指数的扩充及其运算性质

11
第三章 指数函数和对数函数
答案：9
－ 53 270
3．无理数指数幂
对于无理数指数幂，我们可以从有理数指数
幂来理解，由于无理数是无限不循环小数，
因此可以取无理数的不足近似值和过剩近似
值来无限逼近它．
一般来说，无理数指数幂ap(a＞0，p是一个
无理数)是一个确定的实数．
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第三章 指数函数和对数函数
(2)正数的负分数指数幂的意义与负整数指数
1
m
m
幂的意义相仿： a n ＝____a _n_____(a＞0，m，
n∈N＋，且 n＞1)．
(3)0 的正分数指数幂等于___0_____,0 的负分 数指数幂___没__有__意__义______．
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4
第三章 指数函数和对数函数
由于有理数分为整数和分数，则引入分数指
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第三章 指数函数和对数函数
【解】
(1)原 式 ＝ (34×3
41 32
)
1 4
＝(3
4 2 3
)
1 4
＝
14 1
7
3 3 4 ＝3 6 .
(2)原式＝2×312×(32)13×(3×22)16＝21－13＋13×312＋13＋16
＝2×3＝6.
3 17
31 7 7
(3)原式＝(52×55)÷(52×510)＝52＋5－2－10＝55.
(m，n互素)，存在唯一的正实数b，使得bn ＝am，就把b叫作 ___a__的__mn_次__幂______，记作
m
____b_＝___a_n______.它就是分数指数幂．
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3
第三章 指数函数和对数函数
m
(1)正分数指数幂也可写成根式的形式，即 a n
＝___n__a_m____ (a＞0，m，n∈N＋，且 n＞1)．
(3) 3 ab2 ab3(a，b＞0)．
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第三章 指数函数和对数函数
2 3 1 21
1 21
解：(1)原式＝(53－52)÷52＝53÷52－53÷52＝53－2
2
31 1
－52－2＝56－5.
1
1
1
1
(2)原式＝a3·(－a)6＝－(－a)3·(－a)6
11
＝－(－a)3＋6＝－(－a)1.
22＋4·－ 263.
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20
第三章 指数函数和对数函数
12
11
【解】 (1)原式＝(a2·b3)－3÷[b－4(a－2)2]2
3
1
＝a－2·b－2÷(b－2·a－2)
第三章 指数函数和对数函数
§2 指数扩充及其运算性质
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1
第三章 指数函数和对数函数
学习目标
学习导航
重点难点 重点：幂的运算性质． 难点：无理数指数幂、分数指数幂的含义.
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2
第三章 指数函数和对数函数
新 知 初 探 ·思 维 启 动
1．分数指数幂 给定正实数a，对于任意给定的整数m，n
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第三章 指数函数和对数函数
做一做
3
1.(1) 32 等于( )
A. 2
B.3 3
C.3 27
D. 27
3
解析：选 D. 32 ＝ 33＝ 27.
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第三章 指数函数和对数函数
(2) 5 a－2等于(
)
2
A． a 5
5
B． a 2
2
C． a 5
5
D．－ a 2
答案：A
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5
)
5 5
＝3
5
5
5 ＝3－1＝13.
答案：20 3
1 3
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第三章Байду номын сангаас指数函数和对数函数
典 题 例 证 ·技 法 归 纳
题型探究
题型一 分数指数幂与根式的转化
例1 计算下列各式的值：
(1)
4 81×
2
93 ) ； (2)2
3 × 3 1.5 × 6 12 ；
25×5 53
(3)
.
5×10 57
由于实数分为有理数和无理数，则规定了无 理数指数幂后，我们就把指数扩大为全体实 数了． 做一做
3.化简：① 4 3 × 5 3 ＝________.
5
② 3 5 5 ＝________.
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第三章 指数函数和对数函数
解析：① 4 3 × 5 3 ＝(4×5) 3 ＝20 3 ；
②(3
做一做
2.①计算： 3 3 × 32 3 ＝________. ②计算：100－12－8116－34＝________.
解析：① 3 3 × 32 3 ＝9.
②
100
1 2
－
81 16
3 4
＝
102
1 2
－
3 2
4
3 4
＝10－1－32－3＝110－287
＝－25730.
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数幂的概念后，指数概念就实现了由整数指
数幂向有理数指数幂的扩充．
想一想
1.
a
m n
是m个 n
a
相乘吗？
m
提示：分数指数幂 a n
不是mn 个
a
相乘，实质
上是关于 b 的方程 bn＝am 的解．
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5
第三章 指数函数和对数函数
2．(n a)n 与n an(n∈N＋，n＞1)相同吗？ 提示：不同(n a)n＝a. 式子n an(n∈N＋，且 n＞1)对任意的 a∈R 都 有意义，当 n 是奇数时n an＝a；当 n 是偶数 时，n an＝|a|＝－a，a，a≥a＜0 0 .
2
11
3 31
(3)原式＝{ab2[(ab)2]3}3＝(a1＋2·b2＋2)3
5171 57
＝a2×3b2×3＝a6b6.
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第三章 指数函数和对数函数
题型二 指数幂的综合运算
例2 计算下列各式．
13 (1)(a2·
b2)－3÷
b－4 a－2；
(2)14－2＋61 6－13＋
3＋ 3－
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第三章 指数函数和对数函数
【思维总结】 解决本题的关键是理解分数 指数幂的意义，根式是分数指数幂的另一种 形式，将根式化为分数指数幂的形式是计算 的前提．
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第三章 指数函数和对数函数
变式训练
1．化简：
3 (1)(
25－
4 125)÷
25；
3 (2)
6 a·
－a(a＜0)；
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第三章 指数函数和对数函数
2．指数运算性质
正整数指数幂的运算性质：
(1)aman＝am＋n；(2)(am)n＝amn；(3)(ab)n＝anbn；
(4)当 a≠0 时，有aamn＝a1am，－－nn－当，mm，当＝当mn＞m时＜n时n时
；
(5)(ab)n＝abnn(b≠0)．
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第三章 指数函数和对数函数
其中m，n∈N＋. 当a＞0，b＞0时，对任意实数m，n都满足 上述性质，上述五条运算性质也可以归纳为 三条： (1)aman ＝ ____a_m_＋__n __ ； (2)(am)n ＝ ___a_m_n __ ； (3)(ab)n＝____a_nb_n____.
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第三章 指数函数和对数函数