高数第十一章曲线积分与曲面积分 (4)

0
1
1 x 0
y (1 x y ) d y
8
3
120
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第十一章
曲线积分与曲面积分
例3
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第十一章
曲线积分与曲面积分
解释
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第十一章
曲线积分与曲面积分
结论：
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第十一章
曲线积分与曲面积分
2
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第十一章
曲线积分与曲面积分
定义 设曲面 是光滑的, 函数 f ( x , y , z )在 上有界, 把 分成 n小块 S i （ S i 同时也表示 第 i 小块曲面的面积） ,设点 ( i , i , i ) 为 S i 上 任意取定的点,作乘积 f ( i , i , i ) S i ,
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第十一章
曲线积分与曲面积分
例1. 计算曲面积分 被平面 解:
其中 是球面 截出的顶部.
z
Dx y : x 2 y 2 a 2 h 2
1
2 zx
h

ay

z2 y
Dx y
x
a dxd y 2π dS a d 2 2 2 Dx y a x y z 0
并作和 f ( i , i , i ) S i , 如果当各小块曲面
i 1 n
的直径的最大值 0时, 这和式的极限存在, 则称此极限为函数 f ( x , y , z ) 在曲面 上对面积 的曲面积分或第一类曲面积分.
3
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第十一章
曲线积分与曲面积分
f ( x , y, z )dS f ( x , y, z )dS . f ( x , y, z )dS

1 2
4
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第十一章
曲线积分与曲面积分
二、对面积的曲面积分的计算法
按照曲面的不同情况分为以下三种：
1. 若曲面 :
则

z z( x , y )
原式 =

1

2

x y z dS 3 4

0 y 1 x ( x, y ) D x y : 4 : z 1 x y, 0 x 1
4
x yz d S
3
Dx y
xy(1 x y ) d x d y 3 x d x
记为
f ( x , y, z )dS .

即
f ( i , i , i )Si f ( x, y, z )dS lim 0 i 1

n
其中 f ( x , y, z )叫被积函数， 叫积分曲面.
对面积的曲面积分的性质
若可分为分片光滑的曲面1及 2 , 则
1 2 π a ln(a 2 r 2 ) 2 0
0
a 2 h2
rd r a2 r 2
a2 h2
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例2. 计算
其中 是由平面
第十一章
曲线积分与曲面积分
与
z
1 1 x 1 y
坐标面所围成的四面体的表面. 解: 设 1 , 2 , 3 , 4 分别表示 在平面 上的部分, 则
结论：
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第十一章
曲线积分与曲面积分
结论
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第十一章
曲线积分与曲面积分
例4
解
由对称性
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第十一章
曲线积分与曲面积分
作业：
P222
4(2)，5(2)，6(偶)
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D
xz
2 2 f [ x , y( x , z ), z ] 1 y x yz dxdz;
3. 若曲面 ： x x ( y , z )
则 f ( x , y , z )dS

D
yz
2 2 f [ x ( y , z ), y , z ] 1 x y x z dydz.
Fra Baidu bibliotek
f ( x , y, z )dS
D
2 2 f [ x , y , z ( x , y )] 1 z x z y dxdy;
xy
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第十一章
曲线积分与曲面积分
2. 若曲面 ： y y ( x , z )
则 f ( x , y , z )dS
第十一章 曲线积分与曲面积分
第十一章 曲线积分与曲面积分
第四节 对面积的曲面积分
济南大学数学科学学院
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第十一章
曲线积分与曲面积分
一、对面积的曲面积分的概念与性质
实例
若曲面 是光滑的, 它的面密度为连 续函数( x , y , z ) , 求它的质量.
所谓曲面光滑 即曲面上各点处都 有切平面,且当点在 曲面上连续移动时, 切平面也连续转动.