系统函数与差分方程

1 0.8 0.6 0.4
Imaginary Part
0.2 0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1 -1 -0.5 0 Real Part 0.5 1
3、系统函数收敛区与系统特性关系 (1)、因果系统 由因果系统的时域条件 n 0 时， hn 0 ，以及 H z 的定义，可知此时 H z 只有z的 负幂项，其收敛区为
5.8 离散系统的频域分析 1、系统函数 可以用单位脉冲响应 hn 表示 LTI离散系统的输入输出
关系
yn T xn xn hn
对应的z变换为 X z H z Y z
定义LTI离散系统输出z变换与输入z变换之比为系统函数
Y z H z X z

例5-26、求横向结构网络
an hn 0
M 1 n 0
0 n M 1 其它
,的频响图。
解
H z a n z n
零点： z 0 k ae
j 2 k M
1 a M z M zM aM M 1 1 1 az z z a
H e H z ze
j
Ae
j N M k 1 N k 1
e
M
j
e
j
Ae
j N M k 1 N k 1
Ck
M
Dk
Ae
j N M
Ce
M
D e
k 1 k
k 1 N
k
j k
j k
幅度部分 6
4
幅度
2 0 0
0.5
1 相位部分
1.5
2
100 50
相位
0 -50 -100
0
0.5
1 以pi为单位的频率
1.5
2
解 根据系统稳定的条件，将系统函数写成零极点形式



1 z 1 1 0.3133 j0.5045z 1 1 0.3133 j 0.5045



式中极点的模
z1 z2 0.2367 2 0.8915 2 0.9225 1
z3 z4 0.3133 2 0.5045 2 0.5939 1
0.2 0.1z 1 0.3z 2 0.1z 3 0.2 z 4 H z 1 1.1z 1 1.5 z 2 0.7 z 3 0.3z 4 求其零、极点并绘出零、极点图。
解 例5-23 MATLBA程序及结果如下 b=[0.2 0.1 0.3 0.1 0.2]; %分子多项式系数 a =[1 -1.1 1.5 -0.7 0.3]; %分母多项式系数 r1=roots(a) % 求极点 r2=roots(b) % 求零点
H z 的零、极点与系统频响 4、
系统频响的作图可利用零、极点，用矢量的方法定性
画出。
H z
A 1 ck z 1
M
1 d z
1 k 1 k
j
kห้องสมุดไป่ตู้1 N
A
z c z d
k 1 k k 1 N k
M
z N M
ck dk
a 0 .9
1 0.8 0.6 0.4
Imaginary Part
0.2 0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1 -1 -0.5 0 Real Part 0.5 1
w=[0:1:500]*2*pi/500;%[0,2pi]区域分为501点
X1=1;
X2=1-0.9.*exp(-1*j*w);
zplane(b,a) % 画零、极点图
答案
r1 = 0.2367 + 0.8915i 0.2367 - 0.8915i 0.3133 + 0.5045i 0.3133 - 0.5045i r2 = -0.5000 + 0.8660i -0.5000 - 0.8660i 0.2500 + 0.9682i 0.2500 - 0.9682i
RH z 。所以 H z 的收敛区包含无穷时，
必为因果系统。
(2)、稳定系统 由稳定系统的时域条件
H z 收敛区必包含单位圆。其收敛 氏变换DTFT存在，
n
hn

可知系统的傅
区为 RH z RH ,且 RH 1 RH 。所以收敛区包
X=X1./X2;
magX=abs(X);angX=angle(X).*180./pi;
subplot(2,1,1);plot(w/pi,magX); title('幅度部分');ylabel('幅度'); subplot(2,1,2);plot(w/pi,angX); line([0,2],[0 0]); xlabel('以pi为单位的频率');title('相位部分');ylabel('相位');
判断该系统的稳定性。
0.21 z 1 z 2 1 0.5z 1 z 2 H z 1 0.4734z 1 0.8507z 2 1 0.6266z 1 0.3526z 2
0.21 z 1 z 2 1 0.5z 1 z 2 1 1 z 1 0.2367 j0.8915z 1 0.2367 j0.8915
dk
在单位圆上 H e j 出现谐振。
谷点越明显，ck 在单位圆上 H e j 0 幅值为零。
(3)原点处的零、极点对 H e j 无影响，只有一线性 相位分量。
在零点ck 附近形成谷点，ck 越靠近单位圆，
(4) 在零、极点附近相位变化较快（与实轴夹角有 的变化）。
N
M
Y z

M
1 ak z k
k 1
k 0 N
bk z k
X z
Y z H z X z

M
1 a k z k
k 1
k 0 N
bk z k

A 1 ck z 1
M
1 d
k 1
k 1 N
1 z k
所有极点均在单位圆内，所以是稳定系统。 此例是通过求解系统极点，由其是否均在单位圆内，判 断系统的稳定性。对一个复杂系统来说，求极点并不容 易，有时是相当繁的（如本例）。所以判断连续系统是 否稳定往往是利用罗斯(Routh)准则，判断离散系统是否 稳定往往是利用劳斯（Jury）准则等。
基本思路是不直接求极点，而是判断是否有极点在s的 右半平面（包括虚轴），或是否有极点在z平面的单位 圆外（上）。而利用MATLAB程序得到系统特征根， 可以直接判断系统的稳定性，或如例5-23利用MATLAB 程序可作出其零、极点图，直观作判断。 例5-23零、 极点图所有极点在单位圆内，所以是稳定系统。
H e j A
M
C
k 1 N k 1 N
M
k
D
k 1
k
k k N M
k 1
当 从 0 ~ 2 变化一周时，各矢量延逆时针方向旋转
一周。其矢量长度乘积的变化，反映频响振幅 H e

j
变化，其夹角之和的变化反映频响相位 的变化。
，
k 0,1,2,, M 1
极点： z 1 a
z2 0
z a 处的零、极点抵消
令 M 8 零点以
/4
j 在 k H e 等间隔分布，

/4
k 1,2,,7 出现谷值，并且在 k / 4
附近相位变化快。 令
a 0.9
H e j

1 0.9 8 e j 8 j 1 0.9e
含单位圆时，必为稳定系统。 (3)、因果稳定系统 综合上述(1)、(2)情况，当 RH z ，且 RH 1 时，系统是因果稳定系统。
例5-24 已知某离散系统的系统函数为
0.2 0.1z 1 0.3z 2 0.1z 3 0.2 z 4 H z 1 2 3 4 1 1.1z 1.5 z 0.7 z 0.3z
a 0 .9
幅度部分 10 8
幅度
6 4 2 0 0 0.5 1 相位部分 1.5 2
100 50
相位
0 -50 -100
0
0.5
1 以pi 为单位的频率
1.5
2
a 0 .1
1 0.8 0.6 0.4
Imaginary Part
0.2 0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1 -1 -0.5 0 Real Part 0.5 1
a 0 .1
幅度部分 1.15 1.1
幅度
1.05 1 0.95 0.9 0 0.5 1 相位部分 10 5 1.5 2
相位
0 -5 -10
0
0.5
1 以pi为单位的频率
1.5
2
j (1) H e 在极点 d k 附近形成峰值，d k 越靠近单位圆峰

值越明显， (2) H e j
H e
j
e
j
其中
e
e
j
ck ：零点 ck 指向单位圆的向量
——极坐标表示；
Ck Ck e jk
j
d k ：极点 d k 指向单位圆的向量 Dk Dk e j k ——极坐标表示；
C k 、 Dk ——零、极点矢量的模；
k 、 k ——零、极点矢量与正实轴的夹角。
z a
j ImZ
C

D
a
1
ReZ
j ImZ
D
C

a
1
ReZ
从 0~ 时
C C 1
当

从0
~ 时
最小 D D 最大
0
从
0 均匀直线变化
从 0 / 2 变化快，
/ 2 变化慢，变化为曲线。
j ImZ
d1
c C

d2
D1 D2
1

1
2
ReZ
例5-25已知
1 H z 1 az 1
za
a 1
求 H e j 并作
H e j ~ 、 ~ 图。

解：由已知条件可知系统是因果稳定系统
z H z za
零点 极点
z0 0
——复频域描述线性非移变系统的数学模型
特别的
xn n
yn T n n hn hn H z
系统函数是系统单位脉冲响应 hn 的z变换。 2、系统函数与差分方程 线性非移变系统的数学模型是常系数差分方程，一般形 式为

k 0
N
ak yn k bk xn k
k 0
M
两边取z变换（零状态），可得：

k 0
N
ak z k Y z bk z k X z
k 0
M
令
a0 1
解出
Y z ak z k Y z bk z k X z
k 1 k 0
（5-77）
其中 ck H z 的零点；
dk H z 的极点；
由上式可见，除了系数A，H z 可由其零、极点确定。 与连续系统相似，系统函数由有理分式形式分解为零、
极点形式，有时并不容易，而用MATLBA可以很方便的 确定零、极点并作零、极点图。
例5-23 已知某系统的系统]函数为