高中数学复习专题讲座求解函数解析式的几种常用方法

高中数学复习专题讲座求解函数解析式的

几种常用方法 高考要求 求解函数解析式是高考重点考查内容之一，需引起重视 本节要紧关心考生在深刻明白得函数定义的基础上，把握求函数解析式的几种方法，并形成能力，并培养考生的创新能力和解决实际咨询题的能力 重难点归纳

求解函数解析式的几种常用方法要紧有

1 待定系数法，假如函数解析式的构造时，用待定系数法；

2 换元法或配凑法，复合函数f ［g (x )］的表达式可用换元法，当表达式较简单时也可用配凑法；

3 消参法，假设抽象的函数表达式，那么用解方程组消参的方法求解f (x );

另外，在解题过程中经常用到分类讨论、等价转化等数学思想方法 典型题例示范讲解 例1 (1)函数f (x )满足f (log a x )=)1(1

2x x a a -- (其中a >0,a ≠1,x >0),求f (x )的表达式

(2)二次函数f (x )=ax 2+bx +c 满足|f (1)|=|f (－1)|=|f (0)|=1,求f (x )的表达式

命题意图 此题要紧考查函数概念中的三要素 定义域、值域和对应法那么，以及运算能力和综合运用知识的能力

知识依靠利用函数基础知识，专门是对〝f 〞的明白得，用好等价转化，注意定义域

错解分析 此题对思维能力要求较高，对定义域的考查、等价转化易出错

技巧与方法 (1)用换元法；(2)用待定系数法

解 (1)令t=log a x (a >1,t >0;0

因此f (t )=1

2-a a (a t －a －t ) ∴f (x )=1

2-a a (a x －a －x )(a >1,x >0;0

得⎪⎪⎪⎩

⎪⎪⎪⎨⎧=--=--+=)0()]1()1([21)0()]1()1([21f c f f b f f f a 同时f (1)、f (－1)、f (0)不能同时等于1或－1， 因此所求函数为

f (x )=2x 2－1 或f (x )=－2x 2+1 或f (x )=－x 2－x +1

或f (x )=x 2－x －1 或f (x )=－x 2+x +1 或f (x )=x 2+x －1

例2设f (x )为定义在R 上的偶函数，当x ≤－1时，y =f (x )的图象是通过点(－2，0)，斜率为1的射线，又在y =f (x )的图象中有一部分是顶点在(0，

2)，且过点(－1，1)的一段抛物线，试写出函数f (x )的表达式，并在图中作出其图象 命题意图 此题要紧考查函数差不多知识、抛物线、射线的差不多概念及其图象的作法，对分段函数的分析需要较强的思维能力 因此，分段函数是今后高考的热点题型 知识依靠 函数的奇偶性是桥梁，分类讨论是关键，待定系数求出曲线方程是主线 错解分析 此题对思维能力要求专门高，分类讨论、综合运用知识易发生纷乱 技巧与方法 合理进行分类，并运用待定系数法求函数表达式 解 (1)当x ≤－1时，设f (x )=x +b

∵射线过点(－2，0) ∴0=－2+b 即b =2，∴f (x )=x +2

(2)当－1

∵抛物线过点(－1，1)，∴1=a ·(－1)2+2,即a =－1

∴f (x )=－x 2+2

(3)当x ≥1时，f (x )=－x +2 综上可知 f (x )=⎪⎩

⎪⎨⎧≥+-<<---≤+1,211,21,12x x x x x x 作图由读者来完成

例3f (2－cos x )=cos2x +cos x ,求f (x －1) 解法一 (换元法〕

∵f (2－cos x )=cos2x －cos x =2cos 2x －cos x －1

令u =2－cos x (1≤u ≤3),那么cos x =2－u

∴f (2－cos x )=f (u )=2(2－u )2－(2－u )－1=2u 2－7u +5(1≤u ≤3)

∴f (x －1)=2(x －1)2－7(x －1)+5=2x 2－11x +4(2≤x ≤4)

解法二 (配凑法〕

f (2－cos x )=2cos 2x －cos x －1=2(2－cos x )2－7(2－cos x 〕+5

∴f (x )=2x 2－7x －5(1≤x ≤3),

即f (x －1)=2(x －1)2－7(x －1)+5=2x 2－11x +14(2≤x ≤4) 学生巩固练习 1 假设函数f (x )=3

4-x mx (x ≠43)在定义域内恒有f ［f (x )］=x ,那么m 等于( ) A 3 B 23 C －2

3 D －3 2 设函数y =f (x )的图象关于直线x =1对称，在x ≤1时，f (x )=(x +1)2－1,那么x >1时f (x )等于( ) A f (x )=(x +3)2－1 B f (x )=(x －3)2－1 C f (x )=(x －3)2+1 D f (x )=(x －1)2－1 3 f (x )+2f (x

1)=3x ,求f (x )的解析式为_________ 4 f (x )=ax 2+bx +c ,假设f (0)=0且f (x +1)=f (x )+x +1,那么f (x )=_________ 5 设二次函数f (x )满足f (x －2)=f (－x －2),且其图象在y 轴上的截距为1，在x 轴上截得的线段长为2，求f (x )的解析式 6 设f (x )是在(－∞,+∞)上以4为周期的函数，且f (x )是偶函数，在区间［2，3］上时，f (x )=－2(x －3)2+4，求当x ∈［1,2］时f (x )的解析式 假设矩形ABCD 的两个顶点A 、B 在x 轴上，C 、D 在y =f (x )(0≤x ≤2)的图象上，求那个矩形面积的最大值 7 动点P 从边长为1的正方形ABCD 的顶点A 动身顺次通过B 、C 、D 再回到A ，设x 表示P 点的行程，f (x )

表示P A 的长，g (x )表示△ABP 的面积，求f (x )和g (x ),并

作出g (x )的简图 8 函数y =f (x )是定义在R 上的周期函数，周期T =5，

函数y =f (x )(－1≤x ≤1)是奇函数，又知y =f (x )在［0，1］上是一次函数，在［1，4］上是二次函数，且在x =2时，函数取得最小值，最小值为－5

(1)证明 f (1)+f (4)=0;

(2)试求y =f (x ),x ∈［1,4］的解析式；

(3)试求y =f (x )在［4，9］上的解析式 参考答案 1 解析 ∵f (x 3

4-x mx