数学分析期末试题B答案

（时间：120分钟 共100

分）

课程编号：4081103 课程名称：数学分析 适用年级：2006 学制:_4_ 适

单项选择题：（本题共5小题，每小题3分，共15分）

1.

1

22

lim 1dx

x ααα→=

++⎰

.

( B )

A. 2π

B. 4

π

C. D.

2.

()L

x y ds +=⎰ 其中是以)1,0(),0,1(),0,0(B A O 为顶点

的三角形 （ A ）

A. 1+

B. 1

C.

D. 0 3.

()L

y x dy -=⎰ .，其中

L 为直线,AB

(1,1),(2,2)A B （ D ）

A. 1

B. 2

C.

2

D. 0 4 S

yzdxdy =⎰⎰ ,其中是球面222

1x y z ++=的上

半部分并取外侧为正向。( D )

A. 2

B.

C. 1

D. 0

5.

L

ydx xdy +=⎰

. , 其中22:1L x y +=　

（ A ）

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3 二、

填空题：（本题共5小题, 每小题4分，共20分）

1.

22

()D

x y dxdy +=⎰⎰

, 其中22:4D x y +≤ 2. V

xyzdxdydz =⎰⎰⎰

. 其中

:02,02,02V x y z ≤≤≤≤≤≤

3. 将(,)D

I f x y d σ=

⎰⎰ 化成先对x 后对y 的累次积分为

24

422

(,)y y dy f x y dx +-⎰⎰其中D 由

24,2y x y x =-=围成。

4. 设是半圆周

,0,

sin ,

cos :π≤≤⎩⎨

⎧==t t a y t a x L

则第一型曲线积分

()2

2L

x

y ds +=⎰

5. 格林公式建立了区域上二重积分与的边界曲线的第二型

曲线积分之间的联系。设函数(,),(,)P x y Q x y 在闭区域上连续，且有一阶连续的偏导数，则格林公式可表示为

L

Pdx Qdy +=⎰

(

)D

Q P

dxdy x y

∂∂-∂∂⎰⎰。 三、 得分 阅卷人

(本题共2小题，每题10分, 共20分）

1．计算D

I dxdy =

⎰⎰，其中D 由0,1x y y x ===及围成。

解：此三条直线的交点分别为(1,1)，(0,1)，(0,0)，所围区域如下图。 。。。。。。。。。3分

先对x 后对y 积分：

2

x

I dy dx dx dy ===

⎰⎰⎰⎰ 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。6分

2. 计算

xdxdydz Ω

⎰⎰⎰，

其中 是三个坐标面与平面 x + y + z =1所围成的区域

解 画出区域 D ： 0101

y x

x ≤≤-≤≤ 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。

3分

xdxdydz Ω

⎰⎰⎰

11

10

x y

x

dx

dy xdz ---=⎰⎰⎰

。。。。。。。。。。。。。。。。。6分

110

(1)x

dx

x x y dy -=--⎰⎰ 。

。。。。。。。。。。。。。。。。。8分 o

x

y

1

y x

=1

y =

1

2

011(1)224

x x dx =-=⎰ 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。10

分

（本题共2道小题，每题10分，共20分）

1. 计算

⎰⎰

d d ,S

z x y 其中 S 是球 面

+

+=222

1x y z 在

≥≥0,0

x y 部分并取球面的外侧。

解 曲面 S 在第一、五卦限部分的方程分别为

==1122:,

:.

S z S z 。。。。。。

。。。。3分

它们在 xy 平面上的投影区域都是单位圆在第一象限部分.

因积分是沿

1

S 的上侧和

2

S 的下侧进行, 故

=+⎰⎰

⎰⎰⎰⎰1

2

d

d d d d d S

S S z x y z x y z x y

。。。。6分

(=

-

⎰⎰

⎰⎰()

()

d xy xy D D x y

=⎰⎰()2d xy D x y

。。

。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。8分

=⎰⎰π1

20

2d =

.

3

r r π

θ 。。10分

2． 计算下列第一型曲面积分：

22

(),S

x y z ds +-⎰⎰

其中为1,z = 22 1.x y +≤ 解: 由平面构成:2:1,S z = 22

1.x y +≤