圆的一般方程(优质课)

(2) 当 D2＋E2－4F＝0 时，方程表示一个
D E 点 ( - ,- ) ； 2 2
(3)当D2＋E2－4F＜0时，方程无 实数解,不表示任何图形．
所以形如x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0
（D2+E2-4F>0）可表示圆的方程
圆的一般方程：
x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0 (D2+E2-4F>0)
2
（-1，0） O
.
.
A(3,0)
x
62 - 4 (-9) 0 该曲线为圆.
直译法
举例 例3：
已知线段AB的端点B的坐标是 2 2 （4，3）， 端点A在圆 ( x + 1) + y = 4 上运动，求线段AB的中点M的轨迹 方程。
练习
x + y - 8x - 6 y + 21 = 0
2 2
1、 已知点P在圆C：
上运动，求线段OP的中点M的 轨迹方程。
练习
2、 求经过P(-2,4),Q(3,-1)两点,且在x 轴上截得的弦长等于6的圆的方程.
解:设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0 令y=0得x2+Dx+F=0,由韦达定理得x1+x2=-D, x1.x2=F,又 x1 - x2 = ( x1 + x2 ) 2 - 4 x1 x2 = 6 ∴D2-4F=36…(1) ∵圆过P(-2,4),Q(3,-1) ∴(-2)2+42+(-2)D+4E+F=0,即:2D-4E-F=0(2) 32+(-1)2+3D-E+F=0,即:3D-E+F=-10(3) 由(1),(2),(3)联立求得:D=-2,E=-4,F=-8或D=-6,E=-8,F=0 ∴所求圆的方程为x2+y2-2x-4y-8=0或x2+y2-6x-8y=0
由于a, b, r均为常数
令 - 2a = D,-2b = E , a + b - r = F
2 2 2
结论：任何一个圆方程可以写成下面形式
x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0
思考
1.是不是任何一个形如 x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0 方程都表示的曲线是圆呢？ 2.下列方程表示什么图形？ （1）x2+y2-2x+4y+1=0； （2）x2+y2-2x-4y+5 =0； （3）x2+y2-2x+4y+6=0.
小结
1. 本节课的主要内容是圆的一般方程,其表达式为
2 2 x + y + Dx + Ey + F = 0 2 2 D + E - 4F 0
2. 圆的一般方程与圆的标准方程的联系
一般方程
配方 展开
标准方程(圆心,半径)
3. 给出圆的一般方程,如何求圆心和半径?
圆的一般方程
复习
2+(y-b)2=r2 ( x a ) 圆的标准方程:
特征：直接看出圆心与半径
指出下面圆的圆心和半径：
(x-1)2+(y+2)2=2
(x+2)2+(y-2)2=5
(x+a)2+(y-2)2=a2 (a≠0)
动动手
把圆的标准方程（x-a)2+(y-b)2=r2
2
展开，得
x + y 2 - 2ax - 2by + a 2 + b2 - r 2 = 0
解：设所求圆的一般方程为：
方法三：x2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0( D2 + E 2 - 4F 0)
待定系数法
因为O(0,0),A (1,1),B(4,2)都在圆上，则
所求圆的方程为:
F=0 D+E+F+2=0 4D+2E+F+20=0
F=0 解得 D=-8 E=6
圆心（1，-2）半径3
(2) 2x2+2y2-12x+4y=0
(3) x2+2y2-6x+4y-1=0
是 圆心（3，-1）半径
不是
10
(4) x2+y2-12x+6y+50=0 不是
(5) x2+y2-3xy+5x+2y=0 不是
练习
2.已知圆 x2+y2+Dx+Ey+F=0的圆心坐标为(-2,3), 半径为4,则D,E,F分别等于 ( B) - 4,6,3 ( A)4,-6,3
2 2
得（x + a) + y = a 0
2 2 2
故它表示以（ - a,0） a 为半径的圆 为圆心，
42 为半径的圆. 2
[小结一]:
(1)圆的一般方程与圆的标准方程的联系:
配方
展开
一般方程
标准方程
举例
例1： 求过三点O(0，0)，M1 (1，1) ，M2（4，2） 的方程，并求出这个圆的半径和圆心坐标. 方法一： 几何方法
举例
例2. 已知一曲线是与两定点O(0,0)、A(3,0)
距离的比为1/2的点的轨迹，求此曲线的方程， 并画出曲线.
解：设( x, y )是所求曲线上的点，则由题意可得： ( x - 0) 2 + ( y - 0) 2 1 = 2 2 2 ( x - 3) + ( y - 0)
2
y
M(x,y)
.
两边平方化简得： x + y + 2x - 3 = 0
圆的一般方程与标准方程的关系：
（1）a=-D/2，b=-E/2，r=
1 D 2 + E 2 - 4F 2
（2）标准方程易于看出圆心与半径 一般方程突出形式上的特点： ①x2与y2系数相同并且不等于0；
②没有xy这样的二次项
练习
1、判断下列方程能否表示圆的方程,若能写 出圆心与半径 (1) x2+y2-2x+4y-4=0 是
解：[方法二]
P O
设 P( x1 , y1 ) , Q( x2 , y2 )
x2 + y 2 - m = 0 x + y -1 = 0
Q
2x - 2x + (1 - m) = 0
2
同理y1 y2 = 1- m 2
1- m x1 x2 = 2
OP OQ
x1 x2 + y1 y2 = 0 (2)
D
(C ) - 4,6,-3
( D)4,-6,-3
3. x2+y2-2ax-y+a=0 是圆的方程的充要条件是
1 ( A)a 2
1 ( B )a 2
(C )a =
1 2
1 ( D )a 2
D
4： 下列方程各表示什么图形?若是圆则
(1)2 x + 2 y + 4 x - 12y - 1 = 0 2 2 (2) x + y + 2ax = 0(a 0)
写出圆的标准方程
解出a，b，r（或D，E，F）， 写出标准方程（或一般方程）
2 2 (2) 由 x + y + 2ax = 0 解： (1)由2x + 2 y + 4x - 12 y - 1 = 0
2 2
求出圆心、半径. 2 2
1 得x + y + 2x - 6 y - = 0 2 21 2 2 即：（x + 1) + ( y - 3) = 2 故它表示以（ - 1， 3）为圆心,
将
2 + Dx + Ey + F = 0 x2 + y
左边配方，得
D 2 E 2 D 2 + E 2 - 4F (x+ ) + (y+ ) = 4 2 2
（1）当 D2+E2-4F>0 时,
2 2
它表示以
D E , 2 2
为圆心,
D + E 4 F 以 r= 2
为半径的圆;
圆的半径. • B(-3，-3)
答案： l : 4x+3y+3=0或3x+4y-3=0
4、过点M（-6，0）作圆 C： x2 + y 2 - 6x - 4 y + 9 = 0 的
割线，交圆C于A，B两点.求线段AB的中点P的轨迹. 解：圆的方程可化为(x-3) +(y-2) =4 其圆心为C（3，2）半径为2 设P（x，y）是轨迹上任意一点
（a）2+（b）2=r2 （1-a）2+（1-b）2=r2 （4-a）2+（2-b）2=r2
所求圆的方程为：
解得
a=4 b=-3 r=5
即（x-4）2+（y+3）2=25
举例
例1： 求过三点O(0，0)，M1 (1，1) ，M2（4，2）
的方程，并求出这个圆的半径和圆心坐标.
3. 自点A(-3，3)发射的光线l 射到x轴上，被x轴反射，
其反射光线所在的直线与圆x2+y2-4x-4y+7=0相切，
求光线l 所在直线的方程.
A(-3，3) • 题意分析 C(2, 2) (1) 入射光线及反射光线与 • x轴夹角相等. (2)点P关于x轴的对称点Q在 反射光线所在的直线l 上. (3)圆心C到l 的距离等于
kCP k MP = -1
CP MP
A
2 2
y 。P B • •c 。
3
• x 2 + y 2 + 3x - 2 y -18 = 0 化简得： 所以所求轨迹为圆 x 2 + y 2 + 3x - 2 y -18 = 0
y-2 y 即： = -1 x-3 x+6
-6
o
x
在已知圆内的一段弧（不含端点）.
0 圆心：两条弦的中垂线的交点 半径：圆心到圆上一点
y
M1(1,1) M (4,2) 2
x
举例
例1： 求过三点O(0，0)，M1 (1，1) ，M2（4，2）
的方程，并求出这个圆的半径和圆心坐标. 方法二： 解：设所求圆的标准方程为：
（x-a）2+（y-b）2=r2
待定系数法 因为O(0,0),A (1,1),B(4,2)都在圆上
思Βιβλιοθήκη Baidu题：
已知圆C:x 2 + y 2 - m = 0与直线x + y - 1 = 0相交于P, Q两点， O为坐标原点，若OP OQ, 求m的值。
解：[方法一]
P O
设 P( x1 , y1 ) , Q( x2 , y2 )
1x = 1 y = 1+ 1 2m - 1 1+ x = 2 2 和 2m - 1 1y = 2 2 2m - 1 2 2m - 1 2
x2+y2-8x+6y=0
即（x-4）2+（y+3）2=25
小结二
注意:求圆的方程时,要学会根据题目条件,恰 当选择圆的方程形式:
①若知道或涉及圆心和半径,我们一般采用圆的标 准方程较简单. ②若已知三点求圆的方程,我们常常采用圆的一般 方程用待定系数法求解. (特殊情况时,可借助图象求解更简单)
(用配方法求解)
小结求圆的方程
几何方法
求圆心坐标 （两条直线的交点） （常用弦的中垂线）
待定系数法
设方程为 ( x - a ) 2 + ( y - b) 2 = r 2 (或x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0)
求半径 （圆心到圆上一点的距离）
列关于a，b，r（或D，E，F） 的方程组
x2 + y 2 - m = 0 x + y -1 = 0
Q
(1)
OP OQ
x1 x2 + y1 y2 = 0 (2)
将（1）代入（2）式可得:m=1
思考题：
已知圆C:x 2 + y 2 - m = 0与直线x + y - 1 = 0相交于P, Q两点， O为坐标原点，若OP OQ, 求m的值。