
a3 gggg
ω
随频率的分布表示出来， 频谱图其实就是将 a k 随频率的分布表示出来， 关系。由于信号的频谱完全代表了信号 信号的频谱完全代表了信号， 即 ak ~ ω 关系。由于信号的频谱完全代表了信号， 研究它的频谱就等于研究信号本身。因此， 研究它的频谱就等于研究信号本身。因此，这种表 示信号的方法称为频域表示法。 示信号的方法称为频域表示法。 频域表示法 三.傅里叶级数的其它形式 傅里叶级数的其它形式 是实信号, 若 x(t )是实信号,则有 x (t ) = x (t ) ，于是
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傅里叶的两个最重要的贡献—— 傅里叶的两个最重要的贡献
• “周期信号都可以表示为成谐波关系的正弦信 周期信号都可以表示为成谐波关系的正弦信 号的加权和” 号的加权和”——傅里叶的第一个主要论点 傅里叶的第一个主要论点 • “非周期信号都可以用正弦信号的加权积分来 表示” 表示”——傅里叶的第二个主要论点 傅里叶的第二个主要论点
1.本身简单， 系统对它的响应能简便得到。 1.本身简单，且LTI系统对它的响应能简便得到。 本身简单 系统对它的响应能简便得到 2.具有普遍性，能够用以构成相当广泛的信号。 2.具有普遍性，能够用以构成相当广泛的信号。 具有普遍性
3
3.1历史的回顾 （A Historical Perspective） 历史的回顾 ）
* k
∴ Ak e
− jθ k
= A− k e
即： 表明
Ak = A− k
θ k = −θ − k
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ak 的模关于 k 偶对称，幅角关于 k 奇对称。 偶对称， 奇对称。
∴ x (t ) = a0 + ∑ [ A− k e
k =1
∞
∞
− jkω0 t
e
jθ − k
+ Ak e
jkω0 t
e
jθ k
k skt
y(t) = ∑ak H(sk )e
k
sk t
同理： 同理： x(n) = a Z n ∑k k
k
n y(n) = ∑ak H(Zk )Zk k
Page130：例3.1 ： *问题：究竟有多大范围的信号可以用复指数信号的 问题： 线性组合来表示？ 线性组合来表示？
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3.3 连续时间周期信号的傅里叶级数表示
∞
将此关系代入， 将此关系代入，可得到
x (t ) = a0 + ∑ ( Bk + jCk )e jkω0t + ( Bk − jCk )e − jkω0t
= a0 + 2∑ [ Bk cos kω0t − Ck sin kω0t ]
k =1
k =1 ∞
——傅里叶级数的另一种三角函数形式 傅里叶级数的另一种三角函数形式
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分量 e
jω0t
可表示为
ω
1 jω0t cos ω0t = (e + e − jω0t ) 2
1 2 1 2
1
ω0
∞
−ω0
0
ω0
ω
因此，当把周期信号x ( t ) 表示为傅里叶级数 因此，
x (t ) =
k = −∞
∑
ak e
jk ω 0 t
时，就可以将 x ( t ) 表示为 这样绘出的图 称为频谱图 称为频谱图
ω
0
如果将该信号集中所有的信号线性组合起来， 如果将该信号集中所有的信号线性组合起来，有
9
x (t ) =
显然 x(t ) 也是以
k = −∞
∑
0
∞
a k e jk ω 0 t
2π
ω
为周期的。该级数就是傅里 为周期的。该级数就是傅里
叶级数， 为傅立叶级数的系数。 叶级数， ak 为傅立叶级数的系数。 这表明用傅里叶级数可以表示连续时间周期信号， 这表明用傅里叶级数可以表示连续时间周期信号， 即: 连续时间周期信号可以分解成无数多个复指数 谐波分量。 谐波分量。 例 1：
s3t
7
利用系统的齐次性与叠加性 由于 e s1t → H ( s )e s1t 1
e → H ( s2 )e
s2t
s2t
e s3t → H ( s3 )e s3t
s1t
所以有
s2t s3t
x(t) → y(t) = a1H(s1)e + a2H(s2 )e + a3H(s3 )e
即：
x(t) = ∑ak e
∫
T0 0
x (t ) e
− jnω 0 t
dt =
k = −∞
∑
∞
a k ∫ e j ( k − n ) ω 0 t dt
0
T0
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∫
T0
0
e
j ( k − n )ω0t
dt = ∫ cos(k − n)ω0tdt + j ∫ sin(k − n)ω0tdt
T0
T0
=
∴ ∫ x (t ) e
0 T0
−T0
1
⋅⋅⋅⋅ t
T0
1 ak = T0
∫
T1
−T1
e
− jkω0t
dt = −
1 jkω0T0
e
− jkω0t T1 −T1
2sin kω0T1 = kω0T0
2T1 sin k ω 0T1 2T1 2T1 2T1 = = Sa ( k ω 0T1 ) = sin c ( k) T0 k ω 0T1 T0 T0 T0
∞
= a 0 + ∑ ( Bk + jC k ) e jk ω 0 t + ( B− k + jC − k ) e − jk ω 0 t
k =1
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Q a = a− k
* k
∴ Bk − jCk = B−k + jC−k
因此 B k = B − k 即
Ck = −C−k
ak的实部关于k 偶对称，虚部关于k 奇对称。 偶对称， 奇对称。