高考数学一轮复习 第二章 函数概念与基本初等函数1 第8讲 函数的应用 理 新人教A版
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第8讲 函数的应用
最新考纲 1.结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程 根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数；2.了 解指数函数、对数函数、幂函数的增长特征，结合具体实例 体会直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的 含义；3.了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、 分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用.
(2)令y1＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＝(x－b)·[2x －(a＋c)]，y2＝－(x－c)(x－a)，由a＜b＜c作出函 数y1，y2的图象(图略)，由图可知两函数图象的两 个交点分别位于区间(a，b)和(b，c)内，即函数f(x) 的两个零点分别位于区间(a，b)和(b，c)内.
[微题型 1] 函数零点所在区间的判定
【例 1－1】 (1)(2016·枣庄一模)设 f(x)＝ex＋x－4，则函数
f(x)的零点位于区间( )
A.(－1，0) B.(0，1) C.(1，2) D.(2，3)
(2)(2015·长沙模拟)若 a＜b＜c，则函数 f(x)＝(x－a)(x
－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)的两个零点分别位于
＝64－log24＝32－2＝－12＜0，由零点存在性定理，可
知函数 f(x)在区间(2，4)上必存在零点，故选 C. 答案 C
4.(2015·天津卷)已知函数 f(x)＝2（－x－|x|，2）x≤2，2x，＞2，函数 g(x)＝3－f(2－x)，则函数 y＝f(x)－g(x)的零点个数为
()
A.2
答案 A
5.(人教A必修1P104例5改编)某桶装水经营部每天的房租、 人员工资等固定成本为200元，每桶水的进价是5元，销售 单价与日均销售量的关系如表所示：
销售单价/元 6 7 8 9 10 11 12 日均销售量/桶 480 440 400 360 320 280 240 请根据以上数据作出分析，这个经营部为获得最大利 润，定价应为________元.
存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根.
2.二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象与零点的关系
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
二次函数 y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象
与x轴的交点 (x1，0)，(x2，0) (x1，0)
无交点
零点个数
两个
一个
零个
3.指数、对数、幂函数模型性质比较
3. (2016·烟台模拟)已知函数 f(x)＝6x－log2x.在下列区间
中，包含 f(x)零点的区间是( )
A.(0，1)
B.(1，2) C.(2，4) D.(4，＋∞)
解析 由题意知，函数 f(x)在(0，＋∞)上为减函数，
又 f(1)＝6－log21＝6＞0，f(2)＝3－log22＝2＞0，f(4)
2.若函数f(x)唯一的一个零点同时在区间(0，16)，(0，8)，(0， 4)，(0，2)内，那么下列命题中正确的是( ) A.函数f(x)在区间(0，1)内有零点 B.函数f(x)在区间(0，1)或(1，2)内有零点 C.函数f(x)在区间[2，16)上无零点 D.函数f(x)在区间(1，16)内无零点 解析 由题意可知，函数f(x)的唯一零点一定在区 间(0，2)内，故一定不在[2，16)内. 答案 C
B.3
C.4
D.5
解析 由已知条件可得 g(x)＝3－f(2－x)＝|3x－－x22|，＋x1＜，0x，≥0， 函数 y＝f(x)－g(x)的零点个数.即为函数 y＝f(x)与 y＝g(x)图象的 交点，在平面直角坐标系内作出函数 y＝f(x)与 y＝g(x)的图象如 图所示，由图可知函数 y＝f(x)与 y＝g(x)的图象有 2 个交点，所 以函数 y＝f(x)－g(x)的零点个数为 2，选 A.
区间( )
A.(a，b)和(b，c)内
B.(－∞，a)和(a，b)内
C.(b，c)和(c，＋∞)内 D.(－∞，a)和(c，＋∞)内
解析 (1)∵f(x)＝ex＋x－4，∴f′(x)＝ex＋1＞0，∴函数 f(x)在 R 上单调递增，对于 A 项，f(－1)＝e－1＋(－1)－4 ＝－5＋e－1＜0，f(0)＝－3＜0，f(－1)f(0)＞0，A 不正确； 同理可验证 B，D 不正确，对于 C 项，∵f(1)＝e＋1－4 ＝e－3＜0，f(2)＝e2＋2－4＝e2－2＞0，f(1)f(2)＜0.故 f(x) 的零点位于区间(1，2).
1.函数的零点
知识梳理
(1)函数的零点的概念 对于函数y＝f(x)，把使 f(x)＝0 的实数x叫做函数y＝f(x)的零点.
(2)函数的零点与方程的根的关系 方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与 x轴 有交点⇔函数y ＝f(x)有 零点 .
(3)零点存在性定理
如果函数y＝f(x)满足：①在区间[a，b]上的图象是连续不断的一 条曲线；② f(a)·f(Biblioteka Baidu)＜0 ；则函数y＝f(x)在(a，b)上存在零点，即
函数 性质
在(0，＋∞) 上的增减性
y＝ax(a＞1) 单调 递增
y＝logax(a＞1)
y＝xn (n＞0)
单调 递增
单调递增
增长速度
越来越快
越来越慢
相对平稳
随x的增大逐渐表 图象的变化 现为与 y轴 平行
随x的增大逐渐表 现为与 x轴 平行
随n值变化 而各有不
同
值的比较
存在一个x0，当x＞x0时，有logax＜xn＜ax
解析 设在进价基础上增加x元后，日均销售利润为y元， 日均销售量为480－40(x－1)＝520－40x(桶)， 则y＝(520－40x)x－200＝－40x2＋520x－200，0＜x＜13. 当x＝6.5时，y有最大值.所以只需将销售单价定为11.5元， 就可获得最大的利润. 答案 11.5
考点一 函数与方程
诊断自测
1.判断正误(在括号内打“√”或“×”) (1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点.( × ) (2)函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)， 则f(a)·f(b)＜0.( × ) (3)二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)存在一个正零点、一个 负零点的充要条件为ac＜0.( √ ) (4)幂函数增长比直线增长更快.( × ) (5)当x＞0时，函数y＝2x与y＝x2的图象有两个交点.( √ )
最新考纲 1.结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程 根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数；2.了 解指数函数、对数函数、幂函数的增长特征，结合具体实例 体会直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的 含义；3.了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、 分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用.
(2)令y1＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＝(x－b)·[2x －(a＋c)]，y2＝－(x－c)(x－a)，由a＜b＜c作出函 数y1，y2的图象(图略)，由图可知两函数图象的两 个交点分别位于区间(a，b)和(b，c)内，即函数f(x) 的两个零点分别位于区间(a，b)和(b，c)内.
[微题型 1] 函数零点所在区间的判定
【例 1－1】 (1)(2016·枣庄一模)设 f(x)＝ex＋x－4，则函数
f(x)的零点位于区间( )
A.(－1，0) B.(0，1) C.(1，2) D.(2，3)
(2)(2015·长沙模拟)若 a＜b＜c，则函数 f(x)＝(x－a)(x
－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)的两个零点分别位于
＝64－log24＝32－2＝－12＜0，由零点存在性定理，可
知函数 f(x)在区间(2，4)上必存在零点，故选 C. 答案 C
4.(2015·天津卷)已知函数 f(x)＝2（－x－|x|，2）x≤2，2x，＞2，函数 g(x)＝3－f(2－x)，则函数 y＝f(x)－g(x)的零点个数为
()
A.2
答案 A
5.(人教A必修1P104例5改编)某桶装水经营部每天的房租、 人员工资等固定成本为200元，每桶水的进价是5元，销售 单价与日均销售量的关系如表所示：
销售单价/元 6 7 8 9 10 11 12 日均销售量/桶 480 440 400 360 320 280 240 请根据以上数据作出分析，这个经营部为获得最大利 润，定价应为________元.
存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根.
2.二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象与零点的关系
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
二次函数 y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象
与x轴的交点 (x1，0)，(x2，0) (x1，0)
无交点
零点个数
两个
一个
零个
3.指数、对数、幂函数模型性质比较
3. (2016·烟台模拟)已知函数 f(x)＝6x－log2x.在下列区间
中，包含 f(x)零点的区间是( )
A.(0，1)
B.(1，2) C.(2，4) D.(4，＋∞)
解析 由题意知，函数 f(x)在(0，＋∞)上为减函数，
又 f(1)＝6－log21＝6＞0，f(2)＝3－log22＝2＞0，f(4)
2.若函数f(x)唯一的一个零点同时在区间(0，16)，(0，8)，(0， 4)，(0，2)内，那么下列命题中正确的是( ) A.函数f(x)在区间(0，1)内有零点 B.函数f(x)在区间(0，1)或(1，2)内有零点 C.函数f(x)在区间[2，16)上无零点 D.函数f(x)在区间(1，16)内无零点 解析 由题意可知，函数f(x)的唯一零点一定在区 间(0，2)内，故一定不在[2，16)内. 答案 C
B.3
C.4
D.5
解析 由已知条件可得 g(x)＝3－f(2－x)＝|3x－－x22|，＋x1＜，0x，≥0， 函数 y＝f(x)－g(x)的零点个数.即为函数 y＝f(x)与 y＝g(x)图象的 交点，在平面直角坐标系内作出函数 y＝f(x)与 y＝g(x)的图象如 图所示，由图可知函数 y＝f(x)与 y＝g(x)的图象有 2 个交点，所 以函数 y＝f(x)－g(x)的零点个数为 2，选 A.
区间( )
A.(a，b)和(b，c)内
B.(－∞，a)和(a，b)内
C.(b，c)和(c，＋∞)内 D.(－∞，a)和(c，＋∞)内
解析 (1)∵f(x)＝ex＋x－4，∴f′(x)＝ex＋1＞0，∴函数 f(x)在 R 上单调递增，对于 A 项，f(－1)＝e－1＋(－1)－4 ＝－5＋e－1＜0，f(0)＝－3＜0，f(－1)f(0)＞0，A 不正确； 同理可验证 B，D 不正确，对于 C 项，∵f(1)＝e＋1－4 ＝e－3＜0，f(2)＝e2＋2－4＝e2－2＞0，f(1)f(2)＜0.故 f(x) 的零点位于区间(1，2).
1.函数的零点
知识梳理
(1)函数的零点的概念 对于函数y＝f(x)，把使 f(x)＝0 的实数x叫做函数y＝f(x)的零点.
(2)函数的零点与方程的根的关系 方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与 x轴 有交点⇔函数y ＝f(x)有 零点 .
(3)零点存在性定理
如果函数y＝f(x)满足：①在区间[a，b]上的图象是连续不断的一 条曲线；② f(a)·f(Biblioteka Baidu)＜0 ；则函数y＝f(x)在(a，b)上存在零点，即
函数 性质
在(0，＋∞) 上的增减性
y＝ax(a＞1) 单调 递增
y＝logax(a＞1)
y＝xn (n＞0)
单调 递增
单调递增
增长速度
越来越快
越来越慢
相对平稳
随x的增大逐渐表 图象的变化 现为与 y轴 平行
随x的增大逐渐表 现为与 x轴 平行
随n值变化 而各有不
同
值的比较
存在一个x0，当x＞x0时，有logax＜xn＜ax
解析 设在进价基础上增加x元后，日均销售利润为y元， 日均销售量为480－40(x－1)＝520－40x(桶)， 则y＝(520－40x)x－200＝－40x2＋520x－200，0＜x＜13. 当x＝6.5时，y有最大值.所以只需将销售单价定为11.5元， 就可获得最大的利润. 答案 11.5
考点一 函数与方程
诊断自测
1.判断正误(在括号内打“√”或“×”) (1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点.( × ) (2)函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)， 则f(a)·f(b)＜0.( × ) (3)二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)存在一个正零点、一个 负零点的充要条件为ac＜0.( √ ) (4)幂函数增长比直线增长更快.( × ) (5)当x＞0时，函数y＝2x与y＝x2的图象有两个交点.( √ )