建立方程、定解条件

界上的 p( x, y)（牛顿∕米），在它们的作用下，膜上各
对积分理论、行星运动理论、热物理、弹性理论、 电磁理论、位势理论和概率论都有重要贡献
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(2) 静电场的电位势 从静电学知道，穿过闭合曲面 向外的电通量等
于闭合曲面 所围空间 G 中的电量的 4 倍，即
E ndS 4 dxdydz
G
E是电场强度矢量,n是单位外法向量, 是电荷密度 ：
量所产生的总引力位势应为：
( x, y, z) ( ,, )
d dd ( x )2 ( y )2 (z )2
直接计算可得： 0 当( x, y, z) 时
还可进一步验证： －4 当( x, y, z) 时
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拉普拉斯（Laplace）
(1749－1827)
定义 调和方程(1.1)的连续解，即，关于变量 x，y，
z 具有二阶连续偏导数并且满足方程(1.1)的连续函数称为
调和函数。
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(1) 引力位势
P0 ( x0 , y0 , z0 )
F
P(x, y,z)
位于
P0
处，质量为
M
的质点对于位于
P 处具有单位质量的质点的引力 F ，
大小为 M ，方向与 r2
法国分析学家、概率论学家和物理 学家，法国科学院院士。
1784～1785年，他求得天体对其外 任一质点的引力分量可以用一个势函 数来表示，这个势函数满足一个偏微分方程，即著名的 拉普拉斯方程。
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泊松（Possion） (1781-1840)
法国数学家、几何学家和物理学家。
1798年入巴黎综合工科学校深造。 1806年任该校教授，1812年当选为巴 黎科学院院士。
§1 建立方程、定解条件
方程的导出 定解条件和定解问题 变分原理 分离变量法
2020/7/9
1.方程的导出
本章研究调和方程（又称拉普拉斯方程）
u
2u x 2
2u y 2
2u z 2
0
以及泊松方程
u
2u x 2
2u y 2
2u z 2
f (x, y, z)
的基本定解问题及解的性质。
(1.1) (1.2)
u 0 ( x, y, z) 外部
u n
g
（其中n是 的单位内法向量）
注：当考虑外问题时，为保证解的唯一性，还需对解在 无穷远的状况加以限制。在三维情形，通常要求：
limu( x, y, z) 0 (r x2 y2 z2 )
r
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其它边界条件
(5) 第三类边界条件
u u g （其中n是 的单位外法向量）
取膜的平衡位置为 xoy平面上的区域, 以u轴垂直 于 xoy 平 面 , 并 与 x, y 轴 组 成 右 手 系 . 的 边 界
，在 上已知膜的位移为 , 在上膜受到外力
的作用, 设它的垂直于膜的线密度为 p( x, y).
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② 物理原理：从力学上讲，可以从不同角度来刻画
移”？
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问题 1 的解答： 按照弹性力学理论
总势能 ＝ 应变能 － 外力作功
弹性体受外力作用发生变形, 变形中克服内力（即弹性体各质点
间的约束力）所作的功, 作为能量储存在弹性体内部, 称为弹性
势能或应变能.
从弹性力学理论知道：假设膜的形状为u v( x, y)，则
当 vx , v y 1时，膜的应变能可以表为张力与膜由于变形
所产生的面积的增量的乘积。即
应变能
T
T
1
v
2 x
v
2 y
1
dxdy
由于
1
1
1 2
o(
)
T 2
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v
2 x
v
2 y
dxdy
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即：
应变能 T 2
(v
2 x
v
2 y
)dxdy
如果膜所受的垂直方向的外力有两个，一个为作用
在膜内的F ( x, y)（牛顿∕米 2），另一个是作用在膜的边
n
(6) 等值面边界条件
u
待定常数C
（总流量边界条件）
u dS n
已知常数A
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3.变分原理
膜的平衡问题：
① 物理模型: 考虑一处于紧张状态的薄膜, 它的部 分边界固定在一框架上, 另一部分边界上受到外力的作 用; 若整个薄膜在垂直于平衡位置的外力作用下处于平 衡状态, 问膜的形状如何?
这个平衡状态。例如，力的平衡原理、虚功原理等。这
里用最小总势能原理，即
受外力作用的弹性体，在满足已知边界位移约束的
一切可能位移中，平衡状态的位移使物体的总势能为最
小。
③ 数学形式：为了对膜的平衡问题写出上述原理
的数学形式，我们必须弄清楚两个概念。
1、什么叫总势能？对于膜来说，总势能的数学形式
是什么？ 2、什么叫“满足已知边界位移约束的一切可能位
(1) 第一边值问题（Dirichlet问题）
u | g （其中 g是在闭曲面 上给定的函数）
(2) 第二边值问题（Neumann问题）
u g （其中n是 的单位外法向量） n
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(3) Dirichlet外问题
u 0 ( x, y, z) 外部 u g
(4) Neumann外问题
PP0 同向。即
F
(
x,
y,
z)
M r2
x
r
x0
,
y
r
y0
,
z
r
z0
其中 r ( x x0 )2 ( y y0 )2 (z z0 )2
令 (x, y, z) M
r
经计算可得： F grad
称为引力位势。除了可以相差一个常数外，位势函
数是唯一确定的。
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若质量以密度( x, y, z)分布在区域上，则上的质
u 0
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(3) 稳定温度分布 热传导持续进行下去，如果达到平衡状态，温度
的空间分布不再变动，即ut 0。以ut 0代入三维热 传导方程，得到温度的稳定分布方程
u
2u x 2
2u y 2
2u z 2
0
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2.定解条件和定解问题
由于 u 与时间 无关，只是空间 变量的函数，所以 定解条件中只有边界条件，称为边值问题。本章主要 研究第一、二类边值问题及外问题。
应用高斯公式，上式可改写为：
Edxdydz 4 dxdydz
G
G
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由区域G的任意性得： E 4
静电场方程
由于静电场是有势场，因而存在电势u， E u
从而静电场的电势u应当满足泊松方程
u 4
如果静电场的某一区域里没有电荷，即 = 0，则
静电场方程在该区域上简化为拉普拉斯方程