n维向量空间与线性相关性.ppt

在数学中，把具有上述八条规律的运算称为线性运算。 故向量的加法运算和数乘向量的运算统称为向量的线性运 算
定义 3 数域 F（一般为实数域 R 或复数域C ）上全体 n 维
向量的集合，连同定义在其上的线性运算，称为数域 F 上的
n 维向量空间，仍记为 F n 。当 F 为 R 时，称为 n 维实向量空
间，记为 Rn 。
3.2 向量组的线性相关性
本节将利用 n 维向量空间中向量的线性运算来研究向量
之间的线性关系，着重讨论有关向量的三个基本概念： 线性组合，线性相关与线性无关。
以下总是在一个固定的数域 F 上的 n 维向量空间中进行
讨论，不再每次说明。
3.2.1 线性组合与线性表示
定义 1 设有 n 维向量1, 2 , , m 及 ,如果存在一组数
一个 1 n 矩阵）； 有时写成一列
a1
a
2
a
n
称为列向量（可看作一个 n 1 矩阵）。
行向量与列向量尽管形式不同，但本质上是相同的，且从
矩阵的角度看有
a1
(a1, a 2 ,
,an )T
a
2
a
n
a1 T
， a
2来自百度文库
(a1,a2, ,an )
a
n
本章中，我们约定，通常用小写的黑体希腊字母, , ,,
在解析几何中，引入向量的概念，给研究点、线、面之间
的关系带来许多方便。同样地，在本节我们引入 n 维向量
的概念，将对研究某些问题带来极大的方便。
3.1.1 n 维向量的概念
定义 1 数域 F （一般为实数域 R 或复数域 C ）中 n 个数 a1, a2 , , an 构成的有序数组，称为数域 F 上的一个 n 维向量。ai
记作： { 1 , 2 , , r } ~ {1, 2 , , s}
向量组的等价是向量组之间的一种关系，显然，这种关系
有如下性质：
（1） 自反性 （2） 对称性
{ 1 , 2 , , r } ~ {1, 2 , , r }
（3） 若 {1, 2 , , r } ~{ 1 , 2 , , s } 则 { 1 , 2 , , s } ~{ 1 , 2 , , r }
k1 , k2 , , km ，使得
k1 1 k2 2 km m
（3-1）
则称 是 向量组 1,2, ,m 的 线性组 合，或 可由 向量组 1, 2 , , m 线性表示。其中 k1, k2 , , km 称为组合系数。
特别地,
（1） 设有两个向量, ，若存在数 k ，使得
k ，则称向量, 成比例。
等表示向量。通常使用行向量。即
a1
T
(a1, a 2 ,
,an
)
a2 a n
a1
T
(a1, a 2 ,
,an )T
a2 a n
分量都是 0 的向量称为零向量，记作 0 ，即 O (0,0, ,0)
注意：维数不同的零向量是不同的。
向量 a1,a2 , ,an 称为向量 (a1,a 2 , ,a n ) 的负向量，记作 。
（1）
（加法交换律）
（2） ( ) ( ) （加法结合律）
（3） O O
（4） ( ) O
（5）1
（6） kl kl
（数乘结合律）
（7） k k k （数对向量的分配律）
（8） k l k l （向量对数的分配律）
其中 , , F n ，1,k,l F ， O 为 F n 中的零向量。
则， 2 1 3 ，故 2 是 1 ， 3 的线性组合，即 2 可由 1 ， 3 线性表示。
由线性表示的定义易知：
（1）零向量可由任何向量组线性表示。且有
（2） 设有两个 n 维向量组
： A
1,2 , ,r
： B
1, 2 , , s
如果向量组 A 中的每个向量都能由向量组 B 中的向量
线性表示，则称向量组 A 能由向量组 B 线性表示。
如果向量组 A 能由向量组 B 线性表示，且向量组 B 能 由向量组 A 线性表示，则称向量组 A 与向量组 B 等价。
称为该向量的第 i 个分量 (i 1,2, , n) 。
分量是实数的向量称为实向量，分量是复数的向量称为复向
量。数域 F 上全体 n 维向量组成的集合记为 F n 。特别地，实数 域 R 上全体 n 维向量组成的集合记为 Rn 。
一个 n 维向量有时写成一行 (a1, a2 , , an ) ，称为行向量（可看作
第 3 章 n 维向量及向量组的线性相关性 3.1 n 维向量
由解析几何知，二维空间（平面）上的任一向量 a1i a2 j 可用一个二元有序数组{a1, a2} 表示，称之为二维向量，记为 {a1, a2}或 (a1 , a2 ) ；
三维空间中的任一向量 a1i a2 j a3k 可用一个三元有序 数组 {a1, a2 , a3} 表示，称之为三维向量，记为 {a1, a2 , a3} 或 (a1, a2 , a3 ) 。
即
a1,a 2 , ,a n 。
设 (a1,a 2 , ,a n ) ， b1,b2 , ,bn 都是 n 维向量，则 当且 仅当 ai bi i 1,2, , n
3.1.2 n 维向量的运算 既然向量可看成矩阵，那么，由矩阵运算的定义就可得向
量的运算。
定义 2 设 (a1, a 2 , , a n ) ， b1, b2 , , bn Fn ， k F ，
则规定如下 （1）向量的加法：
(a1 b1, a 2 b2 , , a n bn )
（2）数乘向量： k (ka 1, ka 2 , , ka n ) 由负向量的概念即可定义向量的减法：
( ) (a1 b1, a 2 b2 , , a n bn )
向量的加法运算和数乘向量的运算满足下述运算规律：
（4） 传递性
若 {1 , 2 , , r } ~ { 1 , 2 , , s } ， 且 {1 , 2 , , s } ~ { 1 , 2 , , t } 则 { 1 , 2 , , r } ~{ 1 , 2 , , t }
例 1 设1 2 , 0 , 2 ， 2 3 , 0 , 3 ， 3 1 , 0 , 1