三次函数的五个性态

三次函数性态的五个要点

三次函数的一般形式为y=f(x)=ax3+bx2+cx+d (不妨a＞0,a、b、c、d∈R) ，

近几年的全国各省市高考试卷以导数为工具，有重点地考查了有关三次函数的单调性、极值、在闭区间上的最值、对参数式的取值范围的探究等函数性态，凸显“在知识网络交汇点上命题”的理念，本文结合相关试题阐述三次函数性态的要点。

要点1.三次函数y=f(x)在(-∞,+∞)上的极值点的个数

简析：若函数f(x)在点x

0的附近恒有f(x

)≥f(x) (或f(x

)≤f(x))，则称

函数f(x)在点x

0处取得极大值（或极小值），称点x

为极大值点（或极小值点）。

据此有结论：三次函数y=f(x)在(-∞,+∞)上的极值点要么有两个，要么不存在极值点。

论证如下：

令f′（x）=3ax2+2bx+c，y=f（x）的极值点就是方程 f/（x）=0的实根。

①当Δ=4b2-12ac＞0时，方程f/（x）=0有两个不等的实根，记为x

1、x

2

，

则x

1、x

2

是f（x）在(-∞,+∞)上的两个极值点；

②当Δ=4b2-12ac =0时，该方程有两个等根：x

1=x

2

=x

，由下表可知y=f（x）

在(-∞,+∞)上单调增，此时y=f（x）没有极值点；

③当Δ=4b2-12ac＜0时，f/（x）=0无实根，f(x)没有极值点，结论得证。

[试题链接]：错解剖析

例1.（2004年湖北高考文考卷）已知b＞-1，c＞0，函数f（x）=x+b的图象与函数g（x）=x2+bx+c的图象相切，（Ⅰ）求b与c的关系式（用c表示b）；（Ⅱ）设函数F（x）=f（x）.g（x）在(-∞,+∞)内有极值点，求c的取值范围。解：（Ⅰ）依题意，函数f（x）=x+b的斜率为1，

∴g′（x）=1，得2x+b=1，故x=（1-b）/2为切点的横坐标，

将x=（1-b）/2分别代入f（x）、g（x）的函数解析式，

得 f[（1-b）/2]=g[（1-b）/2]，

化简为（b+1）2=4c

∵b＞-1，c＞0，

∴b=-1+2c1/2

（Ⅱ）F（x）=f（x）.g（x）=x3+2bx2+（b2+c）x+bc，

F′（x）=3x2+4bx+b2+c=0，

令3x2+4bx+b2+c=0，Δ=16b2-12（b2+c）=4（b2-3c），

当Δ=0时，则F′（x）=0有两个等根x

；

当Δ＞0时，F′（x）=0有两个不等的实根x

1、x

2

（设x

1

＜x

2

），

综上所述，当且仅当Δ≥0时，函数F（x）在(-∞,+∞)上有极值点。

由Δ=4（b2-3c）≥0得b≤- 3c或b≥3c。

∵b=-1+2c，∴-1+2c≤3c或-1+2c≥3c，解之得0＜c≤7-4•31/2或c≥7+4•31/2，故所求c的范围是（0，7-4•31/2]∪ [7+4•31/2，+∞）

点评：第一小问解的好，但第二小问的解答却出了一点错误，错因剖析如下：把函数有极值的问题转化为一元二次方程F/（x）= 3x2+4bx+b2+c=0有实根，

即Δ≥0。忽略了极值存在必须检验F′（x）的符号这一重要细节，

若Δ=0，则F′（x）=0有一对等根x

，F/（x）的取值符号如下表：

可知x=x

不是函数F(x)的极值点。

（Ⅱ）正确解法如下：

∵F（x）=f（x）.g（x）=x3+2bx2+（b2+c）x+bc，

∴令F′（x）=3x2+4bx+b2+c=0

①当Δ=16b2-12(b2+c)＞0时， F′（x）=0有两个不等的实根x

1、x

2

（令x

1

＜x

2

），

F′（x）的取值变化如下表：

∴ x=x

1是函数F(x)的极大值点，x=x

2

是它的极小值点。

由Δ=4（b2-3c）＞0得b＜- 3c或b＞3c，

b=-1+2c代入得0＜c＜3

4

7-或c＞3

4

7+。

②.当Δ=0时， F/（x）=0有一对等根x

，F/（x）的取值规律如下表：

∴函数F(x)此时不存在极值点。

综上所述可知，当且仅当Δ＞0时，F（x）在(-∞,+∞)上有极值点，

∴c的取值范围是（0，3

4

7-）∪（3

4

7+，+∞）

点评与反思：洞察极值存在的细节，是成功解好本题的关键。

要点2.三次函数y=f（x）的图象与x 轴交点个数

交点个数的本质是多项式ax3+bx2+cx+d在实数集上怎样进行因式分解，记

ax3+bx2+cx+d=a（x-x

1）（x-x

2

）（x-x

3

），

（ⅰ）若x

1≠x

2

≠x

3

，则交点为3个；

（ⅱ）若x

1、x

2

、x

3

中有两个相等，不妨x

1

=x

2

≠x

3

，则交点为2个。

（ⅲ）若x

1=x

2

=x

3

，则交点为1个；

（ⅳ）若f（x）=a（x-x

）（x2+dx+e），且有d2-4e＜0，y=f（x）的图象与x 轴只有一个交点。

[试题链接]

例2.（2000年春季高考题）已知函数f(x)=ax3+bx2+cx+d的图象如图所示，则（）

A .b∈（-∞，0） B.b∈（0，1）

C .b∈（1，2） D. b∈（2，+∞）

略解：设f（x）=a（x-1）（x-2）=a（x3-3x2+2x）

∴b=-3a，c=2a，d=0 ，又a＞0，∴b＜0,选（A ）